复变函数与积分变换全套课件

复变函数工程数学（第四版）第一章复数与复变函数§1复数及其代数运算§2复数的几何表示§3复数的乘幂与方根§4区域§5复变函数§6复变函数的极限与连续性§1复数及其代数运算1.复数的概念2.复数的代数运算1.复数的概念定义：在实数范围,方程是无解的.因此引进一个新数i,称为虚数单位,规定为复数,x,y分别称为z的实部和虚部,记作两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数z=0,指实部和虚部都是0.且复数不能比较大小.对于任意二实数x,y,称或当时,称为纯虚数。2.复数的代数运算当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致。复数的加,法和乘法定义为称上面二式右端为z1,z2的和,差与积。称满足的复数为z1除以z2的商,记作与实数一样，复数运算也满足交换律,结合律和分配律:因此共轭复数把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个共轭复数有如下性质：如果，那么。复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作。[解]例1

设，求与所以[解]例2

设，求与所以10[解]例求满足下列条件的复数z:(1)设则由得故(2)则[证]例3

设,为两个任意复数，或证明§2复数的几何表示1.复平面2.复球面1.复平面所以复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或z

平面.这样,复数与复平面上的点成一一对应,从而使我们能借助几何语言和方法研究复变函数从而复数可以用该平面上的坐标为的点来表示，这是复数的一个常用表示方法。由一对有序实数唯一确定,一个复数问题。OxyxyqPz=x+iy|z|=r在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy

的平面长度称为z的模或绝对值,记作向量一一对应,因此复数z也能用向量来表示。向量的显然,还有下列各式成立在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边这时,有称为z的辐角,记作的角的弧度数一个,则为任意整数)给出了z的全部幅角,在的幅角中,满足的称为Arg

z的主值,记作幅角不确定。时，arg

z当其中当时,,可由右边关系确定：是其中的有无穷多个幅角,如果任何一个复数由复数运算法则,两个复数Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加减法一致。如图(三角不等式),Oxy原点上,还有。一对共轭复数在复平面内和，如果z不在负实轴和Oxy的位置是关于实数轴对称的,因而

z1和z2的加减法和相应的向量的利用直角坐标与极坐标的关系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以将z表示成三角表示式：得指数表示式：

利用欧拉公式[解]例1

将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,。又z在第三象限，则因此，z的三角表示式为z的指数表示式为2)

显然,,又故z的三角表示式为z的指数表示式为19[解]例将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,所以，20[解]例将下列复数化为三角表示式与指数表示式。2)显然,所以，当时，有[证]例2

设又为两个任意复数，证明：所以两边开方，应得到所要证明的三角不等式。[解]例3因此，复数形式的参数方程为将通过两点由此得知由取形式的方程来表示。的直线用复数已知通过点的直线可用参数方程表示为的直线段的参数方程可以写成到，得知线段的中点为23[解]例将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,所以，24[解]例将下列复数化为三角表示式与指数表示式。2)显然,所以，当时，有[解]例4设求下列方程所表示的曲线：或1)

从几何上看，方程表示所有与点－i距离为2，方程可变为也就是的点的轨迹，即中心为－i，半径为2的圆。也可用代数方法求出该圆的直角坐标方程。所以，那么轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它的2)

从几何上看，方程表示到两点距离相等的点的方程为。也可以用代数的方法求得。3)

设从而立即可得所求曲线方程为，这是一条平行于x轴的直线。27[解]例求下列方程所表示的曲线：点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它1)

从几何上看，方程表示到两点距离相等的的方程为。也可以用代数的方法求得。的点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，2)

从几何上看，方程表示到两点距离之和为定值它的方程为。也可以用代数的方法求得。28[解]例求下列方程所表示的曲线：3)

从几何上看，方程表示z到1的距离与z到的点集是实轴上的闭区间[－1,1]。－1的距离之和为2，而－1到1的距离也为2。因此z只能在线段[－1,1]上，即满足条件另一点N。称N为北极，S为南极。NSOxyPz2.复球面除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点的球面,球面上的一点S与原点重合。通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作。这样的球面称作复球面。于复数来说，实部、虚部与辐角的概念均无意义，但包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为有限平面，或称复平面。对其模规定为正穷大，即。对于其它复数z都有关于的四则运算作如下规定：除法：但可为)加法：至于其它运算，不规定其意义。乘法：减法：§3复数的乘幂与方根1.乘积与商2.幂与根设有两个复数１.乘积与商于是那么

定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。从而有用指数形式表示复数:q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋转一个角度，如图所示相当于将z1的模扩大|z2|倍则则定理可以表示为：由定理进一步可证，如果当用向量表示复数时，

定理二两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差。按照商的定义,当时,有由乘积公式有于是由此得如果用指数形式表示复数：定理二可简明地表示为：。根据复数乘法，有[解]例1即为所求的顶点已知正三角形的两个顶点为所以求第三个顶点。如图，将旋转类似可得Oxy表示绕或得到另一个向量，它的终点或36。根据复数乘法，有[解]例向量，它的终点即为所求的顶点已知等腰直角三角形的两个底角的点分别为所以，求顶点。如图，将旋转类似可得Oxy表示绕或，长度再缩短或得到另一个2.幂与根则对任意正整数n,有

n个相同复数z的乘积称为z的n次幂，记作，即若定义，那么当n为负整数时上式也成立。时，则有棣莫弗(DeMoivre)公式特别地，当下面用棣莫弗公式求方程的根，其中z为已知复数。如n为正整数,则一个复数的n次根不止有一个,而是方根设z为己知,方程的根称为z的n次根，都记为，即有n个,下面就来求出这个根先不妨令由棣莫弗公式有于是则上式成立，必有由此，可得其中，是算术平方根，所以时，得到n个相异的根：当当k为其他整数值代入时，这些根又会重复出现。在几何上,不难看出：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例如k=n时，[解]例2求因为即所以这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的四个顶点，且有42[解]例求因为即所以这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的四个顶点，且有43[解]例求方程因为即所以的所有根。§4区域1.区域的概念2.单连通域与多连通域1.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆：dz0内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式所确定的点集为z0的去心邻域。设G为一平面点集,z0为G中任意一点。内点：若存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点开集：如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集。区域：若平面点集D是一个开集，且是连通的，也就是D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，则称D为一个区域。但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,边界点：设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,则点P称为D的边界点。区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。边界：D的所有边界点组成D的边界。C3C2zg1g2C1PxyDO如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的。满足不等式r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域,而且是有界的,区域的边界由两个圆周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域。若在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成。区域D与它的边界一起称为闭区域或闭域,记作。z0r2r1无界区域的例子xyy上半平面：Im

z>0角形域：0<arg

z<xyjxab带形域：a<Im

z<b２.单连通域与多连通域在数学上,常用参数方程表示各种平面曲线。若x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组代表一条平面曲线,称为连续曲线。令则此曲线可用一个方程来代表。这就是平面曲线的复数表示式。且t的每一个值,有这曲线称为光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线。都连续,上和如果区间连续不连续光滑不光滑z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线。设为一条连续曲线,与分别为C的起点与终点。对于满足的t1与t2,当而有时,点称为曲线C的重点。没有定义：定义：内部外部C任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界。单连通域多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域。作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,一条简单闭曲线的内部是单连通域。

单连通域B具有这样的特征：属于B的任何一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的的变形而缩成一点，多连通域则无这个特征。§5复变函数1.复变函数的定义2.映射的概念1.复变函数的定义定义如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的；

定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作否则就是多值的。集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合。的集合,如果有一个确设G是一个复数与之对应,则称复变在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数。由于给定了一个复数实数x和y,而复数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.例如,考察函数令因而函数w=z2

对应于两个二元函数:就相当于给定了两个亦同样地对应着一对实数于两个关系式:，则2.映射的概念定义如用z平面的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换)。这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射。如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象。例如，函数所构成的映射，是一个关于实轴的对称映射，把任一图形映成关于实轴对称的全同图形。再如，函数所构成的映射，可以把z平面上与正实轴交角为的角形域映射成w平面上与正实轴交角为的角形域。如下页图。2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2函数函数假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点。按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射。从反函数的定义可知,对任意的wG*,有当反函数为单值函数时,也有，它称为函数w=f(z)的今后，不再区分函数与映射(变换)。若函数与它的反函数都是单值的，那么称函数是一一的。也称集合G与G*是一一对应的。§6复变函数的极限和连续性１.函数的极限２.函数的连续性1.函数的极限作当zz0时,f(z)A。如图定义：内，如果有一确定的数A存在,对于任意给定的地必有一正数则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域,相应,使得当时有,或记xyOz0dzOuvAef(z)几何意义：z0的充分小的点f(z)就落A的预先给定的邻域中。应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A。当变点z一旦进入邻域时,它的象充分必要条件是则[证]必要性:任给，根据极限的定义有如果,存在,当时，或当这就是说时，因此有定理一

设充分性:如果由极限定义，对于任给，总存在，使当时，而则当时，有即定理二定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元，则实变函数的极限问题。由定理一，下面的极限有理运算法则对于复变函数也成立。如果[证]例证明函数令由此得，则当时的极限不存在。。让z沿直线y=kx趋于零时有显然，它随k的不同而不同，所以不存在。虽然，但根据定理一，不存在。此题也可用另一种方法证明。令则2.函数的连续性如果f(z)在区域D内处处连续,就说f(z)在D内连续。定义如果定理三函数连续的充要条件是则说f(z)在z0处连续。在处处连续。和在例如，函数在复平面内除原点外处处连续，因为除原点外是处处连续的，而是处处连续的。由定理二和定理三，还可以推得接下来的定理四。其中P(z)和Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的。由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)对复平面内所有的z都是连续的,而有理分式函数2)若函数h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续,则复合函数w=f[g(z)]在z0处连续。定理四1)在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续；在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)，在曲线上是有界的。即存在一正数M，在曲线上还应指出，所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指恒有67[解]例求极限68[解]因为例求极限所以有故有复变函数工程数学（第四版）第二章解析函数§1解析函数的概念§2函数解析的充要条件§3初等函数§1解析函数的概念1.复变函数的导数与微分2.解析函数的概念1.复变函数的导数与微分存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0i)导数的定义定义设函数w=f(z)定义于区域D,z0为D中一点,点的导数,

记作不出D的范围。如果极限也就是说,对于任给的时,有,存在,使得当应当注意,定义中任意的,定义中极限值存在的要求与无关,也就是说,当都趋于同一个数。若f(z)在D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导。(即)的方式是的方式在区域D内以任何方式趋于z0时,比值所以例1

求f(z)=z2的导数。[解]因为例2

问f(z)=x+2yi是否可导？[解]设沿着平行于x轴的直线趋向于z，因而这时极限设沿着平行于x轴的直线趋向于z，因而这时极限所以f(z)=x+2yi的导数不存在。设沿着平行于y轴的直线趋向于z，因而这时极限ii)可导与连续容易证明,在z0点可导的函数必定在z0点连续。事实上,由在z0点可导的定义，对于任给的相应地有一个令则,,使得当时,有由此得所以即在连续。iii)求导法则与实函数相同,复变函数也有类似的求导公式与法则，罗列如下：,其中c为复常数。,其中n为正整数。,其中c为复常数。,其中n为正整数。。。。。，其中，其中w=f(z)与是两个互为反函数的单值函数，且。iv)微分的概念小量,而设函数w=f(z)在z0可导,则有其中因此,如果函数在z0的微分存在,则称函数f(z)在z0可微。是的高阶无穷的线性部是函数w=f(z)的改变量分,称为函数w=f(z)在点z0的微分,记作即由此可见,函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的。特别,当f(z)=z时,得。于是上式可变为若f(z)在区域D内处处可微,则称f(z)在D内可微。2.解析函数的概念定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,则称如果f(z)在z0不解析,则称z0为f(z)的奇点f(z)在z0解析,若f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在D内解析,或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价。即,函数在一点处可导,不一定在该点处解析。函数在一正则函数)点处解析比在该点处可导的要求要高得多。例3

研究函数[解]和的解析性。由解析函数的定义与前面的例题可知，在复平面内是解析的，而却是处处不解析的。下面研究的解析性。由于如果，那么当时，上式的极限是零。如果，令沿直线趋于，由于k的任意性，不趋于一个确定的值。所以当的极限不存在。时，因此，仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，由定义，它在复平面内处处不解析。例4

研究函数[解]的解析性。因为w在复平面内除点z=0外处处可导，且所以在除z=0外的复平面内，函数处处解析，而z=0是它的奇点。所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析。2)设h=g(z)在z平面上的区域D内解析,w=f(h)在h平面上的区域G内解析。如果对D内的每一个点z,g(z)对应值h都属于G,则复合函数w=f[g(z)]在D内有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点。根据求导法则可知：定理

1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的解析。§2函数解析的充要条件在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题。而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的。即,如果原来有一个实变函数f(x)，自变量是实数,函数值也是实数,则将x用一个复数代替，就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数。事实上我们只关心这样的复变函数。比如说实变函数经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数。,则相应的延拓的复变函数就是件。设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv

(x,y)定义在区域D内,且在D内一点z=x+iy可导。，有判断一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义，往往比较困难。因此，需要寻找判断函数解析的简便方法。先考察函数在一点可导(或可微)应当满足什么条其中则对于充分小的令。由上式得从而有由于，所以。因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，而且满足方程这就是函数f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z=x+iy可导的必要条件。而且满足方程方程称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。实际上，这个条件也是充分的。且也有下面的定理：定理一设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内,而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。[证]条件的必要性上面已经证明,下面证充分性。[充分性]由于这里[充分性]由于又因为u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，可知因此根据柯西-黎曼方程所以或最后两项都趋于零。因此这就是说,函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处可导因为，故当趋于零时，上式右端的根据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得由定理一可得函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处的导数公式：到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。定理二函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程。这两个定理是本章的主要定理。不但提供了判断函数f(z)在某点是否可导，在区域内是否解析的常用办法，而且给出了一个简洁的求导公式。是否满足柯西-黎曼方程是定理中的主要条件。如果f(z)在区域D内不满足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D内不解析；如果在D内满足柯西-黎曼方程,且u和v具有一阶连续偏导数,那么,f(z)在D内解析。对于f(z)在一点z=x+iy的可导性，也有类似的结论。例1

判断下列函数在何处可导,在何处解析：[解]不可导,处处不解析。1)

因为可知柯西-黎曼方程不满足,所以在复平面内处处2)

因为柯西-黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有从而[解]例1

判断下列函数在何处可导,在何处解析：3)

由容易看出，这四个偏导数处处连续，但仅当x=y=0时，,得,所以才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在z=0可导，但在复平面内任何地方都不解析。[解]例1

判断下列函数在何处可导,在何处解析：1011)

因为时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线从而仅当[解]例判断下列函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。1022)

因为时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线从而仅当[解]例判断下列函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。例2

设函数问常数a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?[解]由于从而要使只需因此,当内处处解析,这时时,此函数在复平面104例设函数问常数a,b,c

取何值时,

f(z)在复平面内处处解析?[解]先求从而要使只需，因此,所以，有105例设解析函数的实部[解]由于又函数解析，则有即对求v关于y的偏导数，得积分得，那么求f(z)。则即所以有例3

如果所以u=常数,v=常数,因而f(z)在D内是常数。[证]因为在区域D处处为零,则f(z)在D内为故一常数。例4

如果f(z)=u+iv为一解析函数，且f'(z)0，则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2为[证]由于如果在曲线交点处uy与vy都不为零，由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为利用柯西-黎曼方程得和故uy与vy不全为零。常数。108例4

如果f(z)=u+iv为一解析函数，且f'(z)0，则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2为因此，二曲线族互相正交。如果uy与vy其中有一个为零，则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交。常数。[证]利用柯西-黎曼方程得§3初等函数１.指数函数２.对数函数３.乘幂与幂函数４.三角函数与双曲函数５.反三角函数与反双曲函数1.指数函数内也能定义一个函数f(z)具有ex的三个性质:i)

f(z)在复平面内解析;前面的例题中已经知道,函数是一个在复平面处处解析的函数,且有时,f(z)=ex。f(z)称为指数函数。记作实函数中的指数函数是很特殊的,希望能够在复平面ii)

f'(z)=f(z);iii)

当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)。,当y=0等价于关系式：为整数)由上式可知事实上,设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有跟ex一样,expz也服从加法定理：鉴于expz满足条件iii)，且加法定理也成立，为了方便，往往用ez代替expz。但必须注意，这里的ez

没有幂的意义，仅仅作为代替expz的符号使用，因此就有由加法定理,可以推出expz的周期性。,即特别,当x=0时,有其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。它的周期是2.对数函数所以和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。将满足方程的函数w=f(z)称为对数函数。令,则由于Arg

z为多值函数，所以对数函数w=f(z)为多因此值函数，并且每两个值相差的整数倍,记作如果规定上式中的Arg

z取主值arg

z，则Ln

z为一单值函数，记作ln

z,称为Ln

z的主值,因此有表达。对于每一个固定的k，上式为一单值函数,称为Ln

z的一个分支。而其余各值可由特别,当z=x>0时,Ln

z的主值ln

z=ln

x,就是实变数对数函数。例1

求Ln2,Ln(-1)以及它们相应的主值。[解]因为,所以它的主值就是ln2。而(k为整数),所以它的主值是。不再成立。而且正实数的对数也是无穷多值的。在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内利用幅角的性质不难证明，复变数对函数函数保持了实变数对数函数的基本性质：116例求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它们相应的主值。[解]因为所以它的主值就是而(k为整数),所以它的主值是,但应注意，与第一章中关于乘积和商的辐角等式体是相同的，还应注意的是，等式：不再成立，其中n为大于1的正整数。一样，这些等式也应理解为两端可能取的函数值的全对数函数的解析性就主值ln

z而言,其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的，而arg

z在原点与负实轴上都不连续。所以除去原点与负实轴，在复平面内其他点，lnz处处因为若设z=x+iy,则当z<0时,连续。在区域数w=lnz是单值的。由反函数的求导法则可知：综上所述，内的反函所以,lnz在除去原点及负实轴的平面内解析。而且有，Lnz

的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的导数值.今后应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支。3.乘幂ab与幂函数可表示为ab=eblna,现在将它推广到复数的情形。设a为不等于0的一个复数,b为任意一个复数,定义乘幂多值的。当b为整数时,由于在高等数学中,如果a为正数,b为实数,则乘幂ab由于是多值的,因而ab也是ab为ebLna,即所以这时ab具有单一的值。当b=p/q

(p和q为互质的整数,q>0)时,由于ab具有q个值,即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值。除此而外,一般而论ab具有无穷多个值。例2

求和的值。[解]由此可见,是正实数，它的主值是123例求和的值。[解]124例求和的值。[解]时是与a的n次幂及a的n次根的定义是完全一致的。应当指出，定义，当b为正整数n及分数i)当b为正整数n时，根据定义(指数n项)(因子n个)(因子n个)ii)

当b为分数时，有因为ii)当b为分数时，有其中所以，如果a=z为一复变数，就得到一般的幂函数，当b=n与时，就分别得到通常的幂函数及zn

在复平面内是单值解析函数,且(zn)'=nzn-1.对数函数Ln

z的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,因而各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且有幂函数是一个多值函数，具有n个分支，又值函数，当b为无理数或复数时，是无穷多值的。同样的道理，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面幂函数(除去b=n与两种情况外)也是一个多内也是解析的，并且有4.三角函数和双曲函数现将其推广到自变数取复值的情形,定义当z为实数时,显然这与上式完全一致。由欧拉公式有将这两式相加与相减,分别得到为周期的周期函数,因此cos

z和sinz以由于ez是以也容易推出cos

z是偶函数,sinz是奇函数：又由指数函数的导数公式可以求得从公式还易知普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立。为周期,即由定义和指数函数的加法定理，可知三角函数许多仍然成立由此得但当z为纯虚数iy时,有但当z为纯虚数iy时,有所以这两个公式对于计算cos

z与sinz的值有用。当y时，|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大，因此，|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。其它复变数三角函数的定义如下：分别称为双曲余弦,正弦和正切函数。与三角函数密切相关的是双曲函数,定义sh

z为奇函数，它们都是复平面内的解析函数，导数不难证明ch

z和sh

z都是以为周期的函数，chz为偶函数,及分别为：134例解方程：[解1]即或即所以135例解方程：[解2]即则所以即5.反三角函数与反双曲函数则称w为z的反余弦函数,记作反三角函数定义为三角函数的反函数,设由得二次方程数。两端取对数得它的根为其中应理解为双值函显然Arccosz是一个多值函数，它的多值性正是cos

w的偶性和周期性的反映。用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,并且重复上述步骤,可以得到它们的表达式：反双曲函数定义为双曲函数的反函数。用与推导它们都是多值函数。反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式：反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切复变函数工程数学（第四版）第三章复变函数的积分§1复变函数积分的概念§2柯西－古萨基本定理§3基本定理的推广———复合闭路定理§4原函数与不定积分§5柯西积分公式§6解析函数的高阶导数§7解析函数与调和函数的关系§1复变函数积分的概念1.积分的定义2.积分存在的条件及其计算法3.积分的性质1.积分的定义如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，则将C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。设曲线C的两个端点为A与B，如果将A到B的方向作为C的正方向，则从B到A的方向就是C的负方向，。常将两个端点中一个作为起点，另一个作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。并记作而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方。相反的方向就是曲线的负方向。定义终点为B的一条光滑有向设w=f(z)定义在区域D内，C是D内起点为AAz1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO曲线。C任意分成n个弧段，设分点为Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每个弧段zk-1zk(k=1,2,...,n)上任意取一点k，并作和式的长度，,,记当n无限增加且趋于零，如有唯一极限，则称其为f(z)沿曲线C的积分，记作容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义。如果C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作2.积分存在的条件及计算法给出,正方向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续，则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数。设zk=xk+ihk，设光滑曲线C由参数方程A及终点B,并且

。由于所以，有下面的式子：由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对不论对C的分法如何，点(xk,hk

)的取法如何，上式右端的两个和式的极限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是与所以是比较容易记住的。相乘后求积分得到：而且上式说明了两个问题：i)当f(z)是连续函数而C是光滑曲线时，积分是一定存在的。可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。根据线积分的计算方法，有上式右端可以写成所以今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续的，曲线C是按段光滑的。如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则定义[解]直线的方程可写作,其中C为原点到点3+4i的直线段。例1

计算或在C上,。于是又因容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，都等于[解]直线的方程可写作计算积分例分别沿y=x与在C上,。于是抛物线的方程可写作在C上,。于是z0rqz-z0=reiqzOxy的正向圆周,n为整数。例2

计算,其中C为以z0为中心,r为半径当n=0时，结果为当时，结果为所以[解]C的方程可写作这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关，应当记住。所以这是因为z1z0=1+iOxyＣ2Ｃ1Ｃ31)

沿原点到点例3

计算的值，其中C为所接成的折线。[解]的直线段2)

沿从原点到点的直线段段，与从到的直线3.积分的性质则(k为常数)设曲线C长度为L，f(z)在C上满足,复函数的积分也有下列一些简单性质，与实变函数中定积分的性质类似的：线因此便得不等式的第一部分，又因两端取极限，得两点之间的弧段的长度，所以事实上，是与两点之间的距离，为这这里表示连续函数(非负的)沿C的曲所以这是不等式的第二部分。绝对值的一个上界。例4设C为从顶点到点3+4i的直线段，试求积分[解]C的方程为。由估值不等式得从而有而，所以在C上，§2柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关。究竟关系如何，不妨先在加强条件下做些初步探讨。假设f(z)=u+iv在单连通域B内处处解析，且连续的，且满足柯西-黎曼方程从上节的几个例题中思考，积分的值与路线无关,在B内连续。由于所以u和v以及它们的偏导数在B内都是则有其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与柯西-黎曼方程(路线C取正向)得其中D是C所围的区域,所以上式的左端为零。闭曲线的积分为零。实际上，是不必要的。因此有下面一条在解析函数理论中最基本的定理。因此在上面的假设下，函数f(z)沿B内任何一条在B内连续的假设柯西-古萨基本定理CB内处处解析,则在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:如果函数f(z)在单连通域B定理中曲线C可以不是简单曲线。这个定理又称柯西积分定理。CB柯西-古萨基本定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B。如果曲线C是B的边界,函数f(z)在B内与解析，甚至f(z)在B内解析,在闭区域B+C上连续,则f(z)在边界上C上解析，即在闭区域B+C上的积分仍然有[解]由积分运算的性质可知的正向例计算积分其中利用柯西－古萨基本定理因此有

§3基本定理的推广———复合闭路定理在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。设函数f(z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分设C及C1为D内任方向)简单闭曲线,C1就不一定为零。意两条(正向为逆时针在C内部,且以C及C1为边界的区域D1全含于D。DCC1AA'BB'D1FEE'F'其中A,B在C上,A'B'D内的简单闭曲线。如右图，及在C1上构成两条全在作两条不相交的弧线,分析，得知将上面两等式相加,得DCC1AA'BB'D1FEE'F'DCC1AA'BB'D1FEE'F'将上面两式相加,得即或上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数闭路变形原理。看成一条复合闭路G,其正向为:上式说明如果将C及顺时针,则沿C逆时针,沿D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点一重要事实，称为

f(z)不解析的点。这闭曲线,C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,...,Cn为边界的区域全含于D。如果f(z)在D内解析,则设C为多连通域D内的一条简单定理(复合闭路定理)均取正方向；，其中C与为由C及Ck(k=1,2,...,n)DCC1C2C3所组成的复合闭路(C按顺时针,Ck按逆时针)。例如从本章§1的例2知:当C为以z0为中心的正向所以，根据闭路变形原理，对于包含z0的任何一条正向简单曲线都有：圆周时,[解]函数的任何正向简单闭曲线。是处处解析的。线,因此,它也包含这两个奇点。在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只例计算的值,为包含圆周|z|=1在内在复平面内除z=0和z=1两个奇点外由于是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲xyO1GC1C2包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。则根据复合闭路定理可得从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。xyO1GC1C2[解]函数的正向。外是处处解析的。C内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例计算在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点z=0，C2只包含奇点z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点z=-i。则根据复合闭路定理可得xyOiCC1C2C3-i[解]函数的正向。外是处处解析的。C内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例计算在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点z=0，C2只包含奇点z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点z=-i。则根据复合闭路定理可得xyOiCC1C2C3-i§4原函数与不定积分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分与连接起点及终点的路线C无关。由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关,如图所示,有z1z2BC1C2z1z2C1C2B固定z0，让z1在B内变动，令z1=z，则积分在B内确定了一个单值函数对这个函数我们有下面的定理。[证]从导数的定义出发来证。设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K,取定理二如果f(z)在单连通域B内处处解析,则函数F(z)必为B内的一个解析函数,并且在K内。于是可得充分小使z+DzzKzz0z+DzzKzz0,存在,当即时,总有又任给又因从而有因此根据积分的估值性质有这就是说即这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一个常数。设G(z)和H(z)是

f(z)的何任两个原函数,则定义如果函数在区域D内的导数等于f(z),,则称为f(z)在区域B内的原函数。定理二表明是f(z)的一个原函数。所以c为任意常数。因此,如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z),即则，它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式F(z)+c，c为任意常数。可推得跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数积分计跟在微积分学中一样，定义：f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数)为f(z)的不定积分,利用任意两个原函数之差为一常数这一性质，记作算公式。[证]因为也是f(z)的原函数,所以或当z=z0时,根据柯西-古萨基本定理,，因此有f(z)的的一个原函数,则如果f(z)在单连通域B内处处解析,G(z)为这里z0,z1为域B内的两点。定理三[解]原函数为zsin

z+cos

z。所以例1

求积分的值函数zcos

z在全平面内解析,容易求得它有一个有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。在所设区域内解析。它的一个原函例2

试沿区域数为，所以内的圆弧|z|=1,计算的值。积分[解]函数[解]例求下列积分的值:或[解]例1

求下列积分的值:[解]例1

求下列积分的值:§5柯西积分公式都是相同的。现在来求这个积分的值。设B为一单连通域，为B中一点。若f(z)在B内解形原理，这积分的值沿任何一条围绕的简单闭曲线析，则函数在不解析。所以在B内围绕的一条闭曲线C的积分一般不为零。又根据闭路变则取以z0为中心，半径为δ的很小的圆周既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同。(取其正向)作为积分曲线C。由于f(z)的连续性，在C上的函数f(z)的值将随着的值也将随着d的缩小而接近于其实两者是相等的,即因此有下面的定理。δ的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值,从而可以猜想析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，则如果f(z)在区域D内处处解定理(柯西积分公式)DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的内部,时,,存在,当[证]由于f(z)在z0连续,任给设以z0为中心,R为半径的圆且。那么有对上式右边第二个式子整理可得这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要R足够小就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零才有可能,因此,上式即为要证的式子。上式称为柯西积分公式。如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内及C上解析，那么公式仍然成立。即即,解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。如果C是圆周,则定理可变为[解]由公式有例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]由公式有例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(1)在内有奇点，故[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(2)在内有奇点，故[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(3)由复合闭路定理，有§6解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可用函数在边界上的值用积分来表示。这一点和实变函数完全不同。一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区间上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了。其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即正向简单曲线,而且它的内部全含于D。关于解析函数的高阶导数有下面的定理。定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：先按定义有因此就是要证在时也趋向于零。从而有令则时I0,而现要证当又因为f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上|f(z)|M。d为z0到C上各点，则,小使其满足所以Dz0dC适当地的最短距离,则取再利用同样的方法去求极限：便可得L是C的长度。时,I0,也就证这就证得了当这也就证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数。得了依此类推,用数学归纳法可以证明：此公式可以这样记忆：把柯西积分公式的两边对z0求n阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把被积函数看作是z0的函数,而把z看作常数。在于通过求导来求积分。高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导,而[解]1)

函数在C内的z=1处不解析,但在C内却是处处解析的。有例1

求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1。[解]OC1C2Ci-ixy2)

函数在C内的C内以i和闭路定理,－i为中心作两个正向圆周。则此函数在由C，和所围成的区域内是解析的。根据复合处不解析。在由定理有同样可得因此[解]1)

函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有例

求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。[解]2)

函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有例求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。[解]3)

函数在C内的z=0处不解析,但在C内却是处处解析的。有例求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(1)在内有奇点，故[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(2)在内有奇点，故[解]被积函数例计算积分C分别为：有两个奇点：(3)在内有奇点，故例2

设函数f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任[证]在B内取定一点，z为B内任意一点，根据已知然后还可以用证明定理二相同的方法，证明函数的导数仍为解析函数，故f(z)为解析函数。所以F(z)是B内的一个解析函数，再根据上面定理知解析何一条简单闭曲线C都有,证明f(z)在B内条件，知积分的值与连接与z的路线无关，它定义了一个z的单值函数：解析(Morera)。§7

解析函数与调和函数的关系问题：则和的二阶偏导有在区域D内解析,若什么性质？即在内满足拉普拉斯(Laplace)方程：分析：故有同理设在区域内解析，得问题：则和的二阶偏导在区域D内解析,若有什么性质？

这里是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。则称为区域内的调和函数。连续偏导数，且满足拉普拉斯(Laplace)方程即定义如果二元实函数在区域内有二阶定理若在区域内解析，必为(共轭)调和函数。[证]设为D的一个解析函数，那么从而则根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的连续偏导数，所以

因此u与v都是调和函数。同理从而根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的连续偏导数，所以设u(x,y)为区域D内给定的调和函数，把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。换句话话，在D内满足柯西-黎曼方程利用柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数v，从而构成应当指出，如果已知一个调和函数u，那么就可以于解析函数的理论解决函数的问题。在第六章将举例说解析函数和调和函数的上述关系，使我