自动控制原理（第4版）课件 第5章线性控制系统的频域分析法

第5章

控制系统的频域分析目录5-1频率分析的基础知识5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性5-4系统的闭环频率特性5-5利用频率特性对闭环系统进行分析5-6基于MATLAB的控制系统频裕分析1

频域分析法:频域分析法的特点:

1可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。

是一种图解分析方法，它依据系统的频率特性，对系统的性能进行分析。

2能较方便地分析系统中参数对系统性能的影响。25-l频率分析的基础知识

5.1.1频率特性的基本概念

在正弦输入信号作用下，线性定常系统输出的稳态分量称为系统的频率响应。

系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。

图5-1系统的传递函数为3正弦输入信号系统输出响应为(5-1)其中4对式(5-1)进行拉氏反变换，可得对于稳定的系统，当t

+

时，此时系统的稳态分量为(5-3)(5-2)5(5-3)式(5-3)表明,线性定常系统在正弦输入信号作用下,其输出的稳态分量是与输入正弦信号同频率的正弦信号,与输入正弦信号的幅值之比为|G(j

)|,相角之差为∠G(j

),均与G(j

)有关。式中，即

6通常定义

(5-4)

为系统的频率特性，它反映了线性定常系统在正弦输入信号作用下，系统稳态输出信号与正弦输入信号之间的关系。

A(

)=|G(j

)|系统稳态输出信号与正弦输入信号的幅值之比,称为系统的幅频特性,反映了系统稳态输出对于不同频率正弦输入信号的幅值变化特性。

(

)=∠G(j

)系统稳态输出信号与正弦输入信号的相角之差,称为系统的相频特性,表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相位变化特性。

7(5-5)

因为频率特性G(j

)为复数，所以它还可以用如下的形式来表示，即显然，频率特性的极坐标和直角坐标表示形式的相互关系为式中，Re(

)为频率特性G(j

)的实部，它是频率

的函数，称为系统的实频特性；Im(

)为频率特性G(j

)的虚部，它也是频率

的函数，称为系统的虚频特性。8

(5-6)通过上述推导过程，可以看出系统的频率特性与传递函数的关系为

由于这种简单关系的存在，利用频率特性的频率分析法和利用传递函数的时域分析法在数学上是等价的，因此在系统分析和设计时，其作用也是类似的。但频率分析法有其独特的优势。因为利用式(5-6)不仅可以获得稳定系统的频率特性，而且也可获得不稳定系统的频率特性。另外稳定系统的频率特性还可以通过实验的方法获得，这对于那些内部结构未知以及难以用分析的方法列出动态方程的系统尤为重要。频率特性虽然是一种稳态特性，但它却不仅能够反映系统的稳态性能，而且还可以用来研究系统的稳定性和暂态响应。9根据对数频率特性的实部和虚部(不考虑0.434)，可得：

对数幅频特性:

对数相频特性:

另外，由系统的频率特性式(5-4)，可得系统的对数频率特性10对数幅相图对数幅相频率特性(Nichols)对数坐标图

对数频率特性(Bode)频率对数分度幅值/相角线性分度极坐标图

幅相频率特性(Nyquist)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(

)—

(

)图5.1.2频率特性的表示方法11(1)极坐标图

极坐标图，又称为幅相频率特性曲线。它是当频率

从0变化时，G(j

)在直角坐标复平面上的幅值A(

)=|G(j

)|与相角

(

)=∠G(j

)的关系曲线。幅频特性为

的偶函数，相频特性为

的奇函数，则

从0+

和从0-

的幅相频率特性曲线关于实轴对称，因此只绘制

从0+

的曲线。用小箭头表示

增大时曲线的变化方向。12(2)对数坐标图对数坐标图，又称对数频率特性曲线。对数频率特性曲线就是将频率特性表示在对数坐标系中。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。对数幅频特性曲线：对数相频特性曲线：(

)13注：横坐标都按

的自然对数值lg

分度，但为了便于观察仍以频率

的值进行标注，单位为弧度/秒(rad/s)；对数幅频特性曲线的纵坐标按线性分度，单位为分贝(dB)；对数相频特性曲线的纵坐标按线性分度，单位为度(

)；

=0不可能在横坐标上表示出来；14对数频率特性采用

的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。在同一张图中，既画出了频率特性的中、高频段，又能清楚地画出其低频段。另外，采用对数坐标后，可将幅值的乘除运算化为加减运算，使计算简化。在对数坐标表图中，对数幅频特性可用分段直线（又称渐近线）近似表示，它易于绘制且具有一定的精确性。对这些渐近线进行适当的修正，便可获得精确的对数坐标图。通常可用这种用渐近线表示的对数坐标图对系统进行分析和设计。151617(3)对数幅相图

对数幅相图，又称为对数幅相频率特性曲线。它以相位

(

)为横轴，为L(

)=20lgA(

)纵坐标，频率

为参变量的一种图示法。对数幅相图是在

为参变量的情况下，将对数幅频和相频特性两张图合成一张图。纵坐标为对数幅值L(

)(dB)，横坐标为相应的相角

(

)()

。

18第5章

控制系统的频域分析5-1引言5.1.2频率特性的表示方法5.1.1频率特性的基本概念频率特性G(j

)极坐标图、对数坐标图和对数幅相图内容回顾195-2典型环节的频率特性5.2.1比例环节比例环节的传递函数为1．比例环节的幅相频率特性(极坐标图)其频率特性为幅频和相频特性分别为极坐标图为实轴上的一点202．比例环节的对数频率特性(对数坐标图)当

从0+

变化时，对数幅频特性为一水平直线，相角

(

)

0，

如图：

对数幅频和对数相频特性分别为

215.2.2积分环节

1．积分环节的幅相频率特性（极坐标图）

其频率特性为：幅频和相频特性分别为：当

从0变化时，A(

)由

0，相角

(

)=-900，如图所示：传递函数为222．积分环节的对数频率特性（对数坐标图）对数幅频和对数相频特性分别为当

从0变化时，

每增大十倍，L(

)值下降20dB。

L(

)是斜率为–20dB/dec的直线；相角

(

)=-900

235.2.3微分环节

微分环节的传递函数为1．微分环节的幅相频率特性(极坐标图)

频率特性为幅频和相频特性分别为：当

从0变化时，A(

)由0，

(

)=900

如图中黑线所示：242．微分环节的对数频率特性(对数坐标图)

对数幅频特性和对数相频特性分别为：当

从0变化时，

每增大十倍，L(

)值增大20dB，L(

)是斜率为20dB/dec的直线。25比较积分环节与微分环节的传递函数可知，两者的函数关系互为倒数。因此，两者的对数频率特性曲线形状完全相同，只是对数幅频特性对称于横坐标轴0dB线，对数相频特性对称于00线。但两者的幅频和相频特性曲线形状没有可比性。265.2.4一阶惯性环节

传递函数为1．幅相频率特性（极坐标图）

频率特性为幅频特性为相频特性为27当频率

从0变化时，极坐标图如图所示，为一半圆。实频和虚频特性分别为所以：282、一阶惯性环节的对数频率特性（对数坐标图）

对数幅频特性和对数相频特性分别为当

从0变化时，根据以上两式可得惯性环节对数坐标图的精确曲线，但这样十分麻烦。通常先绘制对数幅频特性的渐近线，然后再在转折频率附近对曲线进行误差修正，便可得到精确曲线。29（1）对数幅频特性的渐近线

当频率

<<1/T时当频率

>>1/T时低频段的渐近线是一条0分贝的水平线，高频段的渐近线是斜率为-20(dB/dec)且与

轴交于

=1/T点的直线。30

L低渐(

)是一条0分贝的水平线,L高渐(

)是斜率为-20(dB/dec)且与

轴交于

=1/T点的直线。交点处的频率

=1/T，称为惯性环节的转折频率。3132（2）对数幅频特性的误差修正

在转折频率

=1/T)处精确曲线L(

)与渐近线的误差最大，为：在频率

=1/(2T)处精确曲线L(

)与渐近线的误差为

在频率

=2/T处精确曲线L(

)与渐近线的误差为33

可见，离转折频率越远误差越小，惯性环节的误差曲线见右图。当频率

从01/T变化时，相角

(

)=0

-450

-900，其对数相频特性如下图所示：

在转折频率附近利用误差曲线对渐近线进行修正便可得到精确曲线。

345.2.5一阶比例微分环节

传递函数为1．幅相频率特性（极坐标图）

频率特性为幅频和相频特性分别为实频和虚频特性分别为如图所示：352.一阶比例微分环节的对数频率特性(对数坐标图)对数幅频和相频特性分别为

对数坐标图36

比较一阶比例微分环节与一阶惯性环节的对数频率特性表达式可知，两者的函数关系只是符号相反。因此，两者的对数频率特性曲线形状相同，只是对数幅频特性对称于横坐标轴0dB线，对数相频特性对称于00线但两者的幅频和相频特性曲线形状没有可比性。375.2.6二阶振荡环节

传递函数为1．幅相频率特性（极坐标图）

频率特性为幅频和相频特性分别为：38(3)在

(0,0.707)时，出现谐振峰值，

r为谐振频率。对于二阶振荡环节，令(2)A(

)和

(

)也随着阻尼比改变而改变。

当

从01/T变化时，A(

)由11/(2

)

0，

(

)=00

-900

-1800。

39得：极坐标图如下图402．二阶振荡环节的对数频率特性（对数坐标图）

对数幅频和相频特性分别为当频率

从0变化时，根据L(

)和

(

)值可得对数坐标图的精确曲线，但麻烦。通常先绘制对数幅频特性的渐近线，然后在转折频率附近对曲线进行误差修正，便可得到精确曲线。41(1)对数幅频特性的渐近线当频率

<<1/T时，可得低频段渐近线为

当频率

>>1/T时，可得高频段渐近线为

低频段的渐近线是一条0分贝的水平线，高频段的渐近线是一条斜率为-40(dB/dec)且与

轴交于

=1/T点的直线。42

二阶振荡环节对数幅频特性的渐近线如右图所示。高、低频段渐近线交点处的频率

=1/T=

n称为二阶振荡环节的转折频率。43(2)对数幅频特性的误差修正

在转折频率

=1/T处精确曲线L(

)与渐近线的误差最大，误差也随着阻尼比

改变而改变，离转折频率越远误差越小，如下图所示。44在转折频率

=1/T附近，利用误差曲线对渐近线进行修正便可得到精确曲线L(

)；当

从01/T

变化时

(

)=0

-900

-1800，二阶振荡环节在不同阻尼比

下的对数幅频和相频特性曲线如右图所示：455.2.7纯迟后环节

传递函数为1.幅相频率特性（极坐标图）

频率特性为幅频和相频特性分别为：当频率

从0变化时，A(

)=1，相角

(

)由0-

，极坐标图如图中实线46另外，当

<<1时，

所以，当

<<1时，纯迟后环节可近似为472.纯迟后环节的对数频率特性（对数坐标图）

对数幅频和相频特性分别为：当频率

从0变化时，L(

)=0,相角

(

)由0-

，如图48第5章

控制系统的频域分析5-1引言5-2典型环节的频率特性5.2.1积分环节5.2.1比例环节内容回顾5.2.7纯迟后环节495-3系统的开环频率特性

对于图所示的系统，其开环传递函数为：G(s)H(s)将s用j

来代替，便可求得系统的开环频率特性G(j

)H(j

)，简称为开环频率特性。

505.3.1开环频率特性的三种图示法开环频率特性最常用的图示法有以下三种。1.开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）

1)基本概念

开环频率特性的极坐标图，称开环极坐标图，又称为奈奎斯特图（Nyquist图），简称奈氏图。

在绘制开环频率特性的极坐标图时，可将G(j

)H(j

)写成直角坐标形式：51或复指数的形式：当

从0变化时，算出相应的Re()、Im()或A(

)和

(

)，便可准确地绘制出极坐标图，但麻烦。一般情况下，只需要绘制出概略的奈奎斯特图，但是应保持曲线的重要特征，并且在要研究的点附近应有足够的准确性。522)绘制奈奎斯特图的一般规则

假设系统的开环传递函数为便可求得开环频率特性53

(1)低频段的的奈奎斯特曲线当频率

0时①当

=0时，即0型系统

所以0型系统，曲线起始于正实轴上的K点。由此可见，奈奎斯特曲线的起点与系统类型

有关。54②当

=1时，即I型系统

所以I型系统，曲线起始于负虚轴上的无穷远点。55③当

=2时，即II型系统

所以II型系统，曲线起始于负实轴上的无穷远点。56④当

=3时，即III型系统所以III型系统，奈奎斯特曲线起始于正虚轴的无穷远点。57

由于开环频率特性的相位角还与分子和分母的时间常数以及系统类型有关，所以当

=1,2,3,4时，低频段的奈奎斯特曲线如图5-13所示。58(2)高频段的奈奎斯特曲线所以当n>m时，奈奎斯特曲线以顺时针方向收敛于原点，(n-m)值决定与哪个坐标轴相切。①当n-m=1时，曲线将与负虚轴相切；59②当n-m=2时，曲线将与负实轴相切；60③当n-m=3时，曲线将与正虚轴相切；61④当n-m=4时，曲线将与正实轴相切。62由于开环频率特性的相位角还与分子和分母的时间常数以及系统类型有关，所以当n-m=1，2，3，4时，高频段的奈奎斯特曲线如图5-14所示。63(3)中频段的奈奎斯特曲线在0<

<+

区段，奈奎斯特图的形状与开环传递函数的结构及其参数有关。如果系统没有开环零点(m=0)，即开环传递函数的分子中没有时间常数，则当

由0增大到+

的过程中，开环频率特性的相位角以一个方向连续变化，即由0依次减到-v900

，且奈奎斯特图为平滑曲线。如果开环传递函数的分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，开环频率特性的相位角可能不按同一个方向连续变化，此时奈奎斯特图可能出现凸凹部。

64当或时，系统的奈奎斯特图均为平滑曲线。当时，系统的奈奎斯特图可能会出现凸凹部。

例如，若系统的开环传递函数为65例如，若系统的开环传递函数为当或时，系统的奈奎斯特图均为平滑曲线。当时，系统的奈奎斯特图可能会出现凸凹部。

66

根据奈奎斯特图与坐标轴的交点和幅值的极值点，可以进一步确定中频段的奈奎斯特图。假设开环频率特性为①求与坐标轴的交点令开环频率特性G(j

)H(j

)的实部Re(

)和虚部Im()分别为零，便可得到开环频率特性与虚轴和实轴的所有交点。其中，实部等于零的解，是与虚轴的所有交点；虚部等于零的解，是与实轴的所有交点。67②求极值点令可得极值点的频率。将该频率代入A(

)中，便可得到开环频率特性在该频率点的幅值。68例5-1

已知系统的开环传递函数为试绘制系统开环频率特性的极坐标图(奈奎斯特曲线)解系统的开环频率特性为69②高频段的奈奎斯特曲线因为系统的n-m=2，故曲线将于负实轴相切。①低频段的的奈奎斯特曲线因

=0，故曲线起始于正实轴上的K=5。70令

，则

=0④曲线与虚轴的交点曲线仅在

=0处与实轴有交点。③曲线与实轴的交点极坐标图712.开环频率特性的对数坐标图（Bode图）

1)基本概念

开环频率特性G(j

)H(j

)的对数坐标图，也称开环对数坐标图，又称为伯德图（Bode图）。图所示的系统，假设其开环传递函数G(s)H(s)由n1个典型环节串联组成，则系统的开环频率特性72

开环对数相频特性：可见：由若干典型环节串联组成的开环频率特性，对数幅频特性为各环节对数幅频特性之和，对数相频特性为各环节对数相频特性之和。

开环对数幅频特性：732)绘制伯德图的一般规则

(1)将开环频率特性化成典型环节之积的形式：求出各环节的转折频率，标注在对数坐标图上。(2)确定低频段的渐近线假设系统的开环频率特性为绘制对数幅频特性渐近线的步骤：74即低频段(

<<

min)的渐近线方程为若因子(jτi

+1)和因子(jTi

+1)中的最小转折频率为

min=min{1/τi,1/Ti}，则当

<<

min时：75系统低频段的渐近线：0型系统是一条水平直线;I型系统是一条斜率为-20(dB/dec)的直线;II型系统是一条斜率为-40(dB/dec)的直线；依次类推。所以低频段的渐近线是斜率为-

20(dB/dec)，且通过

=1，L低渐(

)=20lgK点(或与

轴交于

=K1/v点)的直线。它从低频段开始一直到最小转折频率处。当

=1时，有L低渐(

)=20lgK当L低渐(

)=0时，有20lgK=

20lg

，即K=

76(3)L(

)从低频段开始向高频段延伸时，每经过一个转折频率，渐近线斜率的改变量为该转折频率所属典型环节的高频渐近线斜率。(4)在各转折频率附近对渐近线作合理修正，便可得到精确的L(

)曲线。系统开环对数相频特性的绘制，先分别画出各典型环节的对数相频特性，然后将各曲线进行叠加。实际画图时，可先写出总的系统开环相频特性表达式，然后每隔十倍频程或倍频程计算出一个点，最后用光滑曲线连接。77例5-2

已知系统的开环传递函数为试绘制系统的对数坐标图。对数坐标纸

78解系统的开环频率特性为系统由比例、积分、一阶惯性、一阶微分和一阶惯性5个典型环节组成，其中一阶惯性、一阶微分和一阶惯性的转折频率分别为：1、10和100。

min=1。79(1)开环频率特性的对数幅频特性

①将转折频率1、10和100标注在对数坐标图中；80②因当

<<

min=1时，系统的低频段渐近线方程可表示为:故在对数坐标图中

min=1之前，画一条斜率为-20dB/dec，且过点

=1，L低渐(

)=40-20lg1=40dB的低频渐近线。81③渐近线过第1个转折频率1后，斜率按该一阶惯性的性质增加-20dB/dec，变为-40dB/dec；82④渐近线过第2个转折频率10后，斜率按该一阶微分的性质增加20dB/dec，变为-20dB/dec。83⑤渐近线过第3个转折频率100后，斜率按该一阶惯性的性质增加-20dB/dec，又变为-40dB/dec。系统的对数幅频特性如图：84在转折频率附近按误差曲线修正，便可得精确曲线。85(2)开环频率特性的对数相频特性开环频率特性的对数相频特性为比例、积分、一阶惯性、一阶微分和一阶惯性5个典型环节对数相频特性的叠加，如下图所示。86系统的对数坐标图873.开环频率特性的对数幅相(Nichols)图

开环频率特性的对数幅相图，也称开环对数幅相频率特性，又称为尼科尔斯（Nichols）图。它可根据开环频率特性G(j

)H(j

)的对数幅频特性和相频特性或直接根据系统的开环频率特性的对数坐标图进行绘制。开环对数幅相图以

(

)为横轴，L(

)为纵坐标，以频率

为参变量的一种图示法。88例5-3

已知系统的开环传递函数如例5-2所示，试绘制系统的尼科尔斯（Nichols）图。解根据例5-2所绘制系统的对数坐标图（左图），当

从小到大变化时，将相应的对数幅频和相频特性值分别作为对数幅相平面中的纵坐标和横坐标。

便可得该系统的Nichols图，如右图所示。895.3.2最小相位系统

1．最小相位系统的定义

非最小相位系统：具有非最小相位开环传递函数的系统。最小相位传递函数：在右半s平面上没有零点和极点的传递函数，非最小相位传递函数：在右半s平面上有零点或极点，或有纯迟延环节的传递函数称为。最小相位系统：具有最小相位开环传递函数的系统。90例如非最小相位一阶惯性环节和一阶比例微分环节对数频率特性分别为其对数坐标图分别如右图中的虚线和实线所示。91非最小相位环节与同类型的最小相位环节的对数幅频特性相同，而其对数相频特性相反。换言之，非最小相位环节的对数相频特性的变化趋势与其对数幅频特性的变化趋势不一致。

而最小相位环节的对数幅频特性的变化趋势与相频特性的变化趋势是一致的，即当对数幅频特性的斜率增加或者减小时，其相频特性的角度也随之增加或者减小。

92例5-4

已知系统的开环传递函数分别为试绘制系统的开环对数坐标图。93解根据开环传递函数可得它们的对数幅频特性均为94对数相频特性分别为

开环对数坐标图分别如图所示：

95在具有相同幅频率特性的一类系统中，当频率

从0变化至时，最小相位系统的相角变化范围最小，如

1，且对数幅频特性的变化趋势与相频特性的变化趋势是一致的。而非最小相位系统则不然，它的相位变化范围通常比最小相位系统要大，如

2；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与对数幅频特性的斜率变化趋势不一致，如

3

。96

因而，对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性之间存在着惟一的对应关系。但非最小相位系统的相角变化范围通常比最小相位系统的相角变化范围大。因此，对于最小相位系统，可只根据对数幅频特性（或相频特性）对其进行分析；而对于非最小相位系统，在进行分析或综合时，必须同时考虑其对数幅频特性与相频特性。972.根据最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数

根据最小相位系统的开环对数幅频特性（或相频特性），就可惟一的确定该开环传递函数，其步骤如下：(1)确定系统的类型根据系统开环对数幅频特性低频段渐近线的斜率为-20vdB/dec来确定系统类型v的值。98(2)确定系统所含各环节的类型和参数

从低频到高频根据开环对数幅频特性渐近线的斜率变化和转折频率的大小来确定系统所含各环节的类型和参数，如在转折频率后斜率变化-20dB/dec，该环节对应于惯性环节；斜率变化-40dB/dec，对应于重惯性环节或二阶振荡环节；斜率变化20dB/dec，对应于比例微分环节；斜率变化40dB/dec，对应于重比例微分环节或二阶微分环节。转折频率的倒数即为该环节的时间常数。99(3)确定系统的开环增益（三种方法）①利用开环对数幅频特性低频段渐近线L(

)=-20vlg+20lgK或其延长线，在

=1时，L(

)=20lgK

；或

=K1/v时，L(

)=0来确定开环增益K。②首先利用穿越零分贝线的斜率-NdB/dec可列写方程L(

)=-Nlg

0+b；然后根据在零分贝线处的频率

0必满足L(

0)=-Nlg

0+b=0，可求出b值；最后再利用穿越零分贝线方程上的其它已知点的值，便可求出开环增益K。100③利用系统在零分贝点频率

0前的开环对数幅频特性的渐近线方程来确定开环增益K。该渐近线方程是这样确定的，如果某环节的转折频率小于

0

，则该环节的对数幅频特性方程，用其低频近线方程代替；如果某环节的转折频率大于

0

，则该环节的对数幅频特性方程，用其高频近线方程代替。101例5-5

已知最小相位系统对数幅频特性的渐近线如图5-20所示，试确定系统的开环传递函数。解(1)系统为I型，且有两个转折频率

1=0.01，

2=10，设其开环传递函数为：102因低频段（第1个转折频率之前）的渐近线为由

=25时，则开环传递函数为得103(2)系统为II型，有两个转折频率

1=0.5,

2=2，设其开环传递函数为：104在

=0.5时有故可求得：又因低频段(第1个转折频率之前)的渐近线方程：方法1：根据通过处的渐近线方程得由图5-20(b)可知

则再由图5-20(b)可知，在ω=0.5处

图5-20(b)105可得：则开环传递函数为方法2:因零分贝点频率=1处的渐近线方程为

利用ω=1时，

106(3)系统为0型，且有一个转折频率，此系统的幅频特性有谐振现象，故为振荡环节，设其开环传递函数为由图知振荡环节的谐振峰值为：107根据叠加性质，有解得：K=10;ξ=0.496;

n=10则开环传递函数为

108第5章

控制系统的频域分析5-1引言5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性2.开环频率特性的对数坐标图（Bode图）3.开环频率特性的对数幅相(Nichols)图1.开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）内容回顾5.3.2最小相位系统5.3.1开环频率特性的三种图示法

1095.3.3奈奎斯特稳定判据

在前面已经对系统的稳定性进行了分析，并且给出了代数稳定判据。本节介绍判别系统稳定性的另一种方法，即奈奎斯特稳定判据（或简称奈氏判据）。这一判据由H.Nyquist于1932年提出，是一种几何判据，它主要利用系统的开环频率特性判定闭环系统的稳定性，其主要优点是不仅能够判定系统的稳定性，而且还能够看出系统参数对稳定性的影响，并表明系统稳定的程度。

1101.基本原理

对于右图所示系统，其闭环传递函数为要使系统稳定，闭环特征方程:1+G(s)H(s)=0的全部根必须位于左半s平面上。111(1)闭环特征函数的F(s)=1+G(s))H(s)零极点

假设开环传递函数为则闭环特征函数显然，F(s)的极点是系统的开环极点，零点是系统的闭环极点。从而，闭环系统稳定

闭环极点均位于左半s平面

F(s)的零点均位于左半s平面。112(2)映射定理

假设系统的开环极点为pi(i=1,2,…,n)，闭环极点为zj(j=1,2,…,n)，则闭环特征函数作为s的复函数，F(s)的每个值也可以在复平面上来表示，此复平面称为[F]平面，如右图所示。113可以证明：

对于s平面上一条不通过F(s)的任何零极点的连续封闭曲线Cs，在[F]平面上必有一条不通过坐标原点的封闭曲线

与之对应。如图设Cs包围了闭环特征函数F(s)的P个极点，Z个零点，则在s平面上，当变点s沿Cs顺时针方向移动一周时，曲线

将按逆时针方向包围原点N=P-Z次。114证：(1)略（参复变函数）(2)假设闭环特征函数F(s)，在s平面上被封闭曲线Cs包围的P个极点为pi(i=1,2,…,P)，Z个零点为zj(j=1,2,…,z)；不被包围的(n-P)个极点为pp+i(i=1,2,…,n-P)，(n-z)个零点为zz+j(j=1,2,…,n-z)。115其相位角为则F(s)可写成116由图可知，当s平面上的变点s沿曲线Cs顺时针方向移动一周时，被Cs包围的每个矢量的相位角改变量为-3600，而不被Cs包围的每个矢量的相位角的改变量为00。故当s平面上的变点s沿Cs顺时针方向移动一周时，函数F(s)相位角的改变量为117函数F(s)的相位角每改变3600，[F]平面上对应的封闭曲线

的点（即F(s)的端点）沿该封闭曲线将按逆时针方向包围原点一次。故有：

N=P-Z式中，N为[F]平面上封闭曲线

逆时针方向包围原点的次数；P为在s平面上被封闭曲线Cs包围闭环特征函数F(s)的极点数；Z为在s平面上被封闭曲线Cs包围闭环特征函数F(s)的零点数。1182.奈奎斯特路径及其映射

(1)奈奎斯特路径

则被s平面上的封闭曲线Cs包围的函数F(s)的极点数P就是系统位于s右半平面上的开环极点数，而由式Z=P-N计算得到的Z值，就是系统位于s右半平面上的闭环极点数。这样映射定理与系统的稳定性就联系起来了。把这样的封闭曲线Cs称为奈奎斯特路径或Nyquist路径。

选Cs包围整个s右半平面，如图：它由整个虚轴(s=j,从-0

+

)和半径为无穷大的半圆弧（s=）组成。119(2)奈奎斯特路径在[F]平面上的映射

对于闭环特征函数:①当s=j

（

从-0

+

）时，

所以,对于s平面上整个虚轴(s=j

,

从-0

+

)，它在[F]平面上的映射是频率特性曲线(

=0

+

)及其关于实轴的镜像的频率特性曲线(对应于

=-

0部分)。②当s

+

时，

+常数=常数

故对于s平面上半径为无穷大的半圆弧(s=

)以及虚轴上的无穷远点s=j

，它在[F]平面上的映射都为F(j)曲线上的同一定点。

120闭环特征函数的频率特性由单位1和G(j

)H(j)组成，将[F]平面上的F(j)曲线向左平移1个单位，便得[GH]平面上的G(j)H(j)曲线。这样，[F]平面上的原点就对应于[GH]平面上的(-1,j0)点。所以，F(j)曲线在[F]平面上逆时针方向包围原点的次数N，就对应于G(j)H(j)曲线在[GH]平面上逆时针方向包围(-1,j0)点的次数N。(3)奈奎斯特路径在[GH]平面上的映射因为闭环特征函数的频率特性为121奈奎斯特路径在[GH]平面上的映射就是G(j)H(j)曲线，即奈奎斯特(Nyquist)曲线,如图所示。

1223.奈奎斯特稳定判据

1)奈奎斯特稳定判据一

判据一：若系统的开环传递函数

G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点，当

从-0

+

变化时，如果开环频率特性G(j)H(j)曲线（即Nyquist曲线），逆时针方向包围(-1,j0)点的次数N，等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面的开环极点数P，则闭环系统稳定。否则，系统在右半s平面的闭环极点数为Z=P-N。123例5-6

已知单位反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定性。解

(1)系统开环频率特性：当

从0+

变化时开环频率特性G(j)H(j)曲线(即Nyquist曲线)如图中实线所示。124镜像对称得

从-0变化时的G(j)H(j)曲线，如图中虚线:

G(s)H(s)在右半s平面有一个开环极点，故P=1。从图知，当K>1时，

从-0

+

变化时，Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的1次，即N=1，此时Z=P-N=0，系统稳定。当K<1时，Nyquist曲线不包围(-1,j0)点，即N=0，此时Z=P-N=1，系统不稳定。当K=1时，系统处于稳定边界。125

(2)利用镜像对称关系，根据例5-1中当

从0+变化时，开环频率特性曲线，如图5-27(b)中实线所示。可得系统当

从-0变化时的曲线，如图5-27(b)中虚线所示。由于该系统的P=0。且从图5-27(b)中可知，当

从-0+变化时，Nyquist曲线不包围(-1,j0)点，即N=0。Z=P-N=0，闭环系统稳定。1262)奈奎斯特稳定判据二当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上有极点时，要对s平面上的Nyquist路径进行修正，使其不通过G(s)H(s)的极点。(1)G(s)H(s)在s平面的原点有极点假设系统的开环传递函数为127(a)修改的Nyquist路径若G(s)H(s)在s平面的原点有极点，为使s平面上的Nyquist路径不通过原点，可对Nyquist路径在原点附近进行修正：以原点为圆心，做半径为无穷小的右半圆弧，如图将此半圆弧作为Nyquist路径的一部分，从而将原点归入了左半s平面。

128(b)修改的Nyquist路径在[GH]平面上的映射位于原点附近的小半圆可表示为（

从-900

00

+900）

考虑

0，有映射为半径为无穷大的圆弧，从+v900开始，顺时针经00，结束于-v900。129(2)G(s)H(s)在s平面的虚轴上有极点

在虚轴上的极点处作半径为无穷小的右半圆，即在极点附近，取（

0，

从-900

00

+900），使Nyquist路径不通过虚轴上的极点但仍包围整个s右半平面，修改后的奈奎斯特判据仍可用。

130

修改后的Nyquist路径在[GH]平面上的映射,一般称为增补的Nyquist曲线。

判据二：当

从-0

+

变化时，如果增补的开环频率特性G(j)H(j)曲线（即增补的Nyquist曲线），逆时针方向包围(-1,j0)点的次数N，等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面的开环极点数P，则闭环系统稳定。否则，系统在右半s平面的闭环极点数为Z=P-N。131例5-7

已知单位反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定性。解

(1)系统的开环频率特性为132当

从0+

+

变化时，即Nyquist曲线如图实线,镜像对称得

从-0-变化时的曲线，如图中虚线,系统属最小相位系统，故P=0。从图中可知：N=0。Z=P-N=0，系统稳定。N=-2。Z=P-N=2，系统不稳定。当时，当时，133(2)系统的开环频率特性为当

从-0+变化时，开环频率特性G(j

)H(j

)曲线如图5-30(b)中所示。因该系统为II型系统，故增补的大圆弧为半径为无穷大的一个圆弧，如图5-30(b)中点画线所示，增补的Nyquist曲线顺时针方向包围(-1,j0)点的两次，即N=-2。由于该最小相位系统的P=0。则Z=P-N=2，闭环系统不稳定，且其稳定性与系统的参数无关。134例5-8

当

从0++变化时，II型最小相位系统开环频率特性的极坐标图如图5-31所示。试利用奈奎斯特稳定判据判断该闭环系统的稳定性。135解(1)根据题意可以补画系统，当

从-0-和从0-0+变化时的开环频率特性曲线(它们分别为图5-32中的虚线和点画线)。从而得到系统，当

从-0+变化时的开环频率特性曲线（Nyquist曲线），如图5-32所示。136(2)对于图5-32(a)所示最小相位系统（P=0），由于Nyquist曲线没有包围(-1,j0)点，因此该闭环系统稳定。而对于图5-32(b)所示最小相位系统(P=0)，由于Nyquist曲线顺时针方向包围(-1,j0)点的两次，即N=-2。此时Z=P-N=2，闭环系统不稳定，系统在右半s平面有两个闭环极点。1374.奈奎斯特稳定判据的推广

1)奈奎斯特稳定判据在极坐标图中的推广

对于比较简单的开环频率特性曲线，通过观察便可看出对（-1，j0）点的包围情况，而对于比较复杂的系统，必须借助开环频率特性曲线在实轴（-,-1）范围内的正负穿越情况来判断，如图5-31所示。

利用奈奎斯特判据判断系统是否稳定，主要就是看系统的开环频率特性G(j)H(j

)曲线对（-1，j0）点的包围情况。138当频率

从0

+

变化时，开环频率特性曲线从上半[GH]平面穿越负实轴到下半[GH]平面，由于这种穿越伴随着相位角的增加，故称其为正穿越，正穿越次数用N+表示。如果开环频率特性曲线沿逆时针方向起始或终止于(-1,j0)点左侧负实轴上，记为半次正穿越。

139当频率

从0

+

变化时，开环频率特性曲线从下半[GH]平面穿越负实轴到上半[GH]平面，由于这种穿越伴随着相位角的减小，故称其为负穿越，负穿越次数用N-表示。如果开环频率特性曲线沿顺时针方向起始或终止于(-1,j0)点左侧负实轴上，记为半次负穿越。

140奈奎斯特稳定判据根据正、负穿越次数描述为：

正穿越意味着G(j)H(j)曲线对（-1，j0）点的逆时针方向的包围，负穿越意味着顺时针方向的包围。当

从0+变化时，若开环频率特性G(j)H(j

)曲线在实轴（-，-1）范围内的正穿越与负穿越次数之差N'=N+-N-的两倍，等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面的开环极点数P，则闭环系统稳定。否则，系统在右半s平面的闭环极点数为Z=P-2N

'141

例5-9

试利用奈奎斯特稳定判据在极坐标图中的推广，判定例5-6和例5-8中所给系统的稳定性。

解

(1)对于例5-6中第1个系统，当从0→+∞变化时，若K>1，由图5-27（a）可知N+=0.5，N-=0，即N'=N+-N-=0.5。该系统因位于右半s平面的开环极点数P=1，则在右半s平面的闭环极点数Z=P-2N'=1-2*0.5=0。故该系统稳定。图5-27(a)例5-6(a)的Nyquist曲线若K<1，由图5-27(a)可知N+=0，N-=0，即N’=N+-N-=0，则在右半s平面的闭环极点数Z=P-2N'=1-2*0=0。故该系统不稳定。若K=1，系统临界稳定。142对于例5-6中第2个系统。当从0→+∞变化时，由图5-27（b）可知N+=0，N-

=0，即N'=N+-N-=0。该系统因位于右半s平面的开环极点数P=0，则在右半s平面的闭环极点数Z=P-2N'=0。故该系统稳定。

图5-27(b)例5-6(b)的Nyquist曲线143

(2)对于例5-8中第1个系统。当从0→+∞变化时，由图5-32（a）可知N+=1，N-

=1，即N'=N+-N-=0。该系统因位于右半s平面的开环极点数P=0，则在右半s平面的闭环极点数Z=P-2N'=0。故该系统稳定。图5-32(a)例5-8(a)的Nyquist曲线144对于例5-8中第2个系统。当从0→+∞变化时，由图5-32（b）可知N+=1，N-

=2，即N'=N+-N-=-1。该系统因位于右半s平面的开环极点数P=0，则在右半s平面的闭环极点数Z=P-2N'=2。故该系统不稳定。图5-32(b)例5-8(b)的Nyquist曲线1452)奈奎斯特稳定判据在伯德图中的推广

极坐标图（Nyquist曲线）和对数坐标图（Bode图）的对应关系：(2)极坐标图中单位圆外的部分，与对数坐标图中零分贝线以上的部分相对应；(3)极坐标图中的负实轴，对应于对数坐标图中的-180

相位线。(1)极坐标图中的单位圆，对应于对数坐标图中的零分贝线；146因此，极坐标图中的频率特性曲线在(-,-1)区段的正负穿越，在对数坐标图中表现为在对数幅频特性曲线L(

)>0dB的范围内，当

↑时，相频特性曲线从下向上穿越-180相位线称为正穿越N+。反之称为负穿越N-。如图所示：147综上所述，在对数坐标图中的奈奎斯特判据可叙述为：当

从0+

变化时，在对数幅频特性曲线L(

)>0dB的范围内，如果相频特性曲线对-180相位线的正穿越与负穿越次数之差N'=N+-N-的两倍。等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面的开环极点数P，则闭环系统稳定。否则，系统在右半s平面的闭环极点数为Z=P-2N'。148例5-10

设系统的开环传递函数为

试确定使系统稳定时K值范围。

解系统的开环频率特性为149令有令所以使系统稳定的K值范围为：得：由于当K<2.65时：N+-N-=0150第5章

控制系统的频域分析5-1引言5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性

5.3.1开环频率特性的三种图示法

5.3.2最小相位系统的开环频率特性

5.3.3奈奎斯特稳定判据2.奈奎斯特路径及其映射3.奈奎斯特稳定判据一和判据二1.基本原理内容回顾4.奈奎斯特稳定判据的推广1515.3.4控制系统的稳定裕量

第3章中曾经在s平面讨论分析过系统相对稳定性和稳定裕量的概念。本节利用系统的开环频率特性来研究闭环系统的相对稳定性。在频域中，系统的稳定裕量通常用相角裕量和幅值裕量来表示。1521.稳定裕量在极坐标图中的表示

对于最小相位系统，若Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，则系统稳定。若系统稳定，Nyquist曲线离(-1，j0)点越远，闭环系统稳定程度越高，反之，稳定程度越低。由此可见，奈氏图不仅表明了系统是否稳定，而且还表明了稳定系统的稳定程度，这就是所谓的相对稳定性。153由于(-1,j0)点可表示幅值为1，相角为-1800的向量，即s=-1+j0，所以Nyquist曲线对(-1,j0)的靠近程度，即系统的稳定裕量可从幅值和相角两个方面来考虑。一般用相位裕量

和增益裕量Kg表示最小相位系统的Nyquist曲线对临界稳定边界点(-1,j0)靠近程度的定量关系，它反应了系统的相对稳定性。1541)相位裕量

设G(j

)H(j)曲线，在极坐标图中与单位圆交于C点，C点处的频率

c称为增益穿越频率(也称剪切频率或截止频率)。如图：

c处的相角G(jc)H(jc)与-1800的相位差称为相位裕量或相角裕量，用

表示，即

c满足155相位裕量

表示在增益穿越频率

c处,G(jc)H(jc)与-1800的接近程度。当

>0时，表示相位裕量是正的，闭环系统稳定，如图中G(j)1H(j)1所示；156

<0时，表示相位裕量是负的，闭环系统不稳定，如图中系统G(j)2H(j)2所示；

=0时，表示相位裕量为零，闭环系统属于临界稳定，如图中系统G(j)3H(j)3所示。1572)增益裕量

设G(j

)H(j)在极坐标图中与负实轴相交于G点，G点处的频率

g称为相位穿越频率。如图

|G(jg)H(jg)|的倒数称为增益裕量或幅值裕量，用Kg表示。Kg表示在

g处，幅值与单位圆1的接近程度。158当Kg>1时，表示增益裕量大于1，系统稳定，如图中G(j)1H(j)1；

Kg<1时，表示增益裕量小于1，系统不稳定，如图中G(j)2H(j)2

；

Kg=1时，表示增益裕量等于1，系统临界稳定，如图中G(j)3H(j)3。159例5-11已知系统的开环传递函数求系统的相角裕量和幅值裕量。解：系统的开环频率特性为则

，

160令得相角裕量

，

令得幅值裕量

1612.稳定裕量在对数坐标图中的表示

c在Bode图中对应零分贝的点，即L(

)与

轴的交点。

g在Bode图中对应相角为-1800的点，即开环对数相频特性曲线与-1800水平直线的交点。162在Bode图中，相位裕量和增益裕量的定义仍同上，但增益裕量通常以分贝数来表示，即对于稳定的系统，增益裕量为正，如图中G(j)1H(j)1系统所示；163不稳定的系统：

Kg<0dB为负,如图G(j)2H(j)2；临界稳定系统：

Kg=0dB，增益裕量为零，如图中G(j)3H(j)3

164增益裕量反映系统开环增益对闭环系统稳定性的影响，相位裕量反映理论上只改变开环频率特性的哪些参数的变化对稳定性的影响。因此增益裕量大的系统其相位裕量不一定大。所以一般需同时利用增益裕量和相位裕量两种性能指标来衡量系统的相对稳定性。一般相位裕量应当在300

600之间，而增益裕量Kg应大于2或6dB，因20lg2=6dB。165系统的稳定性，除可利用相位裕量和增益裕量判断外，也可利用开环频率特性G(j

)H(j)的极坐标图和对数坐标图来判断。通常，对于最小相位系统，当

c<g时，一定存在

>0和Kg>1，所以系统必然稳定。当

c>g时，一定存在

<0和Kg<1，系统不稳定。当

c=g时，一定满足

=0和Kg=1，系统临界稳定。

1663.稳定裕量在对数幅相图中的表示

在对数幅相图中，系统相对稳定性参数如图(a)稳定系统

(b)不稳定系统

(c)临界稳定系统

相位穿越点(即-180°线)和幅值穿越点(0分贝线)之间的水平距离是

，垂直距离是Kg。

167由于开环频率特性G(j

)H(j

)的幅值与开环增益成正比，而相位则与开环增益无关。因此，当系统的开环增益改变时，系统的开环对数幅相图仅是上下移动，而不改变形状；而当对G(j

)H(j

)增加一恒定相角，曲线为水平平移。这对分析系统的稳定性和系统参数之间的相互影响是很有利的。168第5章

控制系统的频域分析5-1引言5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性2.稳定裕量在对数坐标图中的表示3.稳定裕量在对数幅相图中的表示1.稳定裕量在极坐标图中的表示内容回顾5.3.1开环频率特性的三种图示法5.3.2最小相位系统的开环频率特性5.3.3奈奎斯特稳定判据5.3.4控制系统的稳定裕量1695-4系统的闭环频率特性

5.4.1等M圆(等幅值轨迹)和等N圆(等相角轨迹)

对于单位反馈系统：其闭环传递函数为：闭环频率特性：可逐点绘制出系统的闭环频率特性。但工作量太大，工程上常采用以下图解法。170单位反馈系统的开环频率特性为则闭环频率特性

1711、等M圆(等幅值轨迹)

根据幅值条件，有

(1)当M=1时，式(5-43)变成一条平行于jIm轴的直线(Re=-1/2)，相当于一个圆心在(-

,j0)，半径为的圆；(2)当M≠1时，式(5-43)整理可得

(5-43)

(5-44)

172式(5-44)，当M取不同值时，在Re-Im复平面上，是一个圆族，如图：①当M>1时，所有圆均位于M=1这一直线的左侧；②当M<1时，所有圆均位于M=1这一直线的右侧。圆心在半径为1732．等N圆(等相角轨迹)

有由令174得式(5-45)，当N取不同值时，在Re-Im复平面上，是一个圆族，如图：(5-45)圆心在半径为175

(1)等N圆上以

值进行标注，对于同一N值，

是多值的，但仅标注(-180

+180

)范围的

值；

(2)当Re=0,Im=0和Re=-1,Im=0时，所有的等N圆均通过（0，j0）和（-1，j0）点；

(3)对于给定

值的等N圆轨迹，实际上是一段圆弧，如

=60

和

=-120

的圆弧是同一个圆的一部分。故对于位于实轴以上的圆弧

值标以相应的正值（0+180

），位于实轴以下的圆弧

值标以相应的负值（-1800

）。176

(4)当N=0(

=0)时，相应的“圆”是与实轴重叠的直线，其中位于（-1，0）之间线段的

值为

180

，其余部分的

值为0。

(5)由于在等N圆上

是多值的，因此利用等N圆来确定系统的相角时，就必须适当指出

值的范围，为了避免错误，应从对应于

=0的零频开始，一直到高频，相位曲线必须是连续的。

1775.4.2利用等M圆和等N圆求系统的闭环频率特性

1.单位反馈系统的闭环频率特性将G(j

)的极坐标图(Nyuist图)与等M圆(或等N圆)按相同的比例重叠画出，如图178

适当选取曲线G(j

)与一系列等M圆(或等N圆)的交点，并读取这些交点(或切点)对应的频率

和M(或N)值，便得到单位反馈系统的闭环幅频特性M(

)和闭环相频特性

(

)。其中曲线G(j)和等M圆的切点处对应的频率

就是谐振频率

r，M值就是谐振峰值Mr。如图

1792.非单位反馈系统的闭环频率特性

非单位反馈系统，可将其变换为等效的单位反馈系统，如图图(b)系统的闭环频率特性Y(j

)/R(j

)可按以上方法求取，它们再与频率特性1/H(j

)相乘(或相加)，便得总的闭环频率特性(A(

)和

(

))曲线。1803.系统的闭环频域性能指标

频率特性在数值和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量。系统的闭环幅频和相频特性曲线如图:181(1)谐振频率

r

：最大幅值时所对应的频率。(2)谐振峰值Mr

：最大幅值，越大，超调量越大。(3)闭环截止频率(或频带

b)：幅值衰减到起始值的0.707倍时的频率。越大，系统的快速性越好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短。(4)零频幅值A(0)：频率

=0时的幅值。表示系统阶跃响应的终值。A(0)与1之差越接近于1，系统的稳态精度越高。由图可得以下闭环系统的性能指标:1825.4.3利用尼科尔斯图求系统的闭环频率特性

在对数幅相平面上也可绘制出等幅值轨迹（等M轨迹）和等相角轨迹（等N轨迹）。它们被称为对数幅相平面上的尼科尔斯（Nichols）轨迹，如图：183在绘有等M轨迹和等N轨迹的对数幅相平面上，画出单位反馈系统的开环对数幅相图。该图与等M轨迹和等N轨迹的交点给出了相应频率下闭环系统的对数幅值和相角，如图：

184据此可画出系统的闭环对数频率特性曲线，如图：其中开环对数幅相图与等M轨迹的切点处对应的频率

就是谐振频率

r，等M轨迹的幅值就是谐振峰值Mr的对数值。185第5章

控制系统的频域分析5-1引言5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性5-4系统的闭环频率特性5.4.2利用等M圆和等N圆求系统的闭环频率特性5.4.3利用尼科尔斯图求系统的闭环频率特性5.4.1等M圆(等幅值轨迹)和等N圆(等相角轨迹)内容回顾1865-5利用频率特性对闭环系统进行分析

5.5.1系统频域特性与稳态性能的关系

1.用开环对数幅频特性低频段分析系统稳态性能低频段指L(

)的渐近线在第一个转折频率以前的频段，特性完全由系统的积分环节数v和开环增益K决定，它对应的频率特性为则低频段（

0）的对数幅频特性的渐近线为187当

=1时，L低渐(

)=20lgK；当L低渐(

)=0时，20lgK=20log

，即

K=

所以低频段的渐近线是斜率为-20

(dB/dec)，的直线，且通过

=1，L低渐(

)=20logK点；低频段反映了闭环系统的静态特性。积分环节越多，低频段的渐近线越倾斜，系统的稳态误差越小。或与

轴交于点1882.利用闭环幅频特性分析系统的稳态性能

单位阶跃输入信号，根据终值定理可得系统时域响应的稳态值为系统的稳态误差为显然，可根据闭环频率特性的零频幅值来确定稳态误差：零频幅值越接近于1，系统的稳态误差越小，稳态精度越高。1895.5.2系统频域特性与时域性能的关系

1.典型二阶系统的开环频域与动态时域性能指标的关系

对于典型二阶振荡系统，其开环频率特性阻尼比无阻尼自然振荡频率。开环幅频特性为190开环相频特性为令M(

)=1，可得幅值穿越频率

c为可得系统的相位裕量为由此可见，

c是无阻尼自然振荡频率

n和阻尼比

的函数；而γ仅是

的函数，且成正比关系。

当0<

≤0.7时，可近似为如下线性关系191(1)二阶振荡系统的相位裕量γ与超调量Mp的关系

Mp也是

的单值函数。由此可见，Mp与γ之间也有单值关系。且γ越小，系统阶跃响应的Mp便越大，随之对应的系统相对稳定性也就越差。因此，可用γ来表征系统动态响应的相对稳定性。192(2)开环幅值穿越频率

c与调整时间ts的关系

对于二阶振荡系统，调整时间ts为：

由此可见，ts

c随γ的增加而单调下降。如果γ不变，则ts与

c成反比。即

c越大，ts越短，系统动态响应的快速性就越好。因此，

c表征了系统动态响应的快速性。将

和

n代入ts得1932.典型二阶系统的闭环频域与动态时域性能指标的关系

闭