高等数学大一上总结

第一章函数与极限主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。内容要点：1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2.复合函数和反函数的概念。

3.基本初等函数的性质及其图形。

4.立简单实际问题中的函数关系式。

5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。一、求函数的定义域①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是解a≦t(x)≦b二、判断两个函数是否相同一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。三、判断函数奇偶性判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。四、数列极限的求法利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。五、函数极限的求法1.用数列求极限方法，2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值，3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。⑤利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。六、判断函数连续性利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。一些初等函数：两个重要极限：诱导公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函数性质：第二章导数与微分一、内容提要1、导数定义，单侧导数，可导充要条件。2、导数的几何意义，导数和切线的关系，光滑曲线和导数的关系。3、可导和连续的关系。4、基本初等函数求导公式。5、导数的四则运算。6、复合函数求导法则，反函数求导法则，参数方程确定的函数求导法则。8、高阶导数；二阶导数的一个物理模型。9、微分的定义，函数的微分和增量关系，导数和微分关系，微分公式和微分运算，一阶微分形式不变性，近似计算。二、重点和难点前面的1、4、5、6、9为重点，7、9为难点。三、基本要求1、正确理解导数的概念(导数是变化率问题抽象出来的数学概念)；会用导数定义求一些最简函数在某点的导数值。2、牢固掌握导数几何意义，快速确定切线方程和法线方程。3、熟练应用本节内容提要中的4、5、6，7；解决一切初等函数求导问题。4、熟练应用微分公式和法则，解决一切初等函数微分问题。内容要点：1.导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3.高阶导数的概念。

4.初等函数一阶、二阶导数的求法。

5.隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6.罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

7.会洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限。

8.函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

9.导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

10.有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11.求方程近似解的二分法和切线法。一、求显函数的导数利用基本初等函数的求导公式，运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，可以求出一般显函数的导数。二、求隐函数的导数三、用“取对数求导法”求函数导数四、求由参数方程所表示的函数的导数五、求函数微分利用微分的定义、一阶微分形式不