天津市宁河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题【含答案解析】

宁河区2023～2024学年度第一学期期末练习高一数学第I卷（选择题共36分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】，故选：D2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.故选：B5.函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，当时，，排除选项B，故选：D6.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性可以比较大小.【详解】因为为增函数，所以,因为为增函数，所以，所以.故选：C7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两角差的正切公式求解.【详解】，解得.故选：B8.杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为，则扇面（扇环）的面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可.【详解】因为上、下两条弧分别在半径为30和10的圆上，圆心角为，由扇形面积公式，所以两个扇形的面积分别为，所以扇面的面积为.故选：A.9.给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围.【详解】由，解得或，函数和的图像相交于点和，在平面直角坐标系内作出函数和的图像，由，得的图像，如图所示，方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点，由图像可知实数的取值范围为.故选：B第Ⅱ卷（共84分）注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.函数，的最小正周期是______.【答案】【解析】【分析】根据计算即可.【详解】，故答案为：.11.已知角的终边过点，则_______．【答案】【解析】分析】由三角函数定义可直接得到结果.【详解】的终边过点，．故答案为：.12.__________.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】,故答案为：13.已知函数的部分图象如图所示，则_________.【答案】##【解析】【分析】由函数最小正周期计算，代入点计算.【详解】由函数图象可知，最小正周期，则，，所以，又图象过点，有，则，由，得.故答案为：14.某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为_________万元.【答案】1680【解析】【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案．【详解】由题意可得：当时，利润为，当时，，故；若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．故答案为：168015.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，_________，若，则实数的取值范围是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，，.函数和在R上都单调递增，则在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增，由，得，则，解得，即实数的取值范围是.故答案为：；三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据同角关系得正弦值，即可由正弦的二倍角公式求解，（2）根据余弦的二倍角公式以及和差角公式即可求解.【小问1详解】由以及可得，故【小问2详解】17.已知函数，且.（1）求实数m的值；（2）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增.（3）若，求值域.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值；（2）定义法证明的单调性；（3）由函数单调性求区间内函数的值域.小问1详解】由，得；【小问2详解】由（1）可知，，任取，则，，，有，即，所以在区间上单调递增.【小问3详解】由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，，，，所以时，值域为.18.已知函数（1）求的定义域；（2）若，，求，的值（结果用含a，b的代数式表示）；（3）若函数求不等式的解集.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）根据真数大于零列不等式，可求的定义域；（2）求出，利用对数的运算法则，结合换底公式可求，的值；（3）根据分段函数的解析式，分两种情况讨论，结合指数函数与对数函数的性质分别解不等式组即可.【小问1详解】要使函数有意义，则，即的定义域为；【小问2详解】因为，，所以则，，【小问3详解】等价于①或②，由①可得；由②可得，综上，不等式的解集为.19.已知函数，.（1）求的单调递减区间；（2）求的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值.【答案】（1）（2）当时，取最大值为2，当时，取最小值为．【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．（2）结合（1）利用单调区间，可求的最大值、最小值，以及使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值.．【小问1详解】由题意可知：．因为，所以，因为，的单调递减区间是，且由，得，所以的单调递减区间为．【小问2详解】由（1）可知，当时，单调递减，可得当时，单调递增，又，，所以：当时，取最大值为2，当时，取最小值为．20.已知函数是指数函数，且其图象经过点，.（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性并证明：（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）为奇函数，证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）设，代入点可求的解析式；（2）利用定义法判断并证明的奇偶性；（3）由的解析式，得不等式恒成立，令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】设指数函数，且，函数图象经过