平面图形中的解三角形及平面弯曲习题解答1

利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题 1．如图,是直角斜边上一点,．（I）若,求角的大小；（II）若,且,求的长．2．如图，在平面四边形中，，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的长.3．如图，在四边形中，．（1）求边的长；（2）求的面积．4．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．5．如图所示，在平面四边形中，，，为边上一点，，，，.（1）求的值；（2）求的长.6．如图，在△中，点在边上，，，,.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求△的面积．7．设锐角△的三内角的对边分别为向量，，已知与共线.（1）求角的大小；（2）若，，且△的面积小于，求角的取值范围.8．在中,内角、、对应的边长分别为、、,已知．（1）求角；（2）若,求的取值范围．9．（2012•东至县一模）在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．10．已知满足．（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；（2）已知三个内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值．11．如图，在中，，，，点在边上，且．（1）求；（2）求线段的长．参考答案1．（I）；（II）2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理求出,可得；（II）设,在中,由余弦定理整理出关于x的方程,解方程求出,试题解析：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有.又所以.于是,所以.（Ⅱ）设,则,,.于是,,在中,由余弦定理,得,即,得.故考点：正弦定理、余弦定理.2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求出的值，再利用正弦定理即可求；（Ⅱ）由及（1）可求得的余弦值与正弦值，得用三角形内角和定理及两角和与差的正弦公式可求出，再利用正弦定理即可求的长.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍），由正弦定理得：（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以,由正弦定理得：考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理.3．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理列出方程，即可求解边的长；（2）在中，由余弦定理，得，进而得，利用三角形的面积公式，求解三角形的面积．试题解析：（1）在中，由余弦定理，得，即，解之得或（舍去），所以；（2）由已知，，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以．考点：正弦定理与余弦定理的应用．4．(1);(2).【解析】试题分析：(1)根据同角三角函数关系式由,可求得,的值.因为,可由正弦的两角差公式求得的值.(2)在中可由正弦定理求得的长,即的长,然后再在中用余弦定理求得的长.试题解析：解：(1)因为，所以.又，所以，所以(2)在中，由得，解得.故，从而在中，由，得.考点：1两角和差公式;2正弦定理,余弦定理.【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正,否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．5．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理求解，再利用正弦定理求出；（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出的值，再在中，．试题解析：(Ⅰ)在中，由余弦定理得：，整理得：即，又由正弦定理得，即，所以．(Ⅱ)因为，所以，又，所以所以在中，．考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用．6．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)设，则．因为，，，所以，由余弦定理得．因为，即．解得．所以的长为；（Ⅱ）由(Ⅰ)，所以可得正确答案.试题解析：(Ⅰ)在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．在中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，．所以，从而,所以．考点：余弦定理及三角形面积公式.7．（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；（Ⅱ）通过，，且△ABC的面积小于，得到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围试题解析：（1）因为与共线，则即所以即为锐角，则，所以（2）因为，，则.由已知，，即.因为是锐角，所以，即，故角的取值范围是考点：1.三角函数的恒等变换及化简求值；2.解三角形【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理得,所以；（2）利用正弦定理得,利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.试题解析：（1）∵,由余弦定理得,∵,∴∵,∴（2）由余弦定理得,∴,∴；∵,∴,．所以考点：正弦定理、余弦定理、三角变换.9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=．【解析】试题分析：（Ⅰ）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；（Ⅱ）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解：（Ⅰ）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积S=，可得ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（Ⅱ）由题意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得a=．所以△ABC的面积S=．考点：余弦定理；正弦定理．10．（1）即为的单调递增区间；（2）面积的最大值为【解析】试题分析：（1）根据数量积的坐标表示建立关于的等式关系，再借助两角和与差的正余弦公式化简可得的表达式；（2）先求,确定出角的大小，再根据,利用余弦定理可知,从而求出的最大值，进而得到面积的最大值．试题解析：解：（1），所以，令，得的单调递增区间是（2），∴，又，∴，∴．在中由余弦定理有，可知（当且仅当时取等号），∴，即面积的最大值为．考点：1．三角恒等变换；2．余弦定理；3．三角函数的性质．11．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在中利用正弦定理即可求解．试题解析：（1）根据余弦定理：；（2）因为，所以，，根据正弦定理得：，．考点：正余弦定理解三角形．第8-9章平面弯曲主要知识点：（1）平面弯曲的概念；（2）平面弯曲内力——剪力和弯矩；（3）剪力图和弯矩图；平面弯曲内力——剪力和弯矩1.计算下图所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和弯矩。解：a)（1）考虑整体平衡，可解A、D支座反力得得 （2）计算截面1处的剪力和弯矩 假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(3)计算截面2处的剪力和弯矩 假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(4)计算截面3处的剪力和弯矩 假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(5)计算截面4处的剪力和弯矩 假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得将上述结果列表如下：截面1234剪力（kN）1.171.171.17-3.83弯矩()2.672.673.833.83b)（1）考虑整体平衡，可解A、C支座反力得得（2）计算截面1处的剪力和弯矩 假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(3)计算截面2处的剪力和弯矩 假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(4)计算截面3处的剪力和弯矩 假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得(5)计算截面4处的剪力和弯矩 假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得将上述结果列表如下：截面1234剪力（kN）0.750.750.752弯矩()1.5-2.5-1-1剪力图和弯矩图2.建立图示梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。 （a） （b）解：a)（1）求支座反力（2）求剪力方程和弯矩方程（分段建立方程）AC段CB段（3）作剪力图和弯矩图弯矩图是两斜直线，在C截面处有突变，突变量为M。b)（1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-2b）：，，，，（2）求剪力方程和弯矩方程梁上任取一截面(见图8-2b)，到支座A的距离为x，由截面法得该截面的剪力方程和弯矩方程AB段：， ， （）BC段：，，即，（）图8-2b（3）作剪力图和弯矩图：AB、BC段剪力都为常数，剪力图各为一水平直线。AB、BC段弯矩方程是x的一次函数，弯矩图各为一斜直线。两点可以确定一条直线，当时，；当时，；当时，，连A、B两点可得AB段弯矩图，连B、C两点可得BC段弯矩图，如图8-2b所示。3.剪力和弯矩的正负号如何确定？梁在集中力、集中力偶及均布载荷作用下的剪力图和弯矩图有何特点？答：在计算内力时，为了使考虑左段梁平衡与考虑右段梁平衡的结果一致，对剪力和弯矩的正负号作以下规定： 剪力：使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正，反之为负。 弯矩：使受弯杆件下侧纤维受拉为正，使受弯杆件上侧纤维受拉为负。或者使受弯杆件向下凸时为正，反之为负。(1)当梁上有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。(2)当梁上有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。（3）梁的某一段内有均布载荷作用，则剪力是的一次函数，弯矩是的二次函数。剪力图为斜直线；若为正值，斜线向上倾斜；若负值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当为正值，弯矩图为凹曲线；当为负值，弯矩图为凸曲线。4.什么是剪力、弯矩和载荷集度的微分关系？如何利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图？答：载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系如下：利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图：1.无分布载荷作用的梁段（q=0） 由于，因此=常数，即剪力图为水平直线。而为常数，是x的一次函数，即弯矩图为斜直线，其斜率由值确定。(1)当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。(2)当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。2.均布载荷作用的梁段（为常数）由于，因此，即是x的一次函数，M(x)是x的二次函数，所以剪力图为斜直线，其斜率由q确定；弯矩图为二次抛物线。当分布载荷向上（即q>0）时，>0，弯矩图为凹曲线；反之，当分布载荷向下（即q<0）时，<0，弯矩图为凸曲线。5.指出下图所示各弯矩图的错误，画