专题07指数运算与指数函数23种常见考法归类（原卷版）

专题07指数运算与指数函数23种常见考法归类考点一指数幂的运算考点二条件求值考点三利用指数函数概念求参考点四求指数函数的解析式或值考点五含指数函数的分段函数求值考点六指数型函数的定义域问题考点七指数型函数的值域问题考点八指数型函数的恒过定点问题考点九根据指数函数的图象判断底数大小考点十指数型函数图像识别考点十一根据指数函数图像求参数取值范围考点十二指数函数图像的应用考点十三判断指数型函数的单调性考点十四指数型函数的单调区间考点十五比较指数幂的大小考点十六解指数型不等式考点十七根据指数型函数的单调性求参数的取值范围考点十八指数型函数的奇偶性问题考点十九指数函数的最值问题考点二十指数函数的恒成立和存在问题考点二十一指数函数的实际应用考点二十二指数型函数性质的综合应用考点二十三指数函数解答题1、次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中性质及表示是奇数正数的次方根是一个正数的次方根用符号表示负数的次方根是一个负数是偶数正数的次方根有两个，这两个数互为相反数正数的次方根用符号表示,负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作2、根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数性质当为奇数时，；当为奇数时，；3、分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.4、指数函数的概念（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：①如果，当②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定且．（3）指数函数的解析式必须具有三个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.（4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.5、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数6、指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．7、指数型复合函数的定义域和值域对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)求值域问题，有以下三种方法：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域.8、函数图象的变换规律(1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度).(2)对称变换：①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象；③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.9、判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性(1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.10、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．11、指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．12、比较指数幂的大小(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.13、简单指数不等式的解法(1)形如的不等式，可借助的单调性求解；(2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；(3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。14、指数型函数模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．15、指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.16、解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.考点一指数幂的运算1．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）已知，则化为（

）A． B． C．m D．12．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆市凤鸣山中学校考期中）计算：．3．（2023上·高一课时练习）计算：.考点二条件求值4．（2023上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的值是（

）A．47 B．45 C．50 D．355．（2023上·吉林延边·高一统考期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2).6．【多选】（2023上·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点三利用指数函数概念求参7．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．8．（2023上·河南南阳·高一校考期末）已知且，函数是指数函数，且．(1)求和的值；(2)求的解集．9．（2023上·全国·高一期末）已知指数函数的图象过点．(1)求的值；(2)求关于的不等式的解集．考点四求指数函数的解析式或值10．（2023下·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则．11．（2023上·宁夏中卫·高一中卫中学校考期末）已知函数为常数，且的图像过点．(1)求函数的解析式；(2)求不等式的解集．12．（2023下·云南昆明·高一统考期末）已知函数，，若，．(1)求，的解析式；(2)若，试比较m，n的大小．考点五含指数函数的分段函数求值13．（2023上·上海普陀·高一校考期末）设函数，则．14．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知函数，则的值为．15．（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知函数，则（

）A．4 B．8 C．16 D．3216．（2023下·浙江台州·高二校联考期末）设函数，若，则.考点六指数型函数的定义域问题17．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）下列函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．18．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）函数的定义域为．19．（2023上·北京·高二清华附中校考期末）函数的定义域是．20．（2023上·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是．考点七指数型函数的值域问题21．（2023上·上海闵行·高一校考期末）下列函数中，值域为的函数是（

）A． B． C． D．22．（2023上·辽宁丹东·高一统考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．23．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．24．（2023上·全国·高一期末）已知，则的最小值为.25．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则函数的值域为．26．（2023下·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点八指数型函数的恒过定点问题27．（2023上·安徽宿州·高一校联考期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是．28．（2023下·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.29．（2023上·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）对任意且，函数的图象都过定点，且在角的终边上，则．30．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则.31．（2023上·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）函数且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为.考点九根据指数函数的图象判断底数大小32．（2023上·高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．33．（2023·湖北·高二统考学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A． B． C． D．34．（2023·高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，考点十指数型函数图像识别35．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）函数的图象是（

）A． B．C． D．36．（2023下·江西赣州·高二统考期末）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．37．（2023下·贵州安顺·高二统考期末）函数的部分图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

38．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）函数在上的大致图象为（

）A． B．C． D．39．（2023上·广西南宁·高一南宁三中校考期中）函数与的图象大致是（）A． B．C． D．40．（2023上·山东济南·高一统考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（

）A． B．C．

D．

考点十一根据指数函数图像求参数取值范围41．（2023上·福建泉州·高一校考阶段练习）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是.42．（2023上·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为.43．【多选】（2023上·河北邯郸·高一校联考期中）若函数且的图象过第一、三、四象限，则（

）A． B．C． D．44．（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．45．【多选】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）已知函数（且）的大致图象如下所示，则（

）A． B． C． D．考点十二指数函数图像的应用46．（2023上·江苏南京·高一期末）已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是.47．（2023上·全国·高三期末）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为.48．（2024上·全国·高三期末）已知函数，，且，则（）A．，， B．，，C． D．49．（2023上·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）若，分别是方程，的根，则（

）A．2023 B．2023 C． D．考点十三判断指数型函数的单调性50．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）下列函数在定义域上是减函数的是（

）A． B． C． D．51．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）下列函数既是偶函数且又在上是单调递减函数的是（

）A． B．C． D．52．（2023上·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在上是减函数考点十四指数型函数的单调区间53．（2023上·福建莆田·高一校考期末）已知函数，则单调递增区间为．54．（2023下·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．55．（2023上·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为.56．（2023上·浙江·高一期末）函数的单调减区间是．考点十五比较指数幂的大小57．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）设，则大小关系是.58．（2023下·北京·高二北京八中校考期末）已知，，，则a，b，c按从小到大排列为．59．（2023下·山东日照·高二校联考期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是，最大的数是.60．（2023上·云南临沧·高一校考期末）已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．61．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为.考点十六解指数型不等式62．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．63．（2023上·新疆昌吉·高一校考期末）若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．64．（2023上·河南·高一校联考期末）已知，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．65．（2023上·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点十七根据指数型函数的单调性求参数的取值范围66．（2023上·安徽·高一统考期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为.67．（2023上·山西吕梁·高一统考期末）已知函数在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．68．（2023上·上海虹口·高一统考期末）已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是．69．（2023上·四川成都·高一校联考期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．考点十八指数型函数的奇偶性问题70．（2023·全国·高一期末）已知定义在R上的奇函数，当时，，则．71．（2023·高一课时练习）已知函数是奇函数，则．72．（2023下·河北衡水·高二河北武强中学校考期末）已知函数是偶函数，则.73．（2023上·辽宁大连·高一期末）若函数为偶函数，则b的值为（

）A．1 B． C．0 D．74．（2023上·浙江绍兴·高一统考期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A．1 B．2 C． D．75．（2023上·广东茂名·高一统考期末）若函数是奇函数，则.考点十九指数函数的最值问题76．（2023上·上海闵行·高一统考期末）若函数，则此函数的最小值为.77．（2023上·广东广州·高一校联考期末）若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则.78．（2023·浙江·高一期末）已知函数，的最小值为，则实数的值为．79．（2023上·河南开封·高一校联考期末）若函数（，)在区间的最大值为10，则.考点二十指数函数的恒成立和存在问题80．（2023上·贵州贵阳·高一统考期末）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是.81．（2023上·陕西安康·高一校考期末）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是．82．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为．83．（2023上·广西北海·高一统考期末）已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是.考点二十一指数函数的实际应用84．（2023上·江苏镇江·高一统考期末）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.85．（2023上·江苏连云港·高一期末）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（

）．（参考数据：，）A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.186．（2023上·陕西渭南·高一统考期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2023年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤小时．考点二十二指数型函数性质的综合应用87．【多选】（2023上·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减88．【多选】（2023上·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数