八年级数学下册第 18章 平行四边形章末题型过关卷

第18章平行四边形章末题型过关卷

【人教版】

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2022春•广东湛江•八年级期末）如图，在团ABCD中，以4为圆心，4B长为半径画弧交4D于F.分

别以点F，B为圆心，大于匏尸长为半径作弧，两弧交于点G,作射线4G交BC于点E,若BF=6,AB=5,则4E的

长为（）

C.8D.10

【答案】C

【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt回AB。中，利用勾股定理可求得AO的长，从

而得出AE的长.

【详解】设AE与BF交于点O,连接EF

由作图可知，AE与BF相互垂直平分

I2BF=6,配。=3

0AB=5

G）在RtHABO中，A0=4

0AE=8

故选：C.

【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分.

2.（3分）（2022春・全国•八年级专题练习）如图，平行四边形4BCD的对角线AC、B0相交于点0,0E//AB

交AD于点E.若。4=2,A20E的周长为10,则平行四边形4BCD的周长为（）

A.16B.32C.36D.40

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质得=CD,AD=BC,OB=OD,证OE是AABD的中位线，则4B=2OE,

AD=2AE,求出AE+OE=8,^iAB+AD=2AE+2OE=16,即可得出答案.

【详解】解：•.•四边形4BCD是平行四边形，

•••AB=CD,AD=BC,OB=OD,AO=OC,

■■■OE//AB,

AE=DE,

OE是A4BD的中位线，

•••AB=2OE,AD=2AE,

・•・A40E的周长等于10,

•••OA+AE+OE=10,

AE+OE=10-OA=10-2=8,

•••AB+AD=2AE+2OE=16,

团A8CD的周长=2x（AB+AD）=2x16=32.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形

中位线定理，求出4。+AB=16是解题的关键.

3.（3分）（2022秋•重庆北陪•九年级西南大学附中校考开学考试）如图，在矩形4BCD中，在4D上取点E,

连接BE,在BE上取点F,连接4F,将△力BF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，若4GFB=90°,AB=

A.3B.5C.2V5D.2^10

【答案】c

【分析】连接BG,根据折叠得到AG=48=10,BF=GF,根据勾股定理求出DG,即可得到CG,从而得

到BG,即可得到答案;

【详解】解：团将AABF沿4尸翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，AB=10,

财G=AB=10,BF=GF,

团四边形ABCD是矩形，AB=10,AD=6,

团AB=CD=10,AD=BC=6,zD=zC=90°,

fflDG=>JAG2-AD2=V102-62=8,

团CG=10—8=2,

Q)BG=y/CG2+BC2=V22+62=2^10,

【点睛】本题考查勾股定理，矩形性质及折叠的性质，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

4.（3分）（2022•山东泰安•模拟预测）如图，在四边形4BCD中乙4CC=乙4BC=90。，AD=CD,DPLAB

于点P,若四边形ABCD的面积是9,则OP的长是（）

A.6B.4.5C.3D.2

【答案】C

【分析】如图，过点力作DE±BC交BC的延长线于E,先证明四边形DPBE是矩形，再利用AAS证明AADP三

△COE,得到。E=CP,S^ADP=S^cDE^再由四边形4BCD的面积=9,得到DP•DE=9,则DP=3.

【详解】解：如图，过点。作。EJ.BC交BC的延长线于£,

团乙ABC=90。，DPLABf

回四边形DPBE是矩形，

0ZCDE+Z.CDP=90°,Z-ADC=90°,

凯LADP+乙CDP=90°,

团乙ADP=乙CDE,

MP1AB,

0Z/1PD=ZF=90°,

在a/WP和△W中，

Z.ADP=Z.CDE

/LAPD=LE,

AD=CD

团△40P=△CDE（AAS）,

=

团DE=DP,S^ADPS〉CDE

国四边形4BCD的面积=四边形DPBE的面积=9,

WP-DE=9,

MP=3,

故选C.

【点睛】本题主耍考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形

是解题的关键.

5.（3分）（2022秋•甘肃白银•九年级校考期末）如图，菱形4BCD的对角线4C、相交于点。.若AC=6,

BD=8,4E1BC,垂足为E,贝ijAE的长为（）

A

C

A.12B.14C.yD.y

【答案】C

【分析】利用菱形的面积公式：l-ACBD=BCAE,即可解决问题；

【详解】解：•••四边形4BCD是菱形，

AC1BD,OA=OC=3,OB=OD=4,

：・AB=BC=5,

■.-l.AC-BD=BC.AE,

故选：C.

【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常

考题型.

6.（3分）（2022秋•河北保定•九年级统考期末）如图，甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游

戏.甲沿BE折叠使得点4落在上，沿DF折叠使得点C落在上，甲说得到的四边形BED尸为菱形；乙沿MN

折叠使得4B与。C重合，再折出BM,DN,乙说得到的四边形BMON为菱形；下列说法正确的是（）

A.甲一定成立，乙可能成立B.甲可能成立，乙一定不成立

C.甲一定成立，乙一定不成立D.甲可能成立，乙也可能成立

【答案】B

【分析】由折叠的方法可知，四边形8ECF和四边形为平行四边形；再判断它们邻边是否相等即可得

出结论;

【详解】解：团四边形力BCD是矩形

0AB||CDADWBC

SZ.ABD=Z.CDB,

由折叠知：乙EBD=/.ABE,乙FDB=乙CDF

B1乙EBD=Z.FDB

SBE//DF,

团四边形BECF是平行四边形

当BE=DE时，四边形8EDF是平行四边形，

S/.EBD=Z.EDB,

又EL4CIIBC,Z.EDB=Z.DBF,

团"BD=&ABE=乙DBF=-AABC=30°,

3

故4DBC=30。时，四边形BEDF为菱形，甲甲可能成立，

而由乙折叠方法可知MN1BC,所以故四边形BMDN为不可能为菱形.

综上所述：甲可能成立，乙一定不成立，

故选B.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、平行四边形的判定以及矩形和菱形的性质，翻折变换是一种对称

变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

7.（3分）（2022秋•贵州六盘水•九年级统考期末）如图，正方形48co的对角线相交于点。，RtAEOF（两

直角边长均大于的长度）绕点。旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（）

C.始终不变D.先由大变小，然后又由小变大

【答案】C

【分析】由条件可得△OHB=△OGC(ASA),从而SAOHS=^AOGC^OHBG=SAOHB+^AOBG=^AOGC+^AOBG=

S&OBC，即可说明重叠面积始终不变•

【详解】解：；正方形4BCD中，AC1BD,OB=OC,/.OBH=Z.OCG=45°,/.EOF=90°,

4HOB+乙BOF=乙BOF+4Goe=90°,

乙HOB=Z.GOC,

/.HOB=Z.GOC

在AOHB与△OGC中，OB=OC,

/OBH=Z.OCG

△OHBSAOGC（ASA）,

SAOHB=SAOGC，

"SOHBC~S^OHB+SAOBG=^AOGC+^AOBG=SAOBC，

则重叠部分的面枳始终不变，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，利用面积的等量代换是解题关键.

8.（3分）（2022秋•河南郑州•九年级统考期末）如图，P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点,

点E是48的中点，则PA+PE最小值是（）

A.V5B.V6C.1+V2D.2V2

【答案】A

【分析】利用轴对称最短路径求法，得出4点关于BZ）的对称点为C点，再连接EC交BD于点P即为最短路

径位置，利用勾股定理求出即可.

【详解】连接AC,EC,EC与BD交于点尸，此时P4+PE的值最小，最小值即为线段CE的长,

团正方形4BCC中，AB=BC=2,点E是4B的中点，

=-AB=1,

2

aCE=y/BC2+BE2=V22+l2=V5,

故选：A.

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理,利用正方形性质得出A,

C关于BO对称是解题关键.

9.（3分）（2022春•八年级单元测试）如图所示，在四边形4BCD中，AD=BC,E、尸分别是AB、CD的

中点，AD,8c的延长线分别与EF的延长线交于点H、G,贝弘）

A.Z.AHE>Z.BGEB.乙AHE=（BGE

C.Z.AHE<乙BGED.乙4HE与Z_BGE的大小关系不确定

【答案】B

【分析】连接BD,取中点I,连接IE,IF,根据三角形中位线定理得IE=?AD,且平行AD,IF=,BC且平行

BC,再利用AD>BC和IE0AD,求证（3AHE=^EF,同理可证田BGE=I3IFE，再利用IE>IF和EIAHE=（3IEF,0BGE

=0IFE即可得出结论.

【详解】连接BD,取中点I,连接IE,IF

EIE,F分别是AB,CD的中点，

因E,IF分别是AABD,ABDC的中位线,

□IE=iAD,且平行AD,IF=：BC且平行BC,

□AD=BC,

0IE=IF,

团IE团AD,

00AHE=0IEF,

同理回BGE=I3IFE,

团在AIEF中，IE=IF,

03IFE切EF,

00AHE=I3IEF,0BGE=0IFE,

团团BGE/AHE.

故选：B.

AER

【点睛】此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有一定的拔高

难度，属于难题.

10.（3分）（2022春•广东佛山•九年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为4B上一点,

过点E作EFII4D,与AC、OC分别交于点G,F,H为CG的中点，连接。E,EH,DH,FH,下列结论中结论

正确的有（）

①EG=OF；（2）AAEH+AADH=180°；③&EHF三&DHC；④若零=|,则35&曲=伊的小其中

结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据正方形ABC。，AC为对角线，EF||AD,可知四边形4EFD是矩形，由止匕可证AAEG、

△CFG、4HFG、是等腰直角三角形，H为CG的中点，祭=|,可知△EHD是等腰

直角三角形，由此即可求解.

【详解】解：结论①EG=DF,

回正方形ABC。中，4c为对角线，EF||AD,

^EAG=45°,^AEG=90°,

E)AE=4G,四边形ZEFZ)是矩形，AAEG、△CFG是等腰直角三角形，

EL4E=DF,

回EG=DF,故结论①正确；

结论②NAEH+乙ADH=180°,

由结论①正确可知，△CFG是等腰直角三角形，H为CG的中点，

0FH1CG,且△HFG、是等腰直角三角形，

EJHF=HG,乙HFD=450+90°=135°,4HGE=180°-45°=135°,

BAHFD=乙HGE,且EG=DF,

OAHFD三AHGE(SAS),

0ZWEG=乙HDF,

团乙4EG+乙4OF=乙4EG+AADH+乙HDF=AAEH+乙ADH=180°,故结论②正确；

结论③△EHF=△DHC,

回AAEG、△CFG、△HFG、△HFC是等腰直角三角形，△HFC三△HGE(SAS),

BHF=HC/HFG=乙HCF=45°,

回四边形4EF。是矩形，

SEF=AD=DC,

0AEHFDHC(SAS),故结论③正确；

结论④若布=->贝I3SAEDH=13SADHC,

由结论②正确，可知△HFO三△HGE(SAS)；由结论③正确可知，△E"?三△OHC(SAS),

且AAEG、4CFG、4HFG、△HGC是等腰直角三角形，

OWE=HD,^EHD=90°,即△EHD是等腰直角三角形，

如图所示，过点H作HM1于-M,设贝ijDM=5x,DH=>/26x,CD=6x,

包SADHC=|WM.CD=3X2,SEH=1DH2=13x2,

团3SAEDH=13SADHC,故结论④）正确；

综上所示，正确的有①②③④，

故选：D.

【点睛】本题是四边形与三角形的综合，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定

与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，

等腰直角三角形的性质是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2022秋•贵州六盘水•九年级统考期末）如图，在菱形力BCD中，对角线AC,BD的长分别为6,

8,过点A作4EJ.C0于点E,则4E的长为.

【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用等积法求出4E的长即可.

【详解】解：团在菱形ABCD中，对角线AC,BD的长分别为6,8,

0/1C1BD,OC=-AC=3,OD=-BD=4,

22

fflCD=y/OC2+OD2=5,

EL4E1CD,

团菱形的面积=CD-4E,即：|x6x8=SAE,

24

SUE=Y：

故答案为：

【点睛】本题考查菱形性质.熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键.

12.（3分）（2022春•八年级课时练习）如图，点4、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，4力与BC相

交于点O,小正方形的边长为1,则A。的长等于.

【答案】2

【分析】连接4E,证明四边形AEC8是平行四边形得4E||BC,由勾股定理得AO=5,从而有AD=OE=5,

然后利用等腰三角形的性质可得团D4E=E1£）EA,再利用平行线的性质可得团D4E=QOC,SDEA=SDCO,从而

可得回DOC=QCO,进而可得。O=QC=3,最后进行计算即可解答.

【详解】解回如下图团连接AE,

回四边形AECB是平行四边形,

EL4E||BC,

0AD=>J32+42=5,DE=5,

0AD=DE=5,

瓯。AE二团。E4,

包4EIIBC,

^DAE^DOC,团OE4二团QC0,

aaooc=iaoc。，

®£>O=OC=3,

EL40=AQ-£>0=5-3=2,

故答案为132.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条

件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

13.（3分）（2022春•广东佛山•九年级校考期末）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽

分别是8和6,则重叠部分的四边形周长是.

【答案】25

【分析】先证明四边形4BCD是菱形，则4B=BC=CO=4D,设4B=BC=CD=4。=X,则CG=8-x,

在RtACDG中，由勾股定理可得62+（8—x）2=/,解方程求出C。=m，即可得到重叠部分的四边形周长.

【详解】解：如图所示，

由题意得，矩形BFDE三矩形BHDG,

0ZG=90°,DG=DE=6,BG||DH,BE||DF,BG=8,

团四边形4BCD是平行四边形，

团平行四边形的面积=4DxDG=CDxDE,

^AD=CD,

团四边形48CD是菱形，

财B=BC=CD=AD,

设4B=BC=CD=AD=x,则CG=8—x,

在RtZiCDG中，由勾股定理可得，DG2+CG2=CD2,

则62+(8-x)2=x2,

解得x=

即CD=交，

4

回四边形4BCD的周长=4CD=4x迫=25.

4

故答案为：25

【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形4BCD是菱形是解题的

关键.

14.（3分）（2022春・江苏南京•八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）如图,长方形4BC。中,AB=3,

BC=4,点E是8c边上任一点，连接4E,把沿4E折叠，使点B落在点夕处，当CE的长为时,

△CEB'恰好为直角三角形.

【答案】1或|

【分析】当ACE）为直角三角形时，有两种情况：①当点夕落在矩形内部时，当点8'落在4。边上时，利用

矩形的性质及勾股定理进行计算即可.

【详解】解：当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示.

答图I

连接4C,

在RtAABC中，AB=3,BC=4,

AC=>]AB2+BC2=5,

•••NB沿4E折叠，使点B落在点B'处,

AAB'E=LB=90°,

当4CEB，为直角三角形H寸，只能得到/EB'C=90°,

.•.点4、B'、C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线4c上的点B'处,

•••EB=EB',AB=AB'=3,

•••CB'=5—3=2,

设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,

在RtACE8'中，

•••EB'2+CB'2=CE2,

x2+22=(4-x)2,解得x=I，

33q

ABE=CE=4--="；

222

②当点夕落在4D边上时，如答图2所示.

BE=AB=3,

..CE=BC-BE=4-3=1,

综上所述：星=1或右

故答案为：1或|.

【点睛】此题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正方形的判定和性质，正确理解矩形的性质及勾股定理

的计算，进行分类讨论是解题的关键.

15.（3分）（2022春♦八年级课时练习）如图，矩形ABCD的面积为128cm2,对角线交于点0；以AB,

AO为邻边做平行四边形AOCrB,对角线交于点。［；以AB,AOr为邻边做平行四边形AOrC2B-,•••；依

此类推，则平行四边形AO6C7B的面积—.

【答案】lcm2

【分析】如图：过点。向4B作垂线，垂足为E,平行四边形40GB的面积为48XOE,根据矩形的性质。E=

（皿即平行四边形40C1B的面积为4BX*。=匏四边形.CD；同理：根据平行四边形的性质可得：。/=

\0E=^AD,即AOQB面积#四边形.CD，依此类推，即可得到平行四边形4。6c7夕的面积.

【详解】解：如图：过点。向AB作垂线，垂足为E,过点5向4B作垂线，垂足为尸，

国乙DAB=Z.OEB,

WEWA,

团0为矩形4BCD的对角线交点,

WB=0D

WE=-AD.

2

团矩形ABCD的面积ABxCD=128cm2

回平行四边形AOC/B的面积=ABxOE=ABx^AD=1

同理：根据平行四边形的性质可得：OrF=\0E=^AD,

平行四边形力。£8面积ABX舁。=#四边形Me。，

依此类推：

平行四边形4。6。78的面积=ABx^ADxS四边形=六x128=1cm2.

故答案为lcm?.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识点，根据平行四边形的性质得到面积的变

化规律是解题的关键.

16.（3分）（2022秋•浙江杭州•九年级统考期末）如图，在正方形4BCD中，点E在边BC上（不与点8,C重

合），点F在边CD的延长线上，DF=BE,连接EF交4。于点G,过点4（乍川V1EF于点M,交边CD于点N.若

DN=2CN,BE=3.则CN=,AM=.

【答案】53m

【分析】连接4E,AF,EN,由正方形的性质可得48=力。，BC=CD,Z.ABE=/.BCD=^ADF=90°,

可证△ABE=△ADF（SAS）,可得乙BAE=^DAF.AE=AF,进而得到4E4F=90°,根据等腰三角形三线合

一的性质可得点M为EF中点，由4N1EF,可证△4EM三△AFM（SAS）,△EMN=△FM/V（SAS）,可得EN=

FN,设CN=x，则DN=2CN=2x,则BC=CO=3x,已知BE=3,则FN=2x+3,根据勾股定理解得

x=5,可得CN=5,由勾股定理得4E=3回，从而可得AM=EM=FM=3内，即可求解.

【详解】连接4E,AF,EN,

团四边形48CD是正方形，

[?L4B=AD=BC=CD,乙ABE=乙BCD=I.ADF=90°,

团BE=DF,

团△ABE=Ai4DF(SAS),

团乙BAE=Z.DAF.AE=AF,

国乙EAF=90°,

0AEAF是等腰直角三角形，

团AN1EF,

团EM=FM.LEAM=LFAM=45°,

AEM=△4FM(SAS),△EMN=△FMN(SAS),

0E/V=FN,

设CN=%,则DN=2CN=2x,

国BC=CD=3%,

团BE=3,

团EN=FN=2%+3,CE=BC-BE=3x-3,

在RtAECN中，

0C/V2+CE2=E/V2,

2

取2+(3X-3)2=(2x+3)

解得：%i=5,%2=。(舍)，

0C/V=5,

包48=BC=CD=DA=15,

在RtzXABE中,

AE=7AB2+BE2=V152+32=3回，

0FF=y/2AE=65/13,

EL4M=EM=FM=3V13,

故答案为：5；3-713；

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解

题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2022秋•贵州六盘水•九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,

BEIIAC交。C的延长线于点E.

⑴判断四边形ABEC的形状，并说明理由；

（2）若NDBC=30°,BO=6,求四边形4BED的面积.

【答案】（1）四边形ABEC为平行四边形；理由见解析

⑵54k

【分析】（1）根据矩形得出48IICZ）,再根据BEIIAC即可得出四边形4BEC为平行四边形；

（2）根据矩形的性质，结合直角三角形的性质，求出CD=6,BC=6V3,根据平行四边形的性质，求出

EC=6,最后根据梯形面积公式求出结果即可.

【详解】（1）解：四边形4BEC为平行四边形：理由如下：

团四边形4BCD为矩形，

SABWCD,

SBE\]AC,

团四边形4BEC为平行四边形;

（2）解：团四边形ABCO为矩形,

[?L4B||CD,BO=DO,AB=CD,乙BCD=9。。,

团BO=6,

BBD=12,

0ZDBC=30°,

0CD=-BD=6,

2

⑦BC=yjBD2-CD2=6>/3,AB=CD=6,

团四边形48EC为平行四边形，

0EC=AB=6,

团DE=12,

05四边形ABED=家6+12）x6百=54Vl

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的

关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法.

18.（6分）（2022春•浙江杭州•八年级校考期中）如图1,RtAABC中,乙4cB=90。，BC=4,zABC=60°,

点尸、Q是边AB,BC上两个动点，且BP=4CQ,以BP,BQ为邻边作平行四边形BPDQ,PD,QD分别交4C

于点E,F,设CQ=m.

图I图2

⑴当平行四边形BPDQ的面积为6次时，求〃?的值；

（2）求证：△DEF=△QCF；

⑶如图2,连接AD,PF,PQ,当4D与APQ尸的一边平行时，求APQF的面积.

【答案】（l）m的值是1

（2）证明见解析

（3）APQF的面积为^^或今之

【分析】（1）如图1,过点P作PMLBC于M,表示BQ=4-m,PM=2y/3m,根据平行四边形BPDQ的

面积为6次，列等式可得，〃的值，由48=8,可确定巾=1：

（2）先计算DE=CQ=m,再由平行线的性质和对顶角相等结合AAS证明△CEF三△QCF；

（3）分两种情况：①如图2,ADWPF,证明四边形APFD是平行四边形，根据PE=ED列方程可得加的值,

并计算APQF的面积：②如图3,ADWQ,证明四边形4PQD是平行四边形，AP=PB,列方程可解答.

【详解】（1）解：如图1,过点尸作PM1BC于M,

⑦BP=4CQ,CQ=m,

⑦BP=4m,

Rt"BM中，乙B=60°,

团乙BPM=30°,

@BM=；BP=2m,PM=25/3m,

@FC=4,CQ=m,

⑦BQ=4—m,

团平行四边形BPDQ的面积为6旧，

S1BQ-PM=673,即(4-m)-2s/3m=6痘,

解得：nij=1,m2=3,

RtAABC中，Z.A=30°,

BAB=2BC=2x4=8,

当zn=1时，BP=4m=4,

当m=3时，BP=4m=12>8,不符合题意，舍去;

综上，，〃的值是1;

(2)证明：团四边形BPOQ是平行四边形，

0PDIIFC,

0ZD=乙CQF,

由(1)知：BM=2m,

团PE=CM=4—2m,

0FD=PD-PE=BQ—PE=4—711—(4—2m)=m,

团CQ=mf

团CQ=ED,

团乙EFD=乙CFQ,

0ADEF=△QCF(AAS)；

(3)解：分两种情况:

①如图2,4011P凡

图2

0PDIIFC,

^AEP=Z.C=90°,

Rt/MEP中，Z.PAE=30°,

团PE=171P=|(8-4m)=4-2m,

财Pll",AD\\PFf

团四边形4PFD是平行四边形，

⑦PE=ED,

04—2m=m,

团m=一4，

3

444

团PE=4-2x-=-,CQ=

33x3

国PE=CQ,

0PEHCQ,ZC=90°,

团四边形CQPE是矩形，

回乙CQP=90°,

团SNFQ=：PQCQ=gx2V3mxm=V3x^=等;

团ADIIPQ,APWDQ,

国四边形4PQD是平行四边形，

®AP=DQ,

0PB=DQ,

胤4P=PB,

08—4m=4m,

团m=1,

国S^PFQ=SAABC-S4APF—S&BPQ一S^CFQ

1111

=-x4x4V3--xlx<3--x（4百-V3）x2--x3x2V3

3V3

=­

综上，△PQF的面积为岬叵或今

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了含30。的直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形的性

质和判定，平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识点的应用，七要考查学生综合运用

性质进行计算的能力，还用了分类讨论思想.

19.（8分）（2022春•湖北武汉•八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）在△ABC中，

48=4C,点P为AABC所在平面内的一点，过点P分别作PEINC交4B于点E,PF||48交8c于点D,交AC于

点F.

⑴如图1,若点P在BC边上，此时PD=0,直接写出PC、PE、PF与4B满足的数量关系;

⑵如图2,当点P在AABC内，猜想并写出PD、PE、PF与4B满足的数量关系，然后证明你的猜想;

⑶如图3,当点尸在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与满足的数量关系.（不用说明理由）

【答案】(1)PD+PE+PF=AB

(2)PD+PE+PF=AB

(3)PE+PF-PD=AB

【分析】（1）证平行四边形PE4F,推出PE=4F,PF=AE,根据等腰三角形性质推出NB=4C=tEPB,

推出PE=BE即可；

（2）过点P作MNIICB分别交48、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM,再推出MB=PD即可；

（3）过点P作MNIICB分别交4B、4c于M、N两点，推出PE+PF=4M,再推出MB=PD即可.

【详解】（1）结论是P0+PE+PF=48,

证明：'：PE\\AC,PFWAB,

四边形PEAF是平行四边形，

PF=AE,

■■■AB=AC,

・•・乙B=Z.C,

团PEMC,

：•乙EPB=Z.C,

二乙B=乙EPB,

・•,PE=BE,

vAE-VBE=AB,

APE+PF=AB,

,・・P。=0,

:.PD+PE+PF=AB.

(2)结论是PD+PE+PF=AB,

证明：过点P作MNIICB分别交AB、4c于M、N两点,

••・四边形BOPM是平行四边形，

MB—PD,

：.PD+PE+PF=AM+MB=AB.

(3)结论是PE+PF-PD=AB.

证明：过点P作MNIICB分别交48、AC延长线于M、N两点,

由（1）得：PE+PF=AM,

•.•四边形BDPM是平行四边形,

MB=PD,

二AB=AM-MB=PEPF-PD.

即PE+PF—PD=AB

【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运性质进

行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好.

20.（8分）（2022春•安徽滁州•九年级校联考阶段练习）四边形4BCD中，ACLCD,对角线AC,B。相交

于点E.

⑴如图1,若BD1AB,BC=DC,求证：乙CBD=LCAB；

（2）如图2,若AC平分NBAD,点E是4C的中点，过点B作8F1AC,垂足为八点G为8。的中点，连接FG,CG.

①求证：FG=CG；

②连接4G,试判断四边形4BCG的形状，并证明.

【答案】⑴见解析

（2）①见解析；②四边形4BCG是平行四边形，证明见解析

【分析】（1）根据等角的余角相等，可得/a4B=/CCE,再由BC=Z）C,可得ZCBD=4CDE,即可；

（2）①延长BF交4。于点M,延长4B,DC交于点”，可证明A4BF三△4MF,可得BF=FM,从而得到尸G

是^BMD的中位线，进而得到FGIIDM,继而得到zMFG=AAMF,同理△HAC=△DAC,可得HC=CD/H=

^ADC,从而得到。。是4BHD的中位线，进而得到CGIIBH,继而得到NH=ZGCD,再由可得乙4M尸=

Z.ADC,从而得到4GCC=4AMF=4MFG,进而得到/CFG=NFCG,即可；②证明△48E三△CGE,可得

48=CG,再由ABIICG,即可.

【详解】（1）证明：^AC1CD,BD1AB,

回乙48。=/-ACD=90°,

团ZJ1EB=乙DEC,

团zZ\4B=Z.CDE,

团BC=DC,

0Z.CBD=乙CDE,

国乙CBD=Z-CAB；

(2)①证明：如图，延长BF交4。于点M,延长48,0C交于点H,

EL4c平分4B4D,

回乙BAF=乙FAM,

团BF1AC,

^AFB=LAFM=90°,

在a/B尸和A/MF中，

Z.BAF=LMAF

AF=AF,

/AFB=Z.AFM

0AABF=△AMF.

MF=FM,

团点G为8。的中点，

团FG是△BM。的中位线，

□FGHDM,

团乙MFG=4AMF,

同理△HAC三ADAC,

国HC=CD,乙H=KADC,

田CG是△BHO的中位线，

0CGHBH,

□ZW=乙GCD,

^BFLAC^DLAC,

MFIIHD,

^AMF=Z.ADC.

团乙GCD=UMF=乙MFG,

回乙MFG+乙CFG=LGCD+zFCG=90°,

0ZCFG=乙FCG,

0FG=CG；

②解：四边形4BCG是平行四边形，证明如下：

团点E是AC的中点，

团4E=CE,

0CGIIBH,

团乙BAE=乙ECG,

在△48£和^CGE中，

Z.BAE=乙ECG

AE=CE,

Z.AEB=Z.GEC

0AABE=△CGE,

EL4B=CG,

回幽ICG,

团四边形4BCG是平行四边形，

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形

的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形

的判定和性质是解题的关键.

21.（8分）（2022春•四川成都•八年级校考期中）已知，菱形ZBCD中，4]=60°,E、P分别是边BC和CD上

的点，且/E4P=60°.

⑴求证：BC=EC+CP.

（2）如图2,尸在G4延长线上，且FE=FB,求证：AF=EC.

⑶如图3,在（2）的条件下AF=4,BE=6,点。是FB的中点，求04的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

⑶g

【分析】（1）连接4C,如图1,根据菱形的性质得4B=BC,即可判定△ABC为等边三角形，得到NBAC=60°,

AC=AB,然后利用ASA可证明AAEB三△?!「（：，即可解答；

（2）过点尸作FHII48,交C8的延长线于点H,利用平行线的性质求得4FHC是等边三角形，得到CF=CH=

FH,然后利用AAS定理求得△HBF三ZkCEF,从而问题得解；

（3）过点8作BKIIFC,交H尸于点K,根据两组对边分别平行求得四边形KB4尸是平行四边形，从而求得。4=

\AK,FK=10,A作AM1FH,然后利用含30。的直角三角形的性质以及勾股定理求得MF==2,AM=

>JAF2-MF2=2V3,即有KM=FK-MF=10-2=8,在Rt△4KM中，利用勾股定理可得4K=2回,

问题随之得解.

【详解】（1）连接4C,如图1,

团四边形4BCD为菱形,

EL4B=BC,

⑦4B=60°,

E1A4BC为等边三角形,

^BAC=60°,AC=AB,

回NB4E+/.EAC=60°,

SZ.EAP=60°,即4EAC+/.CAP=60°,

^Z.BAE=/.CAP,

^ABWCD,

^BAC=/.ACP=60°,即Z71CP=60°=NB,

^BAE=4CAP

在△AE8和△力PC中,AB=AC

乙B=Z-ACP

团△AEB三△APC,

©BE=CP,

团BC=EC+BE=EC+CP；

(2)过点尸作尸Hll/B,交CB的延长线于点”，如图2,

HBEC

图2

在(1)中已证△ABC为等边三角形，

团NH=(ABC=60°=ZC,

0A尸HC是等边三角形，

0CF=CH=FH,

乂团△4BC是等边三角形，

UGA=CB,

®AF=BH,

又防B=FE,

©乙FEB=乙FBE,^LFBH=乙FEC,

(乙FBH=乙FEC

在a“8尸和4CEF中心FHB=乙FCE，

(FH=FC

HBF^△CEF,

MH=EC,

财F=EC；

(3)过点8作BKIIFC,交HF于点K,如图3,

F

HB-EC

图2

SBKWFC,FH\\AB,AF=4,BE=6,

回四边形KB4F是平行四边形，

EJKB=AF=EC=4,

回点。是FB的中点，

0OA=-2AK,

@FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=10,

过点A作力MJ.FA,

由（2）可知，ZCFH=60°,

团在RtziAMF中，Z.MAF=30°,

22显,

OMF=-2AF=2,AM=^AF-MF=2

团KM=FK-MF=10—2=8,

在RtAAKM中，AK=\/AM2+MK2=J（2V3）Z+82=2V19,

WA=^AK=V19.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含30。

角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点.

22.（8分）（2022春,江苏南京•八年级校考期中）如图1,0是平行四边形4BCD对角线的交点，过点。作

OH1AB,OM1BC,垂足分别为H,M,若OHNOM,我们称4="是平行四边形ABCD的心距比.

MC

图1

⑴如图2,四边形4BC。是矩形，AB=3,BC=4,贝以=

图2

⑵如图3,四边形4BCD是平行四边形，4=1,求证：四边形4BCD是菱形.

⑶已知如图，在△4BC中，NB=75。，点E、F、G分别在45、AC.BC边上，若存在一个四边形BEFG是平

行四边形，且4=近，请通过尺规作图作出一个点F.（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述

作图思路）

图4

【答案】明

⑵证明见解析

⑶作图见解析

【分析】（1）由面积法可得=即可求解;

（2）由角平分线的性质可得乙4BD=lCBD,由平行线的性质可得N4DB=乙CBD=4ABD,可得4B=AD,

可得结论；

(3)如图4,以点C为圆心，C8为半径作弧，交48尸点。，作BC的垂直平分线交C。于0,连接BQ,并延

长交4c于点尸，则点F为所求点.

【详解】(1)解：回四边形4BCD是矩形，

囱乙4BC=90°,0A=0C,

WH1AB,OM1BC,

-OH=^BC-OM,

mOHBC4

团--=--=-f

OMAB3

4

团a=

3

(2)0/1=1,

胫=1,

OM

WH=OM,

又回OHLAB,OM1BC,

团乙ABD=乙CBD,

团四边形48co是平行四边形，

胤40I8C,

团ZJlDB=Z.CBD—乙ABD,

团AB=AD,

团四边形ABC。是菱形；

(3)如图，以点C为圆心，C8为半径作弧，交于点。，作BC的垂直平分线交C。于Q,连接BQ,并延长

交4C于点儿则点尸为所求点.

理由如下：过F作FEIIBC交B4于E,过F作FGIIAB交BC于G,连接EG,交BF于。，过。作。H148于H,过。作

OM1BC于M,

由作图可得：CD=CB,而乙4BC=75。，

田乙CDB=Z.CBD=75°,乙DCB=30°,

由作图可得：作BC的垂直平分线交CD于Q,

团QB=QC,

⑦乙QCB=乙QBC=30°,

国乙HBO=45°,

在中，OM=-OB,

RtZkBMO2

在山△BOH中，OH==OB,

2

=鱼，即入=夜.

2

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，基本作图等知识，

理解新定义，并运用是解题的关键.

23.（8分）（2022春•辽宁沈阳•九年级沈阳市第一二六中学校考开学考试）在正方形ABC。中，4E1MN,

点E为边BC上一点（不与点B、。重合），垂直于4E的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.

图1图2

P'

A一-1二八D

N

M

BEC

图4

⑴①如图1,判断线段4E与MN之间的数量关系，并说明理由;

（2）如图2,若垂足P为AE的中点，连接BD,交MN于点Q,连接EQ,则乙4EQ=

⑶若垂足P在对角线BD上，正方形的边长为8.

①如图3,若BM=1,BE=|,则BP=

②如图4,连接4N,将A4PN沿着AN翻折，点P落在点P'处，4。的中点为S,则P'S的最小值为

【答案】(1)4E=MN；理由见解析

(2)45°

⑶①乎；②2位

【分析】(1)过点以乍BFIIMN分别交AE、C。于点G、F,证出四边形MBFN为平行四边形，得出MN=BF,

证明三△BC尸得出4E=BF,即可得出结论；

(2)连接AQ,过点Q作H/IIAB,分别交4。、BC于点H、/,证出△OHQ是等腰直角三角形，HD=HQ,AH=QI,

证明由△AHQ=RtAQ/E得出41QH=NQE/,得出△AQE是等腰直角三角形，得出ZEAQ=41EQ=45。,

即可得出结论；

(3)①过点P分别作PG1BC,PHJ.4B垂足分别为G,H,则zPEG=NPHM=90。，证明三APEG

(AAS),设GE=MH=x,根据MB+MH=BE-GE,求得x=工，即可得出BP=§鱼；

44

②连接4c交BD于点0,则AAPN的