平面向量基本定理及坐标表示的教学设计及平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

人民教育出版社数学必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示石家庄市第十五中学课题：

2.3平面向量基本定理及坐标表示

2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示科目：数学

教学对象：

高一课时：

1课时一、教学内容分析本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”．此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征，而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容．二、学习者特征分析虽然已经学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算，但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面，而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系，这对学生有一定难度，所以要实现这种认识层级的跃迁，教学中应多举实例，带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示.而且，平面向量基本定理中的“不共线”、“任意”、“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍，在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析，帮助学生理解定理.三、教学目标1.知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义；会运用平面向量基本定理用基底表示平面内的任一向量.(2)掌握平面向量的坐标表示.2.过程与方法经历平面向量基本定理及向量的坐标表示的探究过程，让学生体会由特殊到一般、数形结合、转化与化归的思维方法.3.情感态度与价值观培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。四、教学重点及难点教学重点:平面向量基本定理及其意义和平面向量的坐标表示.教学难点:对平面向量基本定理和平面向量的坐标表示的理解.五、教学策略选择与设计鉴于以上分析，本节课采用以学生合作探究与自主学习相结合为主，以教师点拨为辅的教学原则；教学中应运用“最近发展区”原理，按照“发现”——“归纳”——“认识”——“理解”——“运用”的认知规律进行教学。尤其在“归纳”环节，应让学生充分表达，逐步抽象概括出定理内容.六、教学过程教学内容师生活动设计意图（一）平面向量基本定理通过学习我们知道物理中的力就是数学中的向量，而力的合成即为向量的加法，另一方面一个大小不为零的力也可以被分解成两个不同方向的力，由此联想向量是否也能用两个不同向量来表示呢？引例：给定平面内任意两个不共线向量，请作出教师提出问题，学生动手作图探究教师提醒：（1）规范作图步骤（2）加法的平行四边形法则，数乘运算及共线定理从学生熟悉的物理知识入手，直接切入学生的认知基础“力的分解”，调动学生的学习热情。问题的设置既复习了向量的线性运算，又为后面的探究做好铺垫

探究1：给定平面内任意两个向量，平面内的任一向量a是否都可以用形如的向量来表示？试作图研究。学生先独立思考，然后小组合作交流.选代表发言.通过作图由学生自主探究，采取组内讨论，组间交流的形式得出结论。培养学生的合作意识理解向量可以分解成两个不共线的向量，体会平面向量基本定理形成的现实意义问题1：给定两个向量，试用分别作图表示下列向量。教师巡视发现问题，引导学生：利用向量的平行四边形法则和向量共线定理对向量进行分解探究的设置为突破每位学生任作向量a的单一性，更好的理解“任意性”，体会不同向量的作图分解学生先独立思考，然后小组讨论，选代表上台前展示，并叙述自己的理由.教师巡视，针对出现问题及时引导.讨论辨析结束后，教师归纳总结，体会由特殊到一般的思维方法探究2：若平面内的任一向量a都可以用形如的向量来表示，则对于每个a，是否唯一？并说明理由。针对学生的回答，辅以几何画板的演示，帮助学生更深刻的理解“唯一性”由探究形成定理，由学生发现定理合作交流，得出结论（学生总结定理内容）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底无数组，关键不唯一通过合作探究，学生总结归纳对定理的说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一.是被

，唯一确定的数量进一步完善定理关键内容几何画板演示促使学生再次体会定理的几个关键点（二）向量的坐标表示探究3.平面直角坐标系中，每一个点都可用有序实数对表示，那么对直角坐标平面内的每一个向量，是否也能用一对有序实数来表示呢？在直角坐标系xoy内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为正交基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y……eq\o\ac(○,1)我们把（x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y）…eq\o\ac(○,2)其中x叫做在轴上的坐标，y叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.学生独立思考，自由发言，研究具体问题，在操作中提高学生分析、解决问题的能力.（三）反思评价总结提高从知识与方法两方面谈谈本节课有哪些收获？作业：课本P100练习P1023、4;学生自由发言，教师总结.（教师一要注重知识的整合，二要注意站在思想高度给学生引导，让学生由学会变成会学）反思学习过程，对研究平面向量基本定理的方法进行概括，深化认识，并形成研究问题的思想和获取知识的方法．

板书设计2.3平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理2.向量的夹角注（1）同一平面内（2）是不共线向量3.平面向量的坐标表示（3）任一向量a（4）有且只有一对实数，使平面向量基本定理和坐标表示【知识清单】两个向量的夹角（1）已知两个____向量，在平面内任取一点,作＝，＝，则叫做向量与的夹角（2）向量夹角的范围是__________，当________时，两向量共线，当____________时，两向量垂直，记作⊥2．平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量，__________一对实数，使＝______________．其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组________．（2）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，把有序数对________叫做向量的坐标，记作＝__________，其中______叫做在轴上的坐标，______叫做在轴上的坐标．②，则向量的坐标就是________的坐标，即若，则A点坐标为__________，反之亦成立（O是坐标原点）．3．平面向量的坐标运算向量加法和减法若则实数与向量的乘积若则向量的坐标若起点终点则4．平面向量共线的坐标表示设，其中，⇔__________________________．1.已知平面向量，且，则（

）A

B

C．

D．2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（

）A.

B.C.

D.3.已知，则与平行的单位向量为(

).A.B.

C.

D.4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（

）

A．

B．

C．

D．5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A2

B.C.D.6.已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（

）A、

B、

C、

D、7.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（

）A.

B.

C.

D.8.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围

．9.,若，则

;若,则

10.向量，若向量与向量共线，则

.11.P是△ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.

已知，且，求M、N及的坐标.i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值15.已知向量，向量.（1）若向量与向量垂直，求实数的值；（2）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向.16.在中，分别是内角的对边，且，,若.（1）求的大小；（2）设为的面积，求的最大值及此时的值.平面向量基本定理及坐标表示答案BBBABCB9..

，10.211

又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线

而，为不共线向量

故：

12.设又…①

又而

………………②

比较①②，由平面向量基本定理得：

解得：或（舍），把代入得：

.

13.：

设，则

同