新教材2023版高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.3直线的方程第3课时直线方程的一般式学生用书北师大版选择性必修第一册

第3课时直线方程的一般式[教材要点]要点直线方程的一般式1．定义：关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距)状元随笔解读直线方程的一般式：①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．()(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．()(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.((4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．()2．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是()A．30°B．60°C．150°D．120°3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠04．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．题型一直线方程的一般式及其应用例1利用直线方程的一般式，求过点(0，3)，并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．方法归纳求直线一般式方程的策略1．当A≠0时，方程可化为x＋BAy＋CA＝0，只需求BA，CA的值；若B≠0，则方程化为ABx＋y2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1(1)[多选题]下列直线中，经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x－3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A．3B．－5C．95D．－3题型二直线方程的一般式与其它形式的转化例2(1)求斜率是－12，经过点A(8，－2)(2)求在x轴和y轴上的截距分别是32，－3(3)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，求A，B应满足的条件．方法归纳(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．(2)将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A，B之间的关系，将此关系式代入A，B，C三者的关系式，即可得出B，C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为用B表示的式子，消去B，即可得到直线方程．跟踪训练2(1)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)的直线方程为________________________；(2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________________．题型三由含参一般式求参数的值或取值范围例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.变式探究1本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？变式探究2本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？方法归纳求直线过定点的策略1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．跟踪训练3已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．易错辨析忽视斜率不存在的情况引发错误例4已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________．解析：若m≠0时，kl1＝∵kl1·kl2＝(－m8)×(－若m＝0时，直线l1的方程为y＝54和x＝4综上m＝0.答案：0【易错警示】易错原因纠错心得忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得，kl1＝-含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解．[课堂十分钟]1．过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为()A．4x＋3y＋12＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y＋12＝0D．4x－3y－12＝02．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()3．直线方程kx－y＋2－3k＝0恒过定点()A．(3，2)B．(2，3)C．(－3，2)D．(－2，3)4．经过点A(4，2)且在y轴上的截距为－2的直线方程的一般式为________．5．直线2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)在x轴、y轴上的截距之和等于0时，则k＝________．第3课时直线方程的一般式新知初探·课前预习要点Ax＋By＋C＝0[基础自测]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选答案：C3．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D4．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0题型探究·课堂解透例1解析：设直线方程为Ax＋By＋C＝0，∵直线过点(0，3)，代入直线方程，得3B＝－C，B＝－C与坐标轴交点分别为0，由三角形面积为6，得C2AB＝12，∴A＝∴方程为±C4x－C3y＋C故所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.跟踪训练1解析：(1)A中，令x＝0，y＝－74；令y＝0，x＝－73，如图，，A不正确．B中，令x＝0，y＝73；令y＝0，x＝－74，如图，，B正确；C中，令x＝0，y＝14；令y＝0，x＝212，如图，，C正确；D中，令x＝0，y＝212；令y＝0，x＝14，如图，，D(2)令y＝0，x＝－33.故选D.答案：(1)BCD(2)D例2解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)即x＋2y－4＝0.(2)由截距式得x32+y-3＝1，即2x(3)当A＝0，B≠0时，直线化为y＝－CB只与y轴相交，不符合题意；当B＝0，A≠0时，直线化为x＝－CA只与x轴相交，不符合题意．当A≠0，B≠0时，直线化为y＝－ABx－C斜率为k＝－AB，截距为b＝－只要斜率存在且不为0，直线与两坐标轴均有交点，所以A≠0，B≠0.跟踪训练2解析：(1)由直线方程的两点式得：y--2-4--2＝x(2)直线Ax＋By＋C＝0的斜截式为y＝－ABx－CB，所以－AB＝5，即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0得C＝将直线方程中参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋73B＝0，消掉B，得15x－3y－7＝答案：(1)x＋y－1＝0(2)15x－3y－7＝0例3解析：(1)方法一将直线l的方程整理为y－35＝a(x－15∴直线l的斜率为a，且过定点A(15，而点A(15，35)在第一象限内，故不论方法二直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，必有5x-1=0即l过定点A(15，(2)直线OA的斜率为k＝35-如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．变式探究1解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.变式探究2解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝1a-1x－a+2a-1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即1综上可知a≥1.跟踪训练3证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以x+y=0，x所以直线l经过定点M(1，－1)．[课堂十分钟]1．解析：由截距式得直线方程为x-3+y4＝1，整理得4x－3答案：C2．解析：将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝b