初中八年级数学课件-14课题学习 最短路径问题“十校联赛”一等奖

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。复习回顾如图，点A是直线

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外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短。

我们研究过“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题.今天我们就利用所学知识，探究数学中著名的将军饮马问题.新课引入问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABl海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？lABCC抽象为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离之和最短？联想：两点之间，线段最短.lACB（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们应该怎样解决左图的问题呢？这样做时还需注意什么问题呢？（3）利用什么知识可以实现AC=A'C呢？分析：lABClABCA'lABCB′如图，作点B关于直线l的对称点B′.在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.

我们怎样验证AC+BC就是最短路径呢？在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．方法总结：问题1归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。M’P

回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？

问题4.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

NA'草地MCABDB'l河流解：

（1）作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；

（2）连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．

【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.

归纳总结本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称解决最短路径问题②感悟和体会转化的思想姓名：吴乐威通讯地址：新疆省乌鲁木齐市新市