15.3 互斥事件和独立事件 2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册

高中数学苏教版必修第二册第15章概率15.3互斥事件和独立事件第1课时互斥事件课标阐释1.了解事件间的相互关系.(数学抽象)2.理解互斥事件、对立事件的概念.(数学抽象)3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.(逻辑推理、数学运算)思维脉络【激趣诱思】在掷骰子试验中,定义如下事件:C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数不大于3},D3={出现的点数不大于5},E={出现的点数小于5},F={出现的点数大于4},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数}.在上述事件中,请回答:(1)事件C1与事件C2的并事件是什么?(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系?(3)事件C1与事件C2间有什么关系?(4)事件E与事件F间有什么关系?【知识梳理】

一、事件的关系

事件定义表示法图示互斥事件若事件A与B不可能同时发生,则A,B为互斥事件若AB=⌀,则称A,B为互斥事件

对立事件

对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件互斥事件A和事件C中必有一个发生.这时,我们称A,C为对立事件,记作C=或A=___

若AC=⌀并且A+C=Ω,则称A,B为对立事件

微思考在同一试验中,设A,B是两个随机事件,若A∩B=⌀,则称A与B是两个对立事件,此说法对吗?提示

不对,若A∩B=⌀,仅能说明A与B的关系是互斥的,只有A∪B为必然事件,A∩B为不可能事件时,A与B才互为对立事件.微练习如果事件A,B互斥,那么(

)答案

B解析

二、概率的加法公式如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).

注意公式成立的条件名师点析

(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.(2)如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(注:事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥)微练习若A,B事件互斥,且有P(A)=0.1,P(B)=0.3,那么P(A+B)=(

)A.0.6

B.0.4C.0.2 D.0.03答案

B解析

∵事件A,B是互斥事件,且P(A)=0.1,P(B)=0.3,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4三、对立事件的概率名师点析

若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.微练习事件A与B是对立事件,且P(A)=0.2,则P(B)=

.

答案

0.8解析

因为A与B是对立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8.探究一互斥、互为对立事件的判断例1判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.分析根据互斥事件、对立事件的定义来判断.解

(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.反思感悟

1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.延伸探究

在本例中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1)(2)的两个事件之间的关系.解

(1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.探究二互斥事件概率加法公式的应用要点笔记

(1)公式P(A∪B)=P(A)+P(B),只有当A,B两事件互斥时才能使用,如果A,B不互斥,就不能应用这一公式;(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.变式训练1在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18).年最高水位(单位:m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0.10.280.380.160.08解

记该河流这一处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)的概率分别为0.82,0.38,0.24.探究三对立事件概率公式的应用例3甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.要点笔记

对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.变式训练2袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,求:(1)3个球颜色全相同的概率;(2)3个球颜色不全相同的概率.

素养形成思想方法——用逆向思维方法处理概率问题典例

甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解

把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.用y1,y2分别表示甲、乙抽到的题目,则数组(y1,y2)可表示样本点.样本空间的样本点数为20.设A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,则A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6种;B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,则B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共6种;C=“甲、乙都抽到判断题”,则D={(p1,p2),(p2,p1)},共2种.方法点睛

在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,再利用P(A)=1-P()来得出原问题的解,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能起到事半功倍的效果.

当堂检测1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(

)A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7答案

C解析

∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.2.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥但不对立的两个事件是(

)A.至少有一个红球,至少有一个白球B.恰有一个红球,都是白球C.至少有一个红球,都是白球D.至多有一个红球,都是红球答案

B解析

对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.3.若事件A,B满足A∩B=⌀,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)=

.

答案

0.74.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是

.

5.口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是

.

答案

0.32解析

∵摸出红球的概率P==0.45,∴摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.高中数学苏教版必修第二册第15章概率15.3互斥事件和独立事件第2课时独立事件课标阐释1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.(数学抽象)2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式.(数学运算)3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题.(数学运算)4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与化归的能力.(逻辑推理)思维脉络【激趣诱思】常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.那这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?【知识梳理】

一、相互独立事件一般地,对于两个随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称A,B为相互独立事件.这两种描述是等价的名师点析

(1)A,B为相互独立事件也可以认为A是否发生不影响事件B发生的概率;微思考不可能事件与任何一个事件相互独立吗?必然事件与任何一个事件相互独立吗?提示

(1)相互独立.因为不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.(2)相互独立.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.微练习甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,则事件A与事件B(

)A.相互独立但不互斥

B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥

D.既不相互独立也不互斥答案

A解析

对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与事件B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与事件B可能同时发生,所以事件A与事件B不是互斥事件.二、独立事件的推广独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

可以说成A1,A2,…,An任意两个事件彼此独立

微练习答案

C探究一相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(除去大小王,共52张)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽得红牌(方块和红桃)”,判断:事件A与B是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?技巧方法

两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.变式训练1掷一枚正方体骰子一次,设事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是(

)A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥答案

B探究二相互独立事件同时发生的概率例2(2021浙江温州期末)本着健康、低碳的生活,租共享电动自行车出行的人越来越多,某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内),超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次),设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为,20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过40分钟.(1)求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率;(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.要点笔记

解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则

也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.(1)答案

B解析

由比分可知甲需胜3局,输1局,且甲第四局胜,第1局或第2局输,故在比分为24∶24平且甲队发球的情况下,甲队以27∶25赢下比赛的概率为探究三相互独立事件概率的综合应用例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.反思感悟

明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(2)A,B都发生为事件AB.延伸探究

在例3中条件不变,试求恰有一列火车正点到达的概率.变式训练3某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:(1)两件产品都是正品的概率;(2)恰有一件是正品的概率;(3)至少有一件是正品的概率.

素养形成思想方法——概率问题中的数学思想典例

在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.分析该线路是并联电路,当且仅当三个开关都不闭合时,线路才不通,故本题可采用对立事件求解.解

分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.由题意知,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件概率的乘法公式,得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是方法点睛

概率