《4.4.2对数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.4.2对数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：对数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本132-133页，思考并完成以下问题1.对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2.反函数的概念是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象a的范围0＜a＜1a＞1性质定义域(0，＋∞)值域R定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[点睛]底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．2．反函数指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．四、典例分析、举一反三题型一对数函数的图象例1函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=log12x,y=log15x,y=(3)从(2)的图中你发现了什么?【答案】见解析【解析】(1)①对应函数y=lgx,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=log12x,y=log15x,y=(3)从(2)的图中可以发现:y=lgx与y=log110x,y=log5x与y=log15x,y=log2x与y=log1解题技巧：（对数函数图象的变化规律）对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过(1,0),(a,1),1a跟踪训练一1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).【解析】先画出函数y=lgx的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①图②图③最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).题型二比较对数值的大小例2比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．【答案】(1)log23.4＜log28.5(2)log0.31.8＞log0.32.7（3）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.【解析】(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.解题技巧：（比较对数值大小时常用的4种方法）(1)同底的利用对数函数的单调性．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．跟踪训练二1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8； (2)log0.56，log0.54；(3)log2与log2; (4)log23与log54.【答案】（1）lg6＜lg8（2）log0.56＜log0.54（3）log2<log2（4）log23＞log54.【解析】(1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg6＜lg8.(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log0.54.(3)由于log2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，log2＝eq\f(1,log2\f(1,5)).又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,5)，∴0＞log2eq\f(1,3)＞log2eq\f(1,5)，∴eq\f(1,log2\f(1,3))＜eq\f(1,log2\f(1,5)).∴log2<log2.(4)取中间值1，∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.题型三比较对数值的大小例3(1)已知logaeq\f(1,2)＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；(2)(1，＋∞).【解析】(1)由logaeq\f(1,2)＞1得logaeq\f(1,2)＞logaa.①当a＞1时，有a＜eq\f(1,2)，此时无解．②当0＜a＜1时，有eq\f(1,2)＜a，从而eq\f(1,2)＜a＜1.∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．解题技巧：（常见对数不等式的2种解法）(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.跟踪训练三1．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)【解析】由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.当a＞1时，y＝logax是增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＞1，,3a－1＞0，))解得a＞eq\f(2,3)，∴a＞1；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜1，,3a－1＞0，))解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).∴eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).题型四有关对数型函数的值域与最值问题例4求下列函数的值域．(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．【答案】(1)[2，＋∞)；(2)[－2，＋∞)．【解析】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u＞0，所以0＜u≤4.又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，所以logu≥log4＝－2，所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．解题技巧：（对数型函数的值域与最值）(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．跟踪训练四1．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.【解析】y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵f(x)的定义域为[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴当x＝3时，y取得最大值，为13.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.4.2对数函数的图像与性质4.4.2对数函数的图像与性质1.对数函数图像例1例22.对数函数的性质例3例43.反函数七、作业课本140页习题4.4【教学反思】本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.4.2对数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：对数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本132-133页，填写。1．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象a的范围0＜a＜1a＞1性质定义域__________值域R定点__________，即x＝_______时，y＝_________单调性在(0，＋∞)上是__________在(0，＋∞)上是__________[点睛]底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．2．反函数指数函数__________和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．【小试牛刀】1.若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是()A.0.5 B.2 C.e D.π2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是()A.y=5x B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点..4.(1)函数f(x)=的反函数是.

(2)函数g(x)=log8x的反函数是.

【自主探究】题型一对数函数的图象例1函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=log12x,y=log15x,y=(3)从(2)的图中你发现了什么?跟踪训练一1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.题型二比较对数值的大小例2比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．跟踪训练二1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8； (2)log0.56，log0.54；(3)log2与log2; (4)log23与log54.题型三比较对数值的大小例3(1)已知logaeq\f(1,2)＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．跟踪训练三1．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．题型四有关对数型函数的值域与最值问题例4求下列函数的值域．(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．跟踪训练四1．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．【课堂检测】1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7] B．(2,7]C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)2．已知logm＜logn＜0，则()A．n＜m＜1 B．m＜n＜1C．1＜m＜n D．1＜n＜m3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)4．已知实数a＝log45，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．b＜c＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a5．函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是()A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数6．比较大小：(1)log22______log2eq\r(3)；(2)log3π______logπ3.7．不等式log(5＋x)<log(1－x)的解集为________．8．求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．答案小试牛刀1-2.AD3.(3,-6)4.(1)f(x)=log23x(2)g(x)=自主探究例1【答案】见解析【解析】(1)①对应函数y=lgx,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=log12x,y=log15x,y=(3)从(2)的图中可以发现:y=lgx与y=log110x,y=log5x与y=log15x,y=log2x与y=log1跟踪训练一1、【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).【解析】先画出函数y=lgx的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①图②图③最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).例2【答案】(1)log23.4＜log28.5(2)log0.31.8＞log0.32.7（3）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.【解析】(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.跟踪训练二1.【答案】（1）lg6＜lg8（2）log0.56＜log0.54（3）log2<log2（4）log23＞log54.【解析】(1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg6＜lg8.(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log0.54.(3)由于log2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，log2＝eq\f(1,log2\f(1,5)).又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,5)，∴0＞log2eq\f(1,3)＞log2eq\f(1,5)，∴eq\f(1,log2\f(1,3))＜eq\f(1,log2\f(1,5)).∴log2<log2.(4)取中间值1，∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.例3【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；(2)(1，＋∞).【解析】(1)由logaeq\f(1,2)＞1得logaeq\f(1,2)＞logaa.①当a＞1时，有a＜eq\f(1,2)，此时无解．②当0＜a＜1时，有eq\f(1,2)＜a，从而eq\f(1,2)＜a＜1.∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．跟踪训练三1．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)【解析】由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.当a＞1时，y＝logax是增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＞1，,3a－1＞0，))解得a＞eq\f(2,3)，∴a＞1；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜1，,3a－1＞0，))解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).∴eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).例4【答案】(1)[2，＋∞)；(2)[－2，＋∞)．【解析】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u＞0，所以0＜u≤4.又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，所以logu≥log4＝－2，所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．跟踪训练四1．【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.【解析】y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵f(x)的定义域为[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴当x＝3时，y取得最大值，为13.当堂检测 1-5．BDDDA6．(1)＞(2)＞7．{x|－2<x<1}8．【答案】函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝0.【解析】要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，∴x∈(－1,0]时，y＝log(1－x2)是减函数；同理当x∈[0,1)时，y＝log(1－x2)是增函数．故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.《§4.4.2对数函数的图像和性质》同步练习一．选择题1．函数的定义域是（）A． B．C． D．2．若函数是函数的反函数，则的值为()A． B．C． D．3．如图，若分别为函数和的图象，则()A．B．C．D．4．设，，，则的大小关系为()A．B．C．D．5．若（且），则实数的取值范围是()A．B．C．D．6．对于函数，下列说法正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D