四川省成都市2024届高三一模数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省成都市2024届高三一模数学试题（理）第I卷（选择题）一､选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.1 B.3 C.5 D.15〖答案〗D〖解析〗的展开通项公式为，令得，所以展开式中系数为，故选：.2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A.52 B.82 C.162 D.252〖答案〗C〖解析〗采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是．故选：C.3.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用虚数单位的幂的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到〖答案〗.【详析】∵，∴的虚部为-1，故选：A.4.若数列满足，则（）A.6 B.14 C.22 D.37〖答案〗D〖解析〗∵，∴，，，∴.故选：D.5.已知向量，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.6.若实数满足，则的最小值为（）A.0 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗作出不等式表示的平面区域如图：令，则，即当直线在轴上截距最小时，取最小，即过点时，取最小值.故选：B.7.已知函数的大致图象如图所示，则的〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，当时，，无意义，故A错误；对于B，，，则是奇函数，当时，，则；对于C，当时，，则，故C错误；对于D，，则，则是偶函数，故D错误，综上，B正确.故选：B.8.已知平面，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，，所以由面面平行的性质定理可得，则充分性成立；因为，可知，所以，则，又，则，当时，由线面平行的性质定理可知，则必要性不成立；综上所述，是的充分不必要条件.故选：A.9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为在上增函数，所以，即.造函数，则，令，解得，当时，，则为单调递减；当时，，则为单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，即，.综上所述，.故选：C.10.已知，且，则（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又因为，所以，所以，两边平方得，，即，，，，，即，解得或，因为，所以，故选：.11.若恒成立，则实数的最大值为（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.12.已知圆经过椭圆的两个焦点，圆和椭圆在第二象限的交点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于圆，即，圆心为，半径为，当时，，当时，，即如图点即椭圆的两个焦点为，即，又圆和椭圆在第二象限的交点为，由圆周角的性质可得，则，又由得，又得，解得，所以离心率.故选：C.第II卷（非选择题）二､填空题13.已知集合，则__________．〖答案〗〖解析〗，，则.故〖答案〗为：.14.曲线在点处的切线方程为________．〖答案〗〖解析〗因为，所以所求切线的斜率，而，故所求的切线方程为，即.故〖答案〗为：.15.记为等差数列的前项和．若，且成等比数列，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，则①，又因为成等比数列，所以，即②，由①②解得，所以.故〖答案〗为：.16.已知高，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，线段的中点为，因为，所以，解得，设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离，则，要截面面积最小，则要最小，即要最大，当为点到的距离时最大，此时，又，所以，所以，故截面面积的最小值为.故〖答案〗为：.三､解答题17.如图，正四棱柱中，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：正四棱柱中平面，又四边形是正方形，得，所以，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：，，因为，所以即，又平面，，所以平面.（2）解：,,设平面的一个法向量为.由得，即，令，则，即，又.由（1）知，是平面的一个法向量，又.所以，.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值.18.某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200（1）根据上述列联表，是否有的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；（2）根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，记这两人中来自篮球模块化课程的人数为，求的分布列和期望．附：．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由列联表数据可得，所以有的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）随机变量的取值可能为.,的分布列为.19.已知函数．在锐角中，角的对边分别是，且满足．（1）求A的值；（2）若，求的取值范围．解：（1），则，即，又锐角中，，则，则，解之得.（2）锐角中，，则，又，则由正弦定理可得又，则，，则，则，即，由，，可得，则，又，则故的取值范围为．20.已知抛物线的焦点为．（1）已知过点的直线与抛物线相交于两点，求证：以为直径的圆与直线相切；（2）若直线交抛物线于两点，当的面积为2时，求直线的方程．解：（1）抛物线的焦点为．当过点的直线斜率不存在时，其方程为，代入，可得，则以为直径的圆圆心为，半径为2，又圆心到直线距离为2，等于圆的半径，则以为直径的圆与直线相切；当过点的直线斜率存在时，由题意可得其方程可设，不妨令，由，整理得，则，中点横坐标为，则，又中点到直线的距离为,则以为直径的圆与直线相切.综上，以为直径的圆与直线相切.（2）不妨令，由，整理得，则，，整理得，解之得，或，或.经检验均符合题意.则直线的方程为或或．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：．（1）解：由已知，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，若，得，函数单调递增，若，得，函数单调递减；综上所述：当，函数在上单调递增，当时，函数在单调递增，在单调递减；（2）证明：由，得，即证，①当时，设函数，则，在上单调递增，所以所以成立；②当时，要证成立，即证设函数，，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即，设，则，在上单调递减，所以，即，所以，综上：成立.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求直线的普通方程；（2）已知点，若直线交曲线于两点，且，求的值．解：（1）当时，求直线的参数方程为，化简得直线的普通方程.（2）因为曲线的极坐标方程为，所以.又因为，所以曲线的普通方程为.将直线的参数方程为（为参数，）代入，得，化简得，即.因为直线交曲线于两点，所以，即，又设两点对应的参数分别为，则.因为点在直线上，所以，