初中数学八年级上册 等腰三角形判定定理及其应用 名师获奖

等腰三角形判定定理及其应用中考考点知识整理性质（1）两腰

，两底角

。（2）顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相

。这也叫

。（3）是轴对称图像，有

条对称轴。

判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。考点一等腰三角形的性质及判定1、等腰三角形的性质及判定相等相等重合三线合一12.等边三角形的性质及判定

性质（1）三边相等；（2）各角相等，且都等于

；

（3）是轴对称图形，有

条对称轴

判定（1）三条边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的

是等边三角形603等腰三角形考点二直角三角形的性质及判定

性质(1)两锐角之和等于（

）

（2）斜边上的中线等于斜边的（）

（3）30°角所对的直角边等于斜边的（）（4）若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于（

）（5）两直角边的平方和等于斜边的（）

判定（1）有一个角等于90°的三角形是直角三角形；（2）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。【温馨提醒】直角三角形的面积(a、b是直角边，h是斜边c上的高).90°一半一半30°平方考点三角平分线

(1)定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.(2)定理：角平分线上的点到角两边的距离

.(3)逆定理：到角两边距离

的点在角的平分线上.相等相等考点四垂直平分线⑴性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离

。⑵逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的

上。垂直平分线相等考点五勾股定理及其逆定理

勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是（）

直角三角形【温馨提醒】⑴勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．⑵勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

⑶勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．七年安徽真题体验命题点一等腰、等边三角形以及直角三角形的性质与判定命题解读等腰、等边三角形以及直角三角形的判定与性质一直是作为以三角形为媒介的图形中的重要组成部分，等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同时等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．有时也会结合直角三角形的性质进行考察，难度中等，关键是对其性质与判定掌握熟悉1.（2018·安徽·23•14分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．命题点2勾股定理命题解读

勾股定理是数形结合的典范，在中考考查中出现的频率很高．安徽卷对该定理的考查一般在选择或填空题中，经常以几何问题小综合的形式出现，题目的难度不大，但有一定的灵活性．利用勾股定理解决问题时应注意以下两点（1）直角三角形中的两个“一半”：①直角三角形斜边上中线等于斜边的一边；②直角三角形中，含30°的直角边等于斜边的一半；（2）直角三角形中已知任意两边的长度，确定第三边，注意分类讨论．2（2014安徽8T4分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(

)3.（2015安徽10T4）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是(

)A．10B．C.10或D．10或例1、如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°【方法指导】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．例题讲解例2、把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，CD=.【方法指导】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，取BC中点为F，连接AF，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．F例3、如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，AC=4，CD=3，AD=5，AB=.（1）求证：∠C=90º；（2）求BD的长.【方法指导】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键。⑴根据勾股定理的逆定律可证∠C=90º；⑵在Rt△ABC中，先根据勾股定理得到的BC长，再根据线段的和差关系可求BD的长。例4、已知，在直角三角形∠ABC，∠ACB＝90º，点D是AB上的一点，且∠ACD=∠B.（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点.①如图2，若∠B＝34º，求∠的度数；②若B=nº，请直接写出∠的度数（用含的代数式表示）.【方法指导】此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，等式的性质，判断出CD⊥AB是解本题的关.键⑴先判断出∠ACD+∠BCD=90º，进而得出∠B+∠BCD=90º，即可得出结论.⑵先求出∠ACD，进而利用折叠得出∠时，再利用直角三角形的性质得出∠BCD，即可得出结论.中考真题演练1．已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为_______度.2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为______.55°或40°43．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是_______.4.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=____度.5.如图所示，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.6.等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为()A．7B.11C.7或11D.不能确定7.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．.8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°