食品工程原理课件

流體流動

流體流動

1.1流體靜力學

流體靜力學是研究流體處於相對靜止狀態下的平衡規律，在討論此規律以前，先對與此有關的物理量加以說明。1.1.1流體的主要物理量

1．密度、相對密度、重度、比體積（1）密度

①定義。單位體積流體的品質，稱為流體的密度，以ρ表示，若以m代表體積為V的流體的品質，則（1-1）流體流動

②與流體密度有關的因素。任何流體的密度，都隨它的溫度和壓力而變化，但壓力對液體的密度影響很小，可忽略不計，故常稱液體為不可壓縮的流體，溫度對液體的密度有一定的影響，如純水的密度在277K時為1000kg/m3而在293K時則為998.2kg/m3。因此，在選用液體密度數據時，要注意測定該數值所對應的溫度。流體流動

氣體具有可壓縮性及熱膨脹性，其密度隨壓力和溫度的不同有較大的變化，因此氣體的密度必須標明其狀態（溫度、壓力），當查不到某一溫度和壓力條件下的氣體密度數值時，在一般的溫度和壓力下，氣體密度可近似的用理想氣體狀態式計算，即：

（1-2）式中p—氣體的絕對壓力，Pa

或N/m2；

T—氣體的溫度，K；M—氣體的摩爾品質，kg/mol；R—氣體常數，8.314J/（mol·K）。流體流動

③流體的密度計算：流體的密度一般可在有關手冊中查得，常見氣體和液體的密度數值見附錄。a.液體密度的計算純組分液體密度的計算：液體混合物密度的計算：液體混合物的組成常以品質分數表示，要計算其密度，可取1kg混合液體為基準，設各組分在混合前後其體積不變，則1kg混合液體的體積應等於各組分單獨存在時的體積之和，即（1-3）式中ρ1,

ρ2,…ρn——液體混合物中各純組分液體在混合液溫度下的密度，kg/m3；Xw1,Xw2,…Xwn——液體混合物中各組分液體的品質分數。流體流動

b.氣體密度的計算純組分氣體密度的計算氣體混合物密度的計算：氣體混合物的組成常以體積分數表示，其密度的計算方法如下：以1m3混合氣體為基準，設各組分在混合前後的品質不變，則1m3混合氣體的品質等於各組分的品質之和，即：ρm=ρ1Xv1+ρ2Xv2+…+ρnXvn（1-4）式中ρ1,ρ2,…ρn—氣體混合物中各純組分氣體的密度，kg/m3；Xv1,Xv2,…Xvn—氣體混合物中各組分氣體的體積分數。

流體流動

或ρm=（1-5）式中M均=

M1Xv1+M2Xv2+…+MnXvnM1,M2,…Mn—氣體混合物中各純組分氣體的摩爾品質，kg／mol。c.液體密度的測定方法：工業上測定液體密度最簡單的方法是用比重計，但此時測得的數值為相對密度。流體流動

（2）相對密度、重度流體密度與277K時水的密度之比，稱相對密度，用符號d277T表示，習慣稱為相對密度，相對密度是沒有單位的。即d277T=（1-6）重度（r）是單位體積流體的重量，其單位是N/m3，工程單位表示的重度與國際單位表示的密度在數值上相等，但二者意義完全不同。密度與重度的關係，猶如品質與重量的關係：即

r=ρg（1-7）（3）比體積（v）密度的倒數稱為比體積，其單位為m3/kg。即

（1-8）

流體流動

例1-1已知空氣的組成為21%O2和79%N2（均為體積分數），試求在100kN/m2和400K時空氣的密度。解空氣為混合氣體，先求M均。

M均=M1XV1+M2XV2M1=MO2=32kg/kmolXV1=0.21M2=MN2=28kg/kmolXV2=0.79所以M均=0.21×32+0.79×28=28.8kg/kmol流體流動

再由式ρm=

計算已知p=100kN/m2

T=400K

R=8.314J/mol.K所以

=0.87kg/m3流體流動

例1-2已知乙醇水溶液中，按品質分數計，乙醇的含量為95%，水分為5%。求此乙醇水溶液在293K時的密度近似值。

解由式（1-3）得令乙醇為第1組分，水為第2組分。已知

XW1=0.95XW2=0.05流體流動

查附錄，在293K時

ρ1=789kg/m3

ρ2=998kg/m3將XW、ρ值代入上式得=0.001204+0.00005=0.001254所以ρ=1/0.001254=797kg/m3查附錄，95%乙醇在293K的密度為804kg/m3,上面的近似值的誤差為（804-797）/804=0.9%流體流動

2．壓力流體的壓力是流體垂直作用於單位面積上的力，嚴格地說應稱為壓強（壓力強度），但習慣上稱為壓力。壓力的SI單位為N/m2即Pa，其他常見壓力單位及單位間的換算關係見附錄。測量流體壓力用的儀錶為壓力錶或真空表，也就是說壓力是由壓力錶或真空表顯示出來的，根據各表所顯示數據性質的不同，壓力有三種表示方法。流體流動

（1）表壓力當所測壓力的實際值大於表所在處的大氣壓力時，需安裝壓力錶測流體壓力，此時從壓力錶上讀出的壓力稱為表壓力，壓力錶上所顯示的數值並非所測壓力的實際值，而是所測壓力的實際值比表外大氣壓力高出的數值。（2）真空度當所測壓力的實際值小於表所在處的大氣壓力時，需安裝真空表測流體壓力，此時真空表上的讀數,是所測壓力的實際值比大氣的壓力低多少，稱為真空度。流體流動

（3）絕對壓力指所測壓力的的實際數值。三者關係：表壓力=絕對壓力-大氣壓力即p表=p

-p大（1-9）真空度=大氣壓力-絕對壓力即p真=p大–p

（1-10）由式（1-9）和式（1-10）可以看出，表壓即為負的真空度。工程計算中，通常用絕對壓力數值進行計算，因此，當用表壓或真空度表示壓力時，必須在單位後面用括弧注明，以防混淆，如無注明，則為絕對壓力。如圖1-1所示為表壓、真空度與絕對壓力的關係流體流動

圖1-1表壓、真空度與絕對壓力的關係流體流動

圖中：0-0線為絕對真空線，即絕對壓力的零線，1-1線為大氣壓力線對於壓力pA（大於大氣壓力），ab段代表絕對壓力值，cd段代表其表壓力值，對於壓力pB（小於大氣壓力），gh段代表絕對壓力值，fe段代表其真空度值。流體流動

例1-3求空氣在真空度為440mmHg、溫度為-40oC時的密度。當地大氣壓力為750mmHg。解空氣的平均分子量（以79%的氮氣計算）

M均=28×0.79+32×0.21=28.84kg/kmol絕對壓強p=750-440=310mmHg=

=4.21×104N/m2

=42.1kN/m2

T=273-40=233K由式(1-5)算出的空氣密度

ρm=

=

=0.627kg/m３

流體流動

1.1.2流體靜力學方程式及其應用

1．靜止流體內部力的平衡靜止流體內部任一點的壓力，稱為該點處的流體靜壓力，其特點如下。①流體靜壓力的方向與作用面相垂直。②從各方向作用於某一點的流體靜壓力相等。③同一水平面上各點的流體靜壓力都相等。靜止流體內部某一水平面上的壓力與其位置及流體的密度有關，其關係式通過分析流體內部的靜力平衡而得。流體流動

如圖1-2所示，在密度為ρ的靜止連續流體內部取一底面積為A，高為h的垂直液柱，則作用於此液柱垂直方向上的力有三個，分別是：（1）作用於液柱下底面的向上的壓力p2A；（2）作用於液柱上底面的向下的壓力p1A；（3）液柱本身重力ρgAh流體流動

圖1-2流體靜力平衡分析圖

流體流動

處於靜止狀態的液柱，各個力代數和為零，取向上作用的力為正，向下作用的力為負，可得

p2A-p1A-ρgAh=0

則p2=p1+ρgh（1-11）若以容器底為基準面，則上式可寫成

p2=p1+ρg（z1-z2）（1-12）式中p1—作用於液柱上底面向下的壓力，N/m2；

p2—作用於液柱下底面向上的壓力，N/m2；z1,z2—液柱上底面及下底面至容器底面的距離，m。式（1-11）、式（1-12）即為流體靜力學方程式運算式，流體靜力學方程式流體流動

幾點說明：①它表示靜止流體內部某一水平面上的壓力與其位置及流體密度的關係，所在位置越低則壓力愈大;密度越大，則壓力愈大。②當液面上方的壓力有變化時，液體內部各點的壓力也發生同樣大小的改變。③靜止的連通的同一液體處於同一水平面上的各點的壓力都相等。流體流動

④靜力學方程式是以液體為例推導出來的，液體的密度可視為常數，而氣體的密度除隨溫度變化外，還隨壓力而變化，因此也隨它在容器內的位置高低而改變，但這種變化可以忽略，即通常情況下可將氣體密度視為常數，故以上推導的靜力學方程式也適用於氣體，因此將式（1-11）、式（1-12）稱為流體靜力學基本方程式。⑤流體靜力學方程式只適用於靜止的、連通的流體。流體流動

例1-4一敞口容器中盛有相對密度為0.94的椰子油，油面最高時離罐底11m。罐側壁下部有一直徑600mm的人孔，用蓋壓緊。圓孔的中心在罐底以上1m。試求作用在人孔蓋上的總壓力。解先求作用於孔蓋的壓力，作用於孔蓋的平均壓力等於作用於蓋中心點的壓力。以罐底為基準水平面，則

z1=11m

z2=1mp1=0（表壓）（因敞口容器液面處絕對壓強為當地大氣壓強，故其表壓為零）ρ=0.94×1000=940kg/m3p2=p1+ρg(z1-z2)=0+940×9.81×(11-1)=92214N/m2（表壓）作用於孔蓋上的總壓力：

F=p2A=922140.62=26060N流體流動

2．流體靜力學方程式的應用（1）壓力的測量

①U形管壓差計。U形管壓差計的結構如圖1-3所示，在一根U形的玻璃管內裝液體，稱為指示液，指示液要與所測流體不互溶，不與被測流體發生化學反應，要有顏色便於讀數，其密度要大於所測流體的密度。流體流動

圖1-3U管壓差計

流體流動

如圖1-3，設指示液A的密度為ρA,被測流體B的密度為ρB,,圖中a、b兩點都在相連通的同一種靜止流體內，並且在同一水平面上，故a、b兩點的靜壓力相等。而1、2兩點的靜壓力並不相等，因為這兩點雖在同一水平面上，卻不是在連通的一種靜止流體內，然而通過pa=pb這個關係，便能求出p1-p2的值U管左側的流體柱，根據流體靜止的基本方程，可得：pa=p1+ρBg（z+R）流體流動

U管右側的流體柱：Pb=p2+ρBgz+ρAgR因pa=pb,故

p1+ρBg(z+R)=p2+ρBgz+ρAgR由此可得到由指示液讀數R計算壓力差p1-p2的公式

p1-p2=(ρA-ρB)gR(1-13)流體流動

式（1-12）幾點說明：a.U形管壓差計可測量管路中流體任意兩點間的壓力差，也可測量流體任一處的壓力，若U管的一端與被測流體連接，另一端與大氣相通，則讀數R所反映的是被測流體的表壓力。b.測量氣體時由於氣體的密度比指示液的密度小的多，式（1-13）中的ρB可忽略，此式可簡化為

p1-p2=ρAgR(1-14)流體流動

②雙液體U管壓差計。如圖1-4所示，雙液體U管壓差計是在U管的兩側壁上增設兩個小室，裝入A、C兩種密度稍有不同的指示液，若小室的橫截面遠大於管截面，即使下方指示液A的高度差很大，兩個小室內指示液的液面基本上仍能維持等高，1、2兩點壓力差便可用下式計算

p1-p2=(ρA-ρC)gR(1-15)雙液面U管壓差計可將指示液讀數R放大到等於普通U管的幾倍或更大，當測定壓力差很小，用普通U管壓差計難以測準時，可採用雙液體U管壓差計。流體流動

圖1-4雙液體U管壓差計

流體流動

例1-5用U形管測量管道中1、2兩點的壓強差。（1）已知管內流體為水，指示液為水銀，其密度為13600kg/m3，壓差計的讀數為10cm。（2）若流體是密度為2.5kg/m3的氣體，指示液仍為水銀，U形管讀數仍為10cm。（3）在（2）中，如將U形管中的指示液改為煤油，其密度為800kg/m3，則讀數R應為若干？流體流動

解(1)由式p1-p2=R（ρ示-ρ）gN/m2已知R=10cm=0.1m

ρ示=13600kg/m3

ρ=1000kg/m3代入上式得

p1-p2=0.1×(13600-1000)×9.81=12360.6N/m2流體流動

(2)因ρ示遠大於ρ由式p1-p2=Rρ示g將R、ρ示代入，得

p1-p2=0.1×13600×9.81=13341.6N/m2流體流動

（3）若改用煤油為指示液，則

p1-p2=13341.6=R×800×9.81解上式得

R=1.7m由此可見，在用U形管壓差計測量管路某處流體壓力時，選擇指示液時除前面討論的幾項要求外，還要保證R值大小適當。流體流動

（2）液位的測量食品生產中常需要檢測貯液設備內的貯液量，以確定液面的位置，便於生產中液面控制，液面的測量採用液面管及液面指示儀，其原理是利用流體靜力學原理製成。如圖1-5所示，用一個U形管壓差計的兩端與貯槽上下相連接，U形管壓差計中指示液的讀數R與貯槽液位高度成正比，因此，R的高度便反映貯槽內的液面高度。其關係式如下：流體流動

圖1-5U形管液面計

流體流動

根據靜力學原理，得pA=pBpA=p0+ρgh

pB=p0+ρ示gh

所以p0+ρgh=p0+ρ示gh

h=(1-16)流體流動

例1-6如圖1-5所示，用U管壓差計測量容器內相對密度為1.032的液體的液面的高度。已知壓差計內指示液為水銀，ρ示=13600

kg/m3,R=300mm,試求容器內液面的高度為若干m?

解

已知

R=300mm=0.3m,ρ

=1.032×1000=1032

kg/m3,

ρ示=

13600

kg/m3

由式（1-16）得

h==流體流動

1.2流體動力學

在食品生產中，經常會遇到流體通過管道由一個容器流入另一個容器，實現流體輸送任務，把這個過程稱為流體流動過程。流體動力學主要研究流體在管道內流動的理論知識及其在生產中的實際應用，所涉及的理論知識是品質守恆理論和能量守恆理論，最終要解決的實際問題主要是流體流量的計算以及所用輸送設備功率的計算。流體流動

1.2.1流體流動的相關概念1．流量與流速（1）流量

單位時間內流經管道任意截面的流體量，稱為流量。流量的表示方法有兩種，即體積流量（以qv表示，單位為m3/s）和品質流量(以qm表示，單位為kg/s)，二者之間的關係為：

qm=qv.ρ(1-17)式中

qm—品質流量，kg/s；qv—體積流量，m3/s；

ρ—流體的密度，kg/m3。流體流動

（2）流速

單位時間內流體質點在流動方向上所流過的距離，稱為點流速。實踐證明，由於管壁對流體流動產生一定的阻力，致使流體在管內流動時管道同一截面上各質點的流速各不相等，附著在管壁上的流體點流速為零，離管壁愈遠則點流速愈大，管道中心處點流速最大。在工程上以管道單位截面積所流經的流體的體積流量，即平均流速來表示，簡稱流速，符號為u，單位為m/s。u=

（1-18）由式（1-17）和（1-18）得qm=qv.ρ=usρ(1-19)流體流動

2．穩定流動與不穩定流動。

在流動系統中，若任一截面上流體的流速、壓力、密度等與流動有關的物理量，只與流體所處位置有關，與流體流動時間無關，這種流動稱為穩定流動；若流體流動時，任一截面上流體的上述物理量中，至少有一項是既與位置有關又與時間有關，則稱為不穩定流動。流體流動

圖1-6穩定流動裝置1進水管2貯水槽3排水管4溢流管

流體流動

如圖（1-6）所示水由進水管連續注入貯水槽，同時水由水槽下部排水管連續排出。若進水量大於排水量，多餘的水由水槽上方的溢流管排出，以保持水槽中水位恒定不變。現任取兩個不同直徑的排水管截面1-1＇及2-2＇，經測定知，若水槽中水位維持不變，則截面1-1＇處

及2-2＇處流速和壓力不相等即u1

u2，p1

p2，不論水流動時間有多長，各截面上的流速和壓力始終不變，這種流動稱為穩定流動。若將圖中進水管閥門關閉，使槽中水位逐漸下降，則不但u1

u2，p1

p2，同時各截面上的流速和壓力會隨時間而變化，這種流動稱為不穩定流動。不穩定流動通常出現在過程的開工和停工階段，中間的操作為穩定流動，食品生產多屬於連續穩定操作，本章所討論流體如不特殊注明均為穩定流動的流體。流體流動

1.2.2流體動力學方程式及其應用

1．流體在管內流動的物料衡算—連續性方程對於穩定流動系統，每單位時間內通過流動系統任一截面的流體品質流量都相等，即遵循品質守恆定律。因為流體要充滿全管，不能有間斷之處，故可將流體視為連續性介質，因此品質守恆原理也稱為連續性原理，並把反映品質守恆原理的物料衡算方程式，稱為連續性方程式。流體流動

圖1-7連續性方程式的推導

流體流動

如圖1-7所示，若管內流體處於穩定流動狀態，流體連續不斷地從截面1-1＇流入，從截面2-2＇連續流出，則流體從截面1-1＇流入體系的品質流量qm，1應等於從截面2-2＇流出體系的流體的品質流量qm，2，則物料衡算式為：qm，1=

qm，2因為qm=

qvρ=usρ

，所以上式可寫成u1s1ρ1=u2s2ρ2流體流動

若將上式推廣到管路上任一截面，則有

qm=u1s1ρ1=u2s2ρ2=…

=unsnρn=常量(1-20)對於不可壓縮性流體，因可視為常量，上式可寫成

qv=

u1s1=

u2s2=

…

=

unsn=常量(1-21)式（1-20）和（1-21）都稱為流體在管內穩定流動的連續性方程。它主要用於流體流動過程中不同截面處的流速或管徑的計算。流體流動

例1-7在穩定流動系統中，水連續地從細圓管流入粗圓管，粗管內徑為細管內徑的1.5倍，求粗、細管內水流速的關係？

解

以下標1和下標2分別表示細管和粗管，對於圓形管道s=由式（1-21）

u1s1=

u2s2得

u1.

=

u2.因為

d2=1.5d1

，所以

由此可見，流體作穩定流動時，流體的流速與管截面積成反比。

流體流動

2．流體在管內流動的能量衡算—柏努利方程前已述及靜止流體的能量守恆式，即流體靜力學方程式，現將討論不可壓縮流體在管內作穩定流動的能量守恆式，即柏努利方程式。首先分析流體流動時所涉及的能量。流動流體所具有的能量有三部分即：流動流體自身所具有的能量、流動時外加能量以及損失能量。（1）流動流體自身所具有的能量

①位能。因流體品質中心相對基準面位置的高低而具有的能量。位能等於把流體從基準面升舉到流體品質中心位置所做的功。位能的大小是由所選基準面決定的，因此，必須先選定基準面才能計算位能。流體流動

品質為mkg的流體所具有的位能=mgzJ單位品質流體所具有的位能=gzJ/kg單位重量（1N）流體所具有的位能，稱為位壓頭。

位壓頭=zm式中

m—流體品質，kg；

z—流體品質中心相對基準面的高度，m，當流體品質中心位於基準面以上時，z為正；反之，z為負。流體流動

②動能。因流體具有一定的流速而具有的能量。品質為mkg的流體所具有的動能=

J單位品質流體所具有的動能=

J/kg單位重量（1N）流體所具有的動能，稱為動壓頭。

動壓頭=m式中

m—流體品質，kg；u—流體流速，m/s。流體流動

③靜壓能。因流體具有一定靜壓力而具有的能量。與靜止流體一樣，流動著的流體內部任一處也都存在一定的靜壓力。靜壓能的大小等於在流體體積不變的情況下，將流體從絕對壓力為零提高到現有壓力所作的功。品質為mkg的流體所具有的靜壓能=J

單位品質流體所具有的靜壓能=J/kg

流體流動

單位重量（1N）流體所具有的靜壓能，稱為靜壓頭。

靜壓頭=m式中

m—流體品質，kg；p—流體的靜壓力，Pa；

ρ—流體的密度，kg/m3。流體流動

①外加能量。由於流體流動時有能量損失，而且實際輸送常需要將流體由低處送至高處，或者從低壓處送到高壓處，因此，要想完成輸送任務，必須在輸送管路中，安裝流體輸送機械，向輸送系統輸入能量。這種流體從輸送機械所獲得的機械能，稱為外加能量。常用的外加能量的表示方法有兩種：a．用外加功表示。單位品質流體從輸送機械所獲得的機械能，稱為外加功，用符號W表示，單位J/kg；b．用外加壓頭表示。單位重量（1N）流體從輸送機械所獲得的機械能，稱為外加壓頭，用符號H表示，單位m。流體流動

②損失能量。流體由於具有黏性，因此在流過管路時需克服流體與管壁及流體內部的摩擦阻力，而將一部分機械能轉化為熱能，從流體輸出到外界，這部分能量稱為損失能量。常用的損失能量的表示方法有兩種：a．用損失能量表示。單位品質流體損失的能量，用符號E損表示，單位J/kg；b．用損失壓頭表示。單位重量（1N）流體損失的能量，稱為損失壓頭，用符號h損表示,單位m。流體流動

下麵分兩種情況討論不可壓縮流體作穩定流動的柏努利方程式（1）不可壓縮理想流體穩定流動的能量衡算式—理想流體的柏努利方程式理想流體是指無黏性的流體，即流體流動時不產生流動阻力，流體的流動只有機械能之間的轉化，不存在系統與外界功和熱的能量交換。如圖1-8所示，品質為m的流體由1-1＇截面流入2-2＇截面，設該流體為不可縮（

ρ為常量）的理想流體，且作穩定流動，因系統與外界沒有功和熱的交換，則流體在1-1＇截面處的總機械能應等於流體在2-2＇截面處的總機械能。流體流動

圖1-8理想流體柏努利方程式的推導

流體流動

設1-1＇截面處的總機械能為E1，2-2＇截面處的總機械能為E2；品質為mkg流體流過任一截面所具有的總機械能=位能+動能+靜壓能=則

E1=,E2=

，

因

E1=E1故=

（1-22）流體流動

將式（1-22）兩邊除m，得

(1-23)將式（1-23）兩邊除g，得(1-24)式（1-22）、（1-23）、（1-24）均為不可壓縮理想流體穩定流動的柏努利方程式，其中式（1-22）表示品質為m

kg流體總能量守恆式，式中各項單位均為J；式（1-23）表示單位品質流體所具有的總能量守恆式，式中每一項的單位都是J/kg

流體流動

它表明，每千克流體在截面1處的位能gz1，靜壓能和動能三者之和等於流體在截面2處的位能gz2

，靜壓能和動能三者之和。式（1-24）表示每牛頓重量的流體所具有的總能量守恆式，式中各項單位：m；它表明，每牛頓重量的流體在截面1-1‘處的位壓頭z1，靜壓頭和動壓頭三者之和等於流體在截面2-2’處的位壓頭z2

，靜壓頭和動壓頭

三者之和。流體流動

以上所述柏努利方程式的三種表示方式是在能量守恆定律基礎上推導出來的，適用於不可壓縮理想流體穩定流動時的相關物理量的計算，當系統內流體靜止時，u1=u2=0，

式（1-23）變為

，

整理得

上式即為流體靜力學基本方程式，可見流體靜力學方程式是柏努利方程式的特殊形式。流體流動

（2）不可壓縮實際流體穩定流動的能量計算式。理想流體沒有黏性，實際流體是有黏性的，因此實際流體在流動中必然會在流體內部及流體與管壁間產生摩擦力而消耗機械能（稱為能量損失），為達到流體輸送的目的，外界必須對流體做功提供能量，這部分能量的提供通常由泵和風機來完成。因此，對於實際流體的柏努利方程式應矯正為

（1-25）或

(1-26)流體流動

式中

W—在截面1-1＇和截面2-2＇之間由泵對單位品質流體所作的功，J/kg；E損

—單位品質流體在1-1＇截面和2-2＇

間流動時產生的能量損失，J/kg；H—與W相對應的外加壓頭，m；h損

—與E損相對應的損失壓頭，m。式（1-25）、（1-26）均為實際流體的柏努利方程。同樣，實際流體的柏努利方程表達形式亦有三種。說明：柏努利方程式是根據液體流動規律推導的，氣體流動時，如密度變化不大（即壓強變化很小），用柏努力方程式計算，引起的誤差是可以的，但密度應取平均值。流體流動

圖1-9實際流體柏努利方程式的推1換熱器2泵

流體流動

3．柏努利方程式的應用（1）計算管道中流體的流量例1-8如圖1-10所示，水由水箱經短管連續流出，設水箱上方有維持水位恒定的裝置，水箱液面至水管出口的垂直距離為1.5m，管內徑為20mm，管出口處為大氣壓。若損失能量為10J/kg，求水的流量。流體流動

圖1-10例1-8附圖流體流動

解

取水箱液面為1-1＇截面，管流出口為2-2＇截面，並以2-2＇截面為基準面，在1-1＇截面與2-2＇截面之間列柏努利方程：

已知

p1=p2=0（表壓），u1

0(因水箱截面積較大，在相同流量下，與管內流體流速相比較可以忽略)，流體流動

z1=1.5m，

z2=0，

W=0，E損=10

J/kg,d=20mm=0.02m

,

將以上各數值代入得1.5×9.81+0+0+0=0++0+10u2=3.0m/s水的流量qv=u2.=3.07×

×0.022=9.6×10-4m3/s

流體流動

（2）計算流體輸送機械的功率根據柏努利方程式算得的外加功W，是決定流體輸送設備所需功率的重要依據。流體輸送設備的有效功率

P有=W•qm式中W—泵所做的功，J/kg；

qm—流體的品質流量，kg/s。流體流動

例1-9如圖1-11所示，用泵將水從水池輸送到高處的密閉容器，已知輸水管的內徑為56mm，其出口位於水池水面上方10m，輸水管出口處壓強為500kN/m2（表壓），要求輸水量為14m3/h

,管路阻力損失為50J/kg。試計算泵的功率（泵的效率為60%）流體流動

圖1-11例1-9附圖流體流動

解取水池液面為1-1＇截面，管流出口為2-2＇截面，並以1-1＇截面為基準面，在1-1＇截面與2-2＇截面之間列柏努利方程：

已知p1=0(表壓),p2=500kN/m2（表壓），

u1

0

，

z1=0,

z2=10m,

ρ

=1000kg/m3,E損=50

J/kg,d=56mm=0.056m,

qv=14m3/h

由qv值解得

=1.58m/s流體流動

將以上各數值代入柏努利方程得0+0+0+W=9.8×110+

++50W=649J/kgqm=ρ

qv=1000×=3.89kg/s則泵的有效功率P有=W•qm=649×3.89=2525J/s=2.52kW

泵的軸功率P

=P有/

η=2.52/0.6=4.2kW流體流動

根據以上例題，將柏努利方程式的應用方法歸納如下：①根據流體的流動方向選定上游截面1-1＇和下游截面

2-2＇，從而選定所研究體系。注意所選截面應與流體流動方向相垂直，並且注意要使所求物理量在系統中反映出來；②正確選擇基準面以便於計算；③單位要統—，最好採用國際單位制。流體壓強可以用絕壓或用表壓，但要一致；④截面很大時，流速可認為是零。流體流動

1.3流體阻力

前面討論流體流動系統的機械能衡算時已述及，靜止的流體沒有阻力，流體流動時會產生阻力，通常把流體流動時因克服內摩擦力而損失的能量稱為流體阻力。通過討論柏努利方程的應用可以看到，只有已知方程式中的能量損失數值，才能用柏努利方程式解決流體輸送中的問題，因此，流體阻力的計算頗為重要。本節主要討論流體阻力的來源，影響流體阻力的因素以及流體在管內流動時流體阻力的計算。流體流動

1.3.1流體流動現象1．流體的黏度（1）黏度的定義前已討論，當流體在管內流動時，管內任一截面上各點的速度並不相等，管中心處的速度最大，愈靠近管壁速度愈小，在管壁處流體的質點附著在管壁上，其速度為零。因此，管內流動的流體。可認為是被分割成無數極薄的圓筒層，一層套著一層，各層以不同的速度流動，速度快的流體對速度慢的流體產生拖動力（即剪切力）使之加速，而速度慢的流體層對速度快的流體層則產生一個阻止它向前流動的力，拖動力和阻力是一對作用與反作用力，這種發生在流動著的流體內部層與層之間的作用力，稱為內摩擦力或黏滯力。流體流動

內摩擦力是產生流體阻力的根本原因，而內摩擦力產生的主要原因是流體具有黏性。黏性是流體固有的屬性之一，不論是靜止的流體還是流動的流體都具有黏性，只不過黏性只有在流體流動時才表現出來，流體流動時為克服內摩擦需消耗能量。衡量流體黏性大小的物理量，稱為黏度，用符號表示，黏度大的流體流動時內摩擦力大，因而流體的流動阻力也大。流體流動

（2）牛頓黏性定律決定流體流動時內摩擦力大小的因素很多，牛頓經過大量的實驗研究，提出了反映流體內摩擦力與其影響因素之間關係的“牛頓黏性定律”。如圖1-12所示，設有兩塊面積很大而相距很近的平板平行放置，中間充滿靜止液體，下板固定，對上板施加一個恒定力，使其以恒速移動，此力通過平板而成為在介面處作用於液體的剪應力（單位面積上的內摩擦力），此時發現兩板間的液體分成無數平行的薄層而運動，附在上板表面的液層具有與上板相同的速度，以下各層速度逐漸降低，附在下板表面的液層速度為零。即兩板間的流體形成上大下小的流速分佈，各平行流體層間存在相對運動，運動較快的上層對相鄰運動較慢的下層，有拖動其向前運動的拖動力（稱剪切力），運動較慢的下層對相鄰運動較快的上層產生摩擦力或阻力。該摩擦力與剪切力大小相等、方向相反。

流體流動

圖1-12平板間流體流速分佈

流體流動

設與流體流動方向垂直的y方向上流體速度的變化率（稱為速度梯度）為du/dy,則兩流體層間的剪切力（內摩擦力）F與液層面積A和速度梯度du/dy之間的關係為：把上式寫成等式，需引入一個比例係數μ，即流體流動

單位面積上的內摩擦力，稱為剪應力，用符號τ表示，則

τ=F/A=（1-27）式中τ—剪應力，Pa；—速度梯度，1/s；μ—比例係數，稱為黏性係數，簡稱黏度，Pa.s。流體流動

式（1-27）稱為牛頓黏性定律，即流體的剪應力與速度梯度成正比。從式（1-27）可以看出，若取A=1m2,=l（1/s)，則在數值上μ=τ。所以黏度的物理意義是，當速度梯度為1單位時，在單位面積上由於流體黏性所產生的內摩擦力的大小。顯然，流體黏度越大，流動時產生的內摩擦力也越大，流體流動時能量損失也越大。黏度單位可由式（1-27）得到，在SI制中，黏度的單位為“帕.秒”，用符號“Pa.s”表示；在文獻中黏度數據以物理單位制（cgs制）表示，在cgs制中，黏度的單位為“泊”或“厘泊”，用符號P或cP表示,1P=100cP，黏度各單位之間的換算關係為1Pa.s=1000mPa.s=10P=1000cP。流體流動

2．流體流動類型前面討論流體的黏度與牛頓黏性定律時曾提到流體分層流動現象，實際上，這種分層流動現象只有在流速很小時才會出現，流速增大或其他條件改變時，流體流動形態將發生變化。1883年著名的物理學家奧斯本·雷諾通過實驗研究了流體流動時各質點的運動情況及各種因素對流動狀態的影響，揭示了流體流動的不同形態及其判定方法。流體流動

（1）雷諾實驗雷諾實驗裝置如圖1-13所示，在透明水箱內裝有溢流裝置，以保持水箱中水位恒定。箱的底部安裝一根內徑相同入口為喇叭狀的玻璃管，管出口處裝有閥門以調節管口內水的流速。水箱上方安裝一個盛有色液體的小瓶，小瓶下端有一針形細管與水箱內玻璃管相通，在水箱內的水以一定速度流經玻璃管過程中，將來自針形細管的有色液體送到玻璃管入口後的管中心處，從有色液體的流動狀況可以觀察到管內水流中質點的運動情況。流體流動

圖1-13流體流動類型實驗裝置1有色液體2細管3水箱4玻璃管5閥門

流體流動

實驗時通過調節水出口閥開度調節玻璃管內水流的速度。水流速小時，玻璃管中心的有色液體成一條細線沿管中心線通過全管，如圖1-14（a）所示，這種現象表明，玻璃管內水的質點是彼此平行的沿管軸的方向作直線運動，可以將流體看成是一層一層的以不同速度向前平行流動，質點間互不混雜，這種流動類型稱為層流或滯流。當增大玻動管內水流速度至一定數值時，有色液體便成為波浪形細線，圍繞管中心線上下波動，如圖1-14（b）所示，這種情況可視為流體由層流向湍流過渡的一種形式，通常不將其作為一種流動類型考慮。繼續增大玻動管內水流速度，有色液體的細線波動加劇，最後細線斷裂，呈旋渦狀至最終與水完全混合，全玻璃管內水的顏色均勻一致，如圖1-14（c）所示，這種現象表明，玻璃管內水的質點除了沿著管軸線方向向前流動以外，各質點還作不規則的脈動，彼此互相碰撞，互相混合，這種流動類型稱為湍流或紊流。流體流動

圖1-14流體流動類型

流體流動

（2）流體流動類型判斷依據—雷諾數雷諾將流體的流動類型分為兩種—層流和湍流。在此基礎上，雷諾發現，與流體流動類型有關的因素除流體流速外，管徑d、流體黏度μ和流體密度ρ對流體流動狀況也有影響。雷諾將上述各影響因素組合成數群，即形式，用來判斷流體流動類型。因其源於雷諾，又無因次，故稱為雷諾准數，簡稱雷諾數，用符號Re表示

Re=（1-28）流體流動

式（1-28）使用說明：①當Re≼2000時，流體流動類型屬於層流；當Re≽4000時，流體流動類型屬於湍流；當2000<Re<4000時，流動類型無法判定，通常稱為過渡流。②在計算Re值時，注意Re計算式中各個物理量的單位必須採用同一單位制，計算結果單位全部消去只剩下數字。流體流動

例1-10牛奶以2L/s的流量流過內徑為25mm的不銹鋼管。牛奶的黏度為2.12mPa.s，相對密度為1.03，問管道中牛奶的流動類型。解已知d=25mm=0.025m,μ=2.12mPa.s=2.12×10-3Pa.s,

ρ=1.03×103kg/m3u=qv/s==4.08m/s則Re===4.96×104〉4000管道中牛奶的流動屬於湍流。流體流動

3．流體在圓管內的流速分佈流體在圓管中任意截面上各質點的流速是不同的，由於流體具有黏性，使管壁處流速為零，離開管壁至管中心處流速逐漸增大，管中心處流速最大，這種變化關係稱為流速分佈。流體流動類型不同其速度分佈也不同。層流時，管內流體質點沿管軸作有規則的平行運動，經理論推導，其速度分佈表示式為ur=umax(1-29)式中ur—半徑r處流體的流速，m/s；

umax—管中心處流體的流速（即流體最大流速），m/s；R—圓管半徑,m；r—管截面任意一點半徑，m。流體流動

由層流時速度分佈式可知，速度ur隨r呈拋物線變化，如圖1-15所示，當r=0時，即管中心處ur=umax，流體點流速最大；當r=R時，即管壁處，ur=0，流體點流速為零。經理論推導得出層流時的平均速度u為最大流速的0.5倍。流體作層流流動時滿足以下關係式：

(1-30)式中l—流體流經管道的長度,m；

d—流體流經管道的直徑,m；

u—流體平均流速，m/s；

μ—流體黏度，Pa·s；

Δp—流體流經管道兩端的壓強差，Pa。流體流動

圖1-15層流時的速度分佈

流體流動

式（1-30）稱為泊稷葉方程式，它反映流體在圓管內作層流流動時，流體流經一定長度的管路的壓力降與管道的長度、管內徑、流體的黏度以及流速之間的關係。湍流時，流體質點的運動雖不規則，但整個截面上流體流動的平均速度仍是固定的，由實驗測得的速度分佈曲線如圖（1-16）所示。湍流時平均流速與中心處最大流速的關係可通過查圖1-22獲得。流體流動

圖1-16湍流時的速度布

流體流動

1.3.2流體阻力

前面已提到，在應用柏努利方程式解決實際問題時，必須首先要計算公式中阻力損失，下麵將討論流體流動阻力的計算方法。流體流經管道時所遇到的阻力可歸納為兩類，一類阻力是發生在流體流經一定管經的直管時，由於流體的內摩擦而產生的阻力，稱為直管阻力。直管阻力又稱為沿程阻力。另一類阻力是流體流經管路中的管件、閥門、管子出入口等局部位置所產生的阻力，稱為局部阻力。柏努利方程式中的h損是指流體流經所選定管路系統的總能量損失或總阻力損失，它包括管路系統中各段直管阻力損失和系統中各局部阻力損失，即

h損=h直+h局流體流動

1．直管阻力的計算設流體流經一管內經為d、長為l的水準圓管，管內流體作穩定流動，流速為u，流體在進、出口截面1—1＇和2—2＇截面上的壓強分別為p1、p2（p1>p2）,若流體流經此段直管時因流體阻力而產生的能量損失為h直,在1-1＇截面和2-2＇截面間列柏努利方程：

因為沒有外加功又是水準直管，且管徑不變，所以

H=0，z1=

z2，u

1=u

2=u，

故直管阻力h直==Δp/ρg(1-31)流體流動

由於管內流體作穩定和等速流動，因此作用於液體柱的推動力和摩擦阻力大小相等、方向相反，則Δp.=τπdl

Δp=將式（1-31）代入上式得，h直=(1-32)將式（1-32）變換為

h直=流體流動

令λ=則得

h直=（1-33）式（1-33）是計算直管阻力的通式，稱為範寧公式，對層流與湍流均適用，式中λ稱為摩擦因數，無單位。流體流動類型不同，λ值也不同，下麵就λ值的計算方法加以說明。流體流動

（1）層流時摩擦因數由泊稷葉方程式

Δp=故h直==Δp/ρg

=與式（1-33）比較，可得

（1-34）式（1-34）是計算層流時摩擦因數的計算式。此外，層流時摩擦因數也可以通過摩擦因數圖1-17中層流曲線查取。流體流動

（2）湍流時的摩擦因數因湍流時流體各質點流動情況比較複雜，所以現在還不能從理論上推算摩擦因數值，只能借助於實驗求得摩擦因數值。人們作了大量的實驗，發現了λ與Re之間的關係，得出湍流時摩擦因數的取得方法有兩種，即經驗公式法和摩擦因數圖法。由於經驗公式法比較繁瑣，為了計算方便，莫狄根據有關經驗公式，將摩擦因數λ、雷諾准數Re及管壁相對粗糙度ε/d之間的關係標繪在雙對數座標上繪成曲線圖，此圖稱為莫狄摩擦因數圖。如圖1-17所示，全圖分為四個區域：流體流動

圖1-17摩擦因數與雷諾准數關係

流體流動

①層流區（Re≼2000）。此區域流體作層流流動，層流條件下管壁上凹凸不平之處均被平穩流動的流體層所覆蓋，流體在此層上流過相當於在光滑管壁上流過，所以λ與管壁面的粗糙度無關，而與Re成直線關係，其表達方式為；即層流時λ值可直接利用公式計算或根據Re值由層流曲線查得。

②過渡區（2000<Re<4000）。此區域是層流和湍流的過渡區，因此λ值可由層流或湍流曲線延長後查得，為了使流體阻力計算值有一定餘量，需查取較大的λ值，因此，通常將湍流曲線延長查取λ值；即過渡流時，可先根據管壁面相對粗糙度ε/d值確定具體湍流曲線，然後將該曲線延長，並由Re值查得λ值。流體流動

③湍流區（Re≽4000）。此區域流體做湍流流動，湍流條件下，粗糙管壁上凸出的地方會越過層流底層而部分進入湍流區與流體質點發生碰撞，增加了流體湍流性，因此湍流時摩擦因數λ是Re和管壁面相對粗糙度ε/d的函數。當Re一定時,λ隨ε/d的減小而減小，直至光滑管的λ值最小,即湍流區最下麵的曲線是光滑管曲線；當管壁相對粗糙度ε/d一定時，雷諾准數Re越大，摩擦因數λ越小。湍流時λ值的求法與過渡流相似，只是所確定的湍流曲線不用延長。④完全湍流區。圖（1-17）中虛線以上的區域。當Re增大至一定數值時，管壁上的粗糙峰完全暴露於流體主流中，致使摩擦因數λ與Re的大小基本無關，只與管壁的相對粗糙度的有關。完全湍流時λ值只由ε/d值查得。流體流動

例1-11將密度為1060kg/m3,黏度為160mPa.s的果汁通過水準鋼管送入貯槽，已知鋼管管壁面絕對粗糙度ε=0.1mm,果汁在管內的流速為2m/s.試求果汁流過10m長管徑為50mm的直管的阻力損失。解由題知ρ=1060kg/m3,μ=160mPa.s=0.16Pa.s,

l=10m,d=50mm=0.05m,u=2m/s。則Re===663<2000所以果汁的流動狀態為層流，λ與管壁粗糙度無關。=64/663=0.10阻力損失h直===4.08m流體流動

例1-12293K的水在ф38×1.5mm的水準鋼管內流過，水的流速為2.5m/s,求水通過100管長的阻力損失（鋼管管壁面絕對粗糙度ε取0.1mm）。解由題知l=100m,d=(38-21.5)mm=35mm=0.035m,u=2.5m/s。由附表查得水在293K時ρ=998kg/m3,μ=1.0050mPa.s=1.0050×10-3Pa.s,則Re===8.7×104>4000所以水的流動狀態為湍流，λ值的大小由Re及管壁面相對粗糙度ε/d決定，因ε=0.1mm，ε/d=0.1/35=0.0028由圖1-16查得λ=0.031阻力損失h直===28.2m流體流動

2．局部阻力的計算

管內流體流動阻力除直管阻力外，還有流體流經管路的進口、出口、彎頭、閥門、擴大、縮小或流量計等局部位置時產生的阻力即局部阻力，局部阻力的計算方法有兩種，分別是當量長度法和阻力係數法。流體流動

（1）當量長度法此法是將流體流過管件、閥門等局部障礙時所產生的局部阻力，折合成相當於流體流過長度為l的同直徑的管道時所產生的阻力，此折合的長度稱為當量長度，用符號l當表示。於是局部阻力h局可參照直管阻力h直的計算公式，由下式計算

（1-35）式中λ—流體流動時的摩擦因數；

l當—管件的當量長度，m；d—安裝管件的管子的內徑,m；u—流體在管內的流速，m/s。

流體流動

l當的數值由實驗確定，其單位為m。通常以當量長度與管道內徑的比值l當/d表示。l當值可由表查得。l當值也可由圖（1-18）查出。其方法如下：先在圖左側垂線上找到與管路上所安裝管件或閥門相對應的點，再在圖右側找到安裝該管件或閥門的直管內徑值，此兩點的連線與中間尺規的交點的數值，即為該管件或閥門的當量長度值。如將標準彎頭安裝在內徑為150mm直管上時，可讀取當量長度為5m。流體流動

圖1-18常用管件及閥門的當量長度圖

流體流動

管中流體流動的總阻力（柏努利方程式中的E損或h損）為管道上全部直管阻力和各個局部阻力之和。若局部阻力採用當量長度法進行計算，則總阻力損失計算式為：h損=h直+h局=（1-36）式中h損—管路的總阻力損失，m；

l—內徑相同的管路上各段直管的總長度，m；∑l當—內徑相同的管路上所安裝的全部管件與閥門等當量長度的和，m；u—流體流經管路的流速，m/s。流體流動

（2）阻力係數法因流體流過管件、閥門等局部時，摩擦因數λ變化很小，而可視為定值，因此，可將當量長度法計算局部阻力式中的λ.用—係數表示,令ζ=λ.，

則局部阻力h局可由下