高考数学解题方法秘籍数列3理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：数列3

1

工，当a”为偶数时，

%+i=2

已知数列同满足：a'=m（m为正整数），Bq,+1,当为奇数时。若6=1,则小

所有可能的取值为。

.【答案】4532

a.mm

_--Q?=——@3=——=——

【解析】（D若卬="'为偶数，则2为偶，故-224

mmmm.__

—a=..........a=——=1=>/??=32

①当4仍为偶数时，48632故32

m)1J[4

—&=3%+1=—"?+1....&=-----

②当4为奇数时，44

—777+1

4-----=1

故4得小二4。

_3m+1

（2）若％=加为奇数，则％=3%+1=3〃2+1为偶数，故出2必为偶数

3m4-13m+1

.......a=---------------

h16,所以16=1可得m=5

2

数列｛an｝满足al=L1+^/,+,1+,则al0=▲.

答案：一历

3

若数列｛.』有一个形如4,=Asin（dM+s）+B的通项公式，其中4、B、外夕均为实数，且

A>0,0>0,|夕|<与a-

阳2,则。〃-▲（只要写出一个通项公式即可）

答案:一可争-1H

4

已知数列｛凡｝的各项均为正数，若对于任意的正整数p，q总有册+«="屋与，且4=16,

则60=▲.

答案32；

5

在数列缶"｝中，已知囚=2,4=3,当“22时，4+i是4⑶，-的个位数，

则“2010=▲.4；

6

已知等比数列｛"1的公比4>°,若%=3,/+%+4=21,则%+%+%=

▲

7

\\.=1口=2,\+2=""；4川N*

已知数列'a"'满足，2

0)令或=。,用一4,证明：此，｝是等比数列；

(II)求｛“"的通项公式。

8

saIa-?%=%,+ln(l+L)

在数列V.中，«in,则4一

9

设数列｛%｝中，％=2,4+|=4+“+1,则通项％=2+，。

10

以数列S"｝的任意相邻两项为坐标的点尸"(明必用)("€2)均在一次函数

y=2x+k,(k#°)的图象上，数列也“｝满足条件："二限一见行旷),

⑴求证：数列仍"｝是等比数列；

⑵设数列｛""｝、｛"｝的前"项和分别为S"、若$6=74，§5=-9,求攵的值.

11

.设｛4｝为等比数列，T"="为+("1)的…+2%+%,已知4=1,72=4。

(I)求数列1"｝的首项和通项公式；(II)求数列“"｝的通项公式。

12

设函数〃x)=%+"2*+%/+••.+,'(°)-5,数列也,｝满足/⑴="%"(〃eN*),

1

则数列缶"｝的通项对等于〃（"+1）

13

数列｛”“｝的前〃项和为S”吗=l，4+i=2S“（”eN）。

求数列｛%｝的通项凡；

求数列｛"4｝的前〃项和（，。

14

若数列W的通项公式为明5，旷』《『…+）,W的最大值为第x项,

最小项为

第y项，则x+y等于

数列的前n项和求法:

公式法

1

等比数列｛"」的公比4>0,已知％=1+—=64,则｛叫的前四项和是

2.

设曲线在点a,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为左,令％=炮乙，则

q+4+…+49的值为

答案：-2

3

设曲线>=wN*）在点（1,］）处的切线与x轴的交点的横坐标为为，，则%.马…一%的

值为

1

〃+1

n｛〃｝

4对正数n,设曲线）'=x"（l—x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为4,则数列〃的

前n项和的公式是S”=

5当X>1,g（x）表示把X“四舍五入”到个位的近似值，如

g（0.48）=0,g（^）=l,g（2.76）=3,g（4）=4,-.,当n为正整数时，集合

M”=[5以（五）=〃，代N+]

12J中所有元素之和为、，则\一

周期法

4.已知数列｛%｝满足%=2,%+|="%（"€N*）,则连乘积的2a3…。2009。划0的值为

2在数列中，若对任意的〃均有""+4用+%+2为定值（“€N’），且

%=2,%=3,。98=4,则此数列｛4｝的前100项的和5。。=.299

分组求和

]已知数列的首项占=3,通项x“=2"p+"q（〃eN*,p,q为常数），且%,乙,七成等

差数列，求：（1）〃国的值；（II）数列｛%｝的前〃项的和,“的公式。

a"与s"的关系

已知数列缶"｝，步"｝的前n项和分别为

A,B.JLAJOOOUS,B]ooo=402,记C“=a“纥+6,/“一。也（〃€"）,则数列｛%｝的前

1000项的和为2010

拆项法

.已知二次函数＞=/（幻的图像经过坐标原点，其导函数为/（X）=6X—2,数列缶”｝的前n

项和为S",点（"，5"）（〃€"*）均在函数丫=/（》）的图像上。（[）求数列｛%｝的通项公式；

13m

b=-----T＜——

（H）设naen+i,Z,是数列他J的前n项和，求使得“2°对所有N*都成立的最小

正整数m；

数列的单调性问题

1

通项公式为""=a〃2+〃的数列｛"J若满足4＜生＜%＜%＜%,且4＞。“+1对〃28恒

成立，则实数。的取值范围是_____▲.917

2

已知数列缶"｝是等比数列，s〃为其前〃项和.

(1)若§4,S10,S7成等差数列，证明%,%,%也成等差数列；

321

5=-5=—

(2)设32,616,2,若数列也，｝是单调递减数列，求实数几的取值

范围.

解：设数列S"｝的公比为“，

因为S4,SqS7成等差数列，所以4*1,且2酬。=54+$7.

所以"qi-q"q,

因为所以1+/=2”.......................................................4分

所以为+%/=2。闻6,即q+4=2%.

所以也成等差数列.....................................6分

S=3S=-

(2)因为'2,616,

♦(1-/)=3

所以"q2,................①

<2|(1—cjb)21

、一q16...............................o

1+/、-7q=Fn

由②+①，得8,所以2,代入①，得4一己

又因为""=九'"一"'所以

由题意可知对任意〃eN*,数列也”｝单调递减，

〃八2/_iY_(n+ir<2/_ir_„2

所以仇用<勿，即(2)I2)

6A||<2n+l

即I2)对任意〃eN*恒成立，........................10分

.(2〃+1)2"(2"+1)2”

4〉--------------------

当〃是奇数时，6，当〃=1时，6取得最大值一1,

所以％>一1；...........................................................................................12分

工<(2“+1)2”(2〃+1)2"10

当”是偶数时，6，当〃=2时，6取得最小值3,

所以43.

综上可知，3,即实数4的取值范围是‘3................14分

新型数列的研究

1

&

设S"为数列｛""｝的前〃项和，若S"(nwN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.

(1)若数列｛2"｝是首项为2,公比为4的等比数列，试判断数列也｝是否为“和等比数列”;

(2)若数列｛品｝是首项为J,公差为"S丰°)的等差数列，且数列｛%>是“和等比数列”,

试探究[与。之间的等量关系

解：因为数列上”｝是首项为2,公比为4的等比数列，所以2'=24।=2"/，

因此"=2"—1.................................................分

222=4

设数列步」的前〃项和为则心,=4〃2,所以，

因此数列也｝为“和等比数列”.....................................6分

Jc\R*=叱0)

⑵设数列\的前〃项和为5,且5,

_〃(/一1).__2n(2n-l).

[｝&=nc\+-z-dR=2nc+------------d

因为数列c是等差数列，所以22ll｛2

工也二一

凡叫+3〃

所以2对于"CN都成立，

化简得,伙―4)"?+(%-2)(2q—d)=0,................................................我分

'伙一4)d=0,

则［伏-2)(2c/d)=0,因为匕0,所以&=4,d=2q,

因此4与9之间的等量关系为d=2q.................................................14分

2

设数列｛4｝的通项公式为%=P〃+4("e",P>0)。数列也｝定义如下:对于正整数m,

是使得不等式""？加成立的所有n中的最小值。

11

p=—,q=—>

(I)若23,求打：

(n)若P=2,4=-1,求数列｛篇｝的前2m项和公式；

(III)是否存在p和q,使得“"=3加+2(meAT)?如果存在，求p和q的取值范围；如果

不存在，请说明理由。

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法.木题是数列与不等式综合的较难层次题.

1111、、、20

an——n———n——>3n>——

(I)由题意，得23,解23，得3

—>3._7

.♦.23成立的所有n中的最小整数为7,即生

(II)由题意，得q=2"—1,

、n-、-m-+1

对于正整数，由”"2加，得2.

根据“"的定义可知

当m=2&-1时，0，，，=人(丘")；当加=2女时，〃，，=4+1(丘叱)

...向+82+…+%"=(R+&+…+匕2吁1)+(〃2+"+…+)

(1+2+3+…+加)+[2+3+4+・・・+(加+1)]

m(/n+1)+m(m+3)

=m2+2m

22

加一夕

n>------

（in）假设存在p和q满足条件，由不等式及P>°得P

■：图=3加+2（"eN*）,根据九的定义可知，对于任意的正整数m都有

个1m-q八、

3m+1<--------<3m+2。5

P,即一2，一”(3〃-1)/〃<-〃-<7对任意的正整数皿都成立.

m<一•"义m<-2P+勺

当3p-1>0(或3p-1<0)时，得3p-1(或3p-\),

这与上述结论矛盾！

12cl21

)1八p=-------q<0<------q——Sq<—

当3p—1=0,即3时，得33，解得33.

:.存在p和q,使得"，=3，〃+2(meN,)；

121

p=———<<7<——

P和q的取值范围分别是3,33

3

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列｛"”｝的集合：①2-"+，.

②其中"CN*,M是与口无关的常数.

（1）若｛“"｝是等差数列，S"是其前n项的和，为=4,邑刁8,试探究｛'J与集合W之间的关系;

⑵设数｛"｝的通项为"=5"-2",且也心卬，求M的取值范围；（4分）

4

定义：在数列在n｝中,若an2—an—12=p,（n,2,nCN*,p为常数）,则称｛an｝为“等方差

数列”.下列是对“等方差数列”的有关判断：

①若｛an｝是“等方差数列”，则数列｛an2｝是等差数列；

②｛（一Dn）是“等方差数列”；

③若｛an｝是“等方差数列”，则数列｛akn｝（kGN*,k为常数）也是“等方差数列”；

④若｛an｝既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列.

其中判断正确的序号是

5.

已知数集A=…%｝("%<。2<一。，心2)具有性质产；对任意的

叟

i,j(l<i<j<n^4勺与q.两数中至少有一个属于A.

(I)分别判断数集｛134｝与｛123,6｝是否具有性质p,并说明理由；

%+42+…+4..

(II)证明：％=1,且07+七'"；

(山)证明：当〃=5时，q，4，/，%，生成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

4

(I)由于3x4与3均不属于数集0，3,4｝,...该数集不具有性质p

1T1T1/c々661236

由于X'X'X'X都属于数集｛123,6｝,

该数集具有性质P.

%

(II)...A=｛"”"2，…a"｝具有性质p..•.a,4,与a,中至少有一个属于A,

由于14%<%<•.<%,...44>4,故4Al史>

1=&A

从而4,...q=L

...l=q</<・••<"“，故如。“/A(A=2,3,…

A(左=1,2,3,…

由A具有性质P可知^

aaaa

_2nL<_niL_<...<_niL<_nfL

又・.・anan_｝a2q,

aaa„a

—n=—n—H------F—+—lt=«,-------1-a,+a,

从而4%4%

%+1+•••+%

.6/1'+tJ,1+,,,+）

牝一〃依

—一%，—-a3__2

（III）由（II）知，当〃=5时，有%%,即。5=%4=%,

..1=%<生<…<%•a3a4>42a4=as•色/任A

•9••f••9

幺,幺=幺641<幺=%幺=幺=

由A具有性质P可知/得%%，且％一，；.4a2

a.ada.a.

—=—=—=—=tz2

.•."4%«2%\即％，4，4，&，。5是首项为1,公比为4成等比数列.

等差数列

等差数列及性质

1

V?+iVJ+i石+i

设xeR,记不超过X的最大整数为［X］,令｛X｝=X_［打，则｛下一｝,［下一］,丁

A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列

2

记等差数列的前〃项和为S",若邑=4,S4=20,则该数列的公差1=（B）

A、2B、3C、6D、7

3

己知｛"">为等差数列，且%-244=_1,%=0,则公差d=

4

s

等差数列｛&｝的前n项和为“，且S3=6,q=4,则公差d等于2

5

已知｛"">为等差数列，且%—2%=-1,%=0,则公差d=

d=-2

6

已知等差数列也"｝中，%+%=16,%=1,求/2的值

7

已知｛an｝为等差数列，a3+a8=22,a6=7,则a5=15

8

设S"是等差数列的前n项和，已知生=3,则$7等于

9已知数列"J为等差数列，若。6,则数列｛何/的最小项是第▲项.

10

邑=

设等差数列｛"〃｝的前〃项和为S〃，若%=5%则§59.

:a=9%_9

解：.・.｛%｝为等差数列，S55%

11

已知为等差数列，,FF=IO5fFg=99,则〜等于

12

等差数列｛““｝中，若”1+〃2=4,%+《0=36,

则Sio=▲100

13

设等差数列｛%｝的前〃项和为S”。若§9=72,则%+%+%=.

14

.在等差数列｛%｝中,“2,46是方程厂_6X-1=0的两根,则a5+a6+a9+an+q=

15

知数列｛""｝为等差数列，且4+47+《3=4%，贝+%）=.

16

已知｛"">是等差数列，4+4=4,%+%=28,则该数列前10项和Ho等于（B

A.64B.100C.110D.120

17已知“"一2〃-11（〃'N）,数列｛fl„｝的前n项和为S“,则使S,,>°的n的最小值是

18

已知等差数列中，％=6,%=15,若久=生“，则数列｛，｝的前5项和等于

19

,5

4=4/2--r

在数列｛qJ在中，“2,«1+«2+-•1«„=an-+bn(N”，其中凡人为常数，则

ab=_]

等差数列先证后求的问题

可化成的等差数列

S”

1数列｛4｝的通项公式是凡二1-2〃，其前〃项和为s.,则数列｛〃｝的前I1项和

为

2

^*2007^2005_2

等差数列｛%｝中，S.是其前n项和，4=一2008,20072005,则S2008的值为.

2z2n■兀.2、

jtcin—n(cos~----sin—)((

3数列V，J的通项33,其前"项和为％,则*o为

A.470B.490c.495D.510

答案：A

｛cos----snr——｝

【解析】由于33以3为周期，故

%=(-^^+3?)+(-=^+62)+…+(一生产+302)

=汀(31—2)2+(31)2+")2]=当％-2]=9xl°x"-25=470

*=1222故选A

，/，〃%.2mt、

ftan=n(cos"----sin"——)《

41数列道工的通项33,其前n项和为'.

⑴求％

⑵"〃-4"’求数列｛2｝的前n项和

n7C.n7T2n兀

2cos----2sirT——=cos----

解：⑴由于333,故

S3k=(q+。2+%)+(%+%+4)+…+(须-2+明+须)

=(Jj+32)+J；5\6WT(_*2)：(3f+(弘为

1331侬-5k(9k+4)

=------1--------,•+-

22"T2

__一打4一%)

03k-\—03kU3k.2

。。k(4-9k)(3Z—1y1,3k-21

S3b2=$31—«3A-1=--------------------+—；——一k=--------------

n1

〃=3女—2

~3~6"

(〃+1)(1-3〃)

s,='n=3k—\

6

“(3〃+4)

n=3k

故6(kwN*)

h=S3n.9〃+4

⑵"n-4"2-4"

9n+4

+•••+-］-，---------

4"

I_229M+4.

4T=-[r1i3+—+…+----],

W2L44"一」

两式相减得

9_9_

々I999/1+4144〃9〃+4_)o19n

n244“-4〃2°14〃J22W-3221

1—

4

二813〃

故”一§一-尹,

分组求和

［已知数列｛“"｝的首项罚=3,通项X"=2"P+"4（〃eN*,p,q为常数），且和无4出成等

差数列，求：（I）'"的值；（H）数列任"｝的前〃项的和S”的公式。

拆项法求和

已知函数/(x)="'(。＞°月.401)的图象恒过定点(h,k),数列｛“"｝(%＞0)的首

项为k,且前n项和鼠满足S,-S,T=后+邓二(«＞2),

(1)求数列缶"｝的通项公式；

,1I1)1000

(2)数列的前n项和为T",问满足“2009的最小正整数n是多少？

2

已知数列是各项均不为0的等差数列，2,为其前八项和，且满足屋=$2,一

bn=—L_

"一二同，数列他｝的前n项和为九

(1)求数列｛“"｝的通项公式及数列｛"J的前n项和为T"；

(2)是否存在正整数(1＜加＜"),使得几北看成等比数列？若存在，求出所有的〃?，〃

的值；若不存在，请说明理由.

a：=$2,一==(2〃一

解：(1)因为S,是等差数列,(…,严T)

由2

又因为区产°,所以""=2"L……2分

,111,11、

b=-----=-------------=—(------------)

由"anan+x(2//-l)(2/i+1)22〃—12〃+1

T„-----)=-----

所以2〃+12«+16分

mn

T=-----所以刀;^工小五币工二五工！,

⑵由⑴知，"2〃+1,

若「北工成等比数列,则2m+l32n+\,即4〃J+4〃?+l6〃+3....8分

m2_n3_-2tn2+4m+1

-2

解法一：由4〃?2+4/??+16〃+3,可得〃m

2

所以—2m+4m+1>0,12分

.76V6

1-----V/%<1d----

从而：22,又〃zeN,且加>1,所以〃z=2,此时〃=12.

故可知：当且仅当加=2,〃=12使数列仁｝中的几北，成等比数列。……16分

n11

-----=-----<-9

6n+3r,36"/

解法二：因为n,故4/7T+4加+16,即2〃暝一4加一1<0,……12分

1-'-<7〃<1+'-r-1q=2,a,=1——（"=2,3,4,…）

从而：22,（以下同上）.数列/工满足：*

3

已知二次函数y=/（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x—2,数列｛4｝的前n

项和为S",点（小S"）（〃e"*）均在函数y=/（x）的图像上。（I）求数列也，｝的通项公式；

b=——-——/<—

（11）设n,7；是数列｛"｝的前n项和，求使得”20对所有AT都成立的最小

正整数m；

错位相减法

1

已知｛an｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55,a2+a7=16.

（I）求数列｛an｝的通项公式：

4+久+2+%（〃为正整数）

（H）若数列｛an｝和数列｛bn｝满足等式：an==222232"，求数列

｛bn｝的前n项和Sn

解（I）解：设等差数列｛""｝的公差为d,则依题设d>0

由22+@7=16.得2%+74=16①

由%=55,得(q+2d)(q+5d)=55

②

由①得叫T6—7d将其代入②得(16—3d)(16+3d)=220。即256—9/=220

/.d2=4,又d>0,.*.d=2,代入①得力二1

an=1+(n—1)-2=2/?—1

c“=瑞，则有=cl+c2+...+cn,an+l=c,+c2+...+cn_,

(2)令2

%+1一%=c,,+i，由⑴得q=l,«„+l-a„=2

.•.c“+|=2,q,=2(〃22),即当“22时，2=2向又当n=l时,仄=2%=2

2,("=1)

2"+1(n>2)

两式相减得一3一勺

?4,,+l

于gS“=b、+b-,+by...+bn=2+2+2+...+2

“y―、)/|=丁+2

2

等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知对任意的neN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r

(b>0且b*1,b,r均为常数)的图象上.

(1)求「的值；

(lI)当b=2时，记bn="A,geN*),求数列｛bn｝的前n项和Tn.

解：(I)由题意,Sn=bn+r,

当n22时,Sn-l=bn-l+r,

所以an=Sn-Sn-l=bn-l(b-1).

由于b>0且b/l,

所以n22时，｛an｝是以b为公比的等比数列，

又al=b+r,a2=b(b-1),

上，即能u,

解得r=-l.

(II)由⑴知,痂*的=(小)尸=2“T

所以bn4x2"।

23

2^=7+F+"

12111M+1

两式相减得:/行+铲―…+西一产

3〃+3

31n+1

42n+,2“+2

T=31〃+l

故"-一尸

3n+3

H尹.

3

,,,1,n+\

siq=i，“,川=（i+—）“"+▼

在数列Va"‘中，"2

(D设”〃，求数列｛"｝的通项公式

(II)求数列缶"｝的前"项和S"

也=%+L)-b=—

分析：⑴由已知有"+1〃2"，，+'"2"

利用累差迭加即可求出数列｛"｝的通项公式：'22"T(〃GN*)

an=2n———

(II)由(I)知2”,

"小〃"Lr

e£3一条)=£加工白

=k=]乙k=\k=l乙

£(2k)=〃(〃+l)Z-TT

而i，又i2是一个典型的错位相减法模型，

寸k〃+2n+2

易得右而一一二.•』="(〃+1)+产—

评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前

n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和••线

教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意

识降低难度和求变的良苦用心。

错位相减法

1

已知｛an｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55,a2+a7=16.

(I)求数列｛an｝的通项公式：

力+包_+9_+%("为正整数)

(II)若数列｛an｝和数列｛bn｝满足等式：an==22223"2"'，求数列

｛bn)的前n项和Sn

解(1)解：设等差数列｛""｝的公差为d,则依题设d>0

由22+@7=16.得2%+7"=16①

由%4=55,得(q+2d)(q+54)=55②

由①得2%=16-7d将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220。即256-9/=220

d~—4,又d>0,/.d=2,代入①得a1=1

=1+(〃—1),2=2/z—1

b

C”，则有%=。+，2+…+C"，4+I=C[+C2+...+Cn_x

(2)令2

aa

n+t-n=c“+i，由⑴得q=1,an+l-a„=2

.•.c,7=2,c“=2(篦22),即当时,-=2=又当n=l时,伍=2q=2

,f2,(«=l)

bn=<,

两式相减得(〃？2)

于是S“=仇+8+&…+0〃=2+2*+2,+...+2"+'

234,2(2"'_1)_4=2-_6,即S"=2'"2―6

=2+2?+23+24+...+2*4=2-1

2

等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知对任意的neN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r

(b>0且b工1,b,r均为常数)的图象上.

(I)求r的值；

〃+1

(H)当b=2时，记bn=("£N*),求数列｛bn｝的前n项和Tn.

解：(I)由题意,Sn=bn+r,

当n22时，Sn-l=bn-l+r,

所以an=Sn-SnT=bnT(bT).

由于b>0且b#l,

所以n22时，｛an｝是以b为公比的等比数列，

又al=b+r,a2=b(b-1),

且=。,即幺曰=8

b、b+r

解得r=-l.

（11）由（由知，间*的=（1）人=21

〃+1〃+1

所以bn4x2"T=尸.

〃+1

+…+2向

『2二n〃+1

T+H-----1-----r+

2"-^Y2n+1

12111n+\

两式相减得二彳,二级+3+>+…+西—广

3〃+3

二57r.

3__1__n+\

/一尸一^77，

_31n+1

故”-5一?7-尸

3n+3

H尹.

数列与不等式

1设数列｛4｝的前n项积为El=1一可；数列也｝的前n项和为S"S"=

_J_

设"T"。①证明数列｛%｝成等差数列；②求证数列｛“4的通项公式；

若。（曲对ne"十恒成立，求实数k的取值范围

2

设各项均为正数的数列〃"｝的前n项和为S",已知2a2=6+%,数列｛后｝是公差为d的

等差数列.

①求数列I」的通项公式（用〃，”表示）

②设c为实数，对满足"?+〃=3%且〃?丰n的任意正整数〃?，〃，女,不等式S“，+S,,>cSk都成

9

立。求证：。的最大值为5

3

rI5„=-a„-(-)H-'+2

已知数列(♦的前n项和2(n为正整数)。

(I)令2=2"%,求证数列也，，｝是等差数列，并求数列｛《J的通项公式；

_〃+15n

(H)令C"na",T„=ci+c2+•+%试比较1与2〃+1的大小，并予以证明。

S“=_/_(1尸+25--a-1+2-fla'=^

解析：(I)在2中，令"1,可得'一a"即2

•••2%=%1+§产,即2Z,=2"T*+1

••・",=2"an,hn=A,-+1,即当n22时，bn-=1

又伍=2q=1,.•.数列｛2｝是首项和公差均为1的等差数列.

于是2.

C”=四4=("+1)(：)”

(H)由(I)得〃2,所以

7；=2x；+3x+4x+K+(〃+1)(；)"

1T；,=2X(1)2+3X(1)3+4X(1)4+K+(/7+l)(1)n+)

+K+(；)"-(〃+1)(；严

由①©得1"少+9

小0严)一二

11八2，22,,+1

1-----

2

TC〃+3

/.T=3-----

n〃2”

15〃一3〃+35〃_("+3)(2"-2〃-1)

〃―2〃+1_一"T2一+1-2"(2〃+1)

于是确定“2〃+1的大小关系等价于比较2“与2”+1的大小

山2<2x1+12<2x2+12<2义3+1;24<2x4+12<2x5;K

可猜想当,23时,2"〉2〃+1.证明如下：

证法1：(1)当年3时-，由上验算显示成立。

⑵假设〃=左+1时21=2鲸>2(25+1)=41+2=2/+1)+1+(2女-1)>2/+1)+1

所以当〃=%+1时猜想也成立

综合(1)(2)可知，对一切〃23的正整数，都有2">2〃+1.

证法2：当”23时.

2"=(1+1)"=+C：+C：+K+C丁+C；；>C：+C；+C"-'+C,：=2〃+2>2〃+1

5n5n

综上所述,当〃二1，2时〃<2〃+1,当"23时2n+l

4

.已知｛6J是整数组成的数列，％=1,月一点(向N)在函数>=9+i的图像上

(1)求数列的通项公式;(2)若数列步"｝满足『=1”"+|=.+2”“，求证:

0,也,+2<%;

简单的多变量处理

1设等差数列｛an｝的首项al及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(I)若all=O,S14=98,求数列｛an｝的通项公式;

(II)若al26,all>0,S14W77,求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

2

已知数列｛""｝是各项均不为0的等差数列，S”为其前〃项和，且满足a；=S2"T

bn=------,,

“","川，数列的前n项和为

(1)求数列｛"J的通项公式及数列｛""｝的前n项和为T”；

(2)是否存在正整数加，"°(加<"),使得*成等比数列？若存在，求出所有的根，"

的值；若不存在，请说明理由.