高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题6.3排列与组合（重难点题型精讲）（学生版）

专题6.3排列与组合（重难点题型精讲）1．排列(1)排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题.2．排列数(1)排列数定义

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

(2)排列数公式

=n(n1)(n2)(nm+1).这里，n,m∈，并且mn.(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(nm+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n1)×(n2)××(nm+1)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是nm+1，共有m个因数.3．全排列和阶乘(1)全排列

特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有=n×(n1)×(n2)××3×2×1.

(2)阶乘

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!，规定0!=1.

(3)排列数公式的阶乘表示

==.4．组合(1)组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.5．组合数与组合数公式(1)组合数

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

==.

这里，n,m∈，并且mn.

②阶乘表示：=.

规定：=1.6．组合数的性质(1)性质1：=

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(nm)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(nm)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.

(2)性质2：=+

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.

由分类加法计数原理可得：=+.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.

【题型1有关排列数的计算与证明】【方法点拨】解有关排列数的方程或不等式的步骤：转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；求解：求转化后的普通方程或不等式解或解集；检验：代入原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n,m∈，并且mn对未知数取值的限制.【例1】（2022春·重庆永川·高二阶段练习）计算：(1)A6(2)解方程5A【变式11】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【变式12】（2022·高二课时练习）解下列方程：(1)A2x+1(2)3A【变式13】（2022·高二课时练习）解下列方程或不等式．(1)3(2)A【题型2有关组合数的计算与证明】【方法点拨】利用组合数公式以及组合数的性质，进行转化求解即可.【例2】（2022·全国·高三专题练习）（1）若C28x=（2）求C4【变式21】（2022·全国·高三专题练习）（1）求值：C（2）求关于n的不等式7C【变式22】（2022·全国·高三专题练习）（1）已知1C5m（2）已知Cnx=Cn【变式23】（2023·高二课时练习）（1）求证：Cn（2）求证：Cn（3）若m、n、r均为正整数，试证明：Cn+m【题型3无限制条件的排列问题】【方法点拨】求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成.【例3】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（

）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种【变式31】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（

）A．5 B．10 C．20 D．60【变式32】（2022·全国·高三专题练习）一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（

）A．84种 B．48种 C．C84种【变式33】（2022·全国·高二专题练习）从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，不同的分配方法数为（

）A．120 B．24 C．48 D．6【题型4有限制条件的排列问题】【方法点拨】在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，当限制条件较多时，要抓住关键条件(主要矛盾)，通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题.【例4】（2022·高二课时练习）某同学有7本不同的书，其中语文书2本､英语书2本､数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻､2本英语书相邻､3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（

）A．12 B．24 C．48 D．720【变式41】（2022·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（

）A．20种 B．24种 C．32种 D．48种【变式42】（2022春·上海浦东新·高二期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（

）A．960种 B．720种 C．480种 D．240种【变式43】（2022春·湖南衡阳·高二阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（

）A．12种 B．8种 C．6种 D．4种【题型5组合问题】【方法点拨】(1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据.(2)含有“至多”“至少”的问题：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.(3)分类讨论思想的应用：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.【例5】（2022·全国·高三专题练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（

）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【变式51】（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【变式52】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（

）A．20 B．40 C．68 D．96【变式53】（2023·全国·高三专题练习）今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．44种 B．48种 C．60种 D．50种【题型6排列、组合的综合问题】【方法点拨】解决先选后排问题,应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.【例6】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二阶段练习）4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（

）A．90 B．150 C．180 D．300【变式61】（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（

）A．8 B．14 C．6 D．20【变式62】（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（

）A．120种 B．216种 C．336种