由数列的递推公式求它的通项公式

由数列的递推公式求通项公式例1．已知，，求例2．数列中，，，求变式：数列中，，，求小结：象例2和它的变式这样的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差刚好组成一个等差数列，这样的数列称为差后等差数列，其通项公式问题，可以用逐步求差，累加求和的方法求出通项公式，即迭加法。一般的，若，，其中为可求和数列，求均可用迭加法。例3．数列中，，，求小结：象例3这样的数列，可以用逐步求比，累乘求积的方法求通项公式，即迭乘法。一般的，对于求形如“，”的通项公式，当的值可求时，宜采用此方法。例4．数列中，，。求证：是等比数列。（2）求。小结：一般的，若数列的递推公式形如“，，（k，b为常数）”则可用构造等比法求解。练习1：数列中，，。求3．小结：由递推公式求通项公式的三种常用方法:（1）.迭加法：（2）.迭乘法：（3）.构造等比法：此外，对于一些特殊的题型还有以下几种方法例5．（倒数法）已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．解：∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=∴an=练习2．已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．〖an=〗例6．（求和法：利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例7．（叠加法的再运用）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·，S2n－2－S2n－4=－3·，……，S4－S2=－3·将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·，S2n－1－S2n－3=3·，……，S3－S1=3·将以上各式叠加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．综上所述an=，即an=（－1）n－1·．练习3．在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．〖an=〗例8.（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．所以是常数列，且a1－=－．所以=－，即an=．练习4．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式．解：∵an=Sn－Sn－1，∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1，∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化简得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例9．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，an+1=．（1）求证：an<an+1<2；（2）求{an}的通项公式．解：（1）略．（2）an+1=－（an－2）2+2，∴an+1－2=－（an－2）2∴2－an+1=（2－an）2，∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2[（2－an）2]=2·log2（2－an）－1∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log2（2－an）－1=－1×2n－1，化简得an=2－．练习5．（2006年广州二模）已知函数（）．在数列中，，（），求数列的通项公式．解：，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。