（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第08讲 对数与对数函数 （练）原卷版+解析

第08讲对数与对数函数【练基础】1．（2023·山西省忻州一中模拟）实数lg4＋2lg5的值为()A．2 B．5C．10 D．202.(2021·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－1，x≤0，,log2x，x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)3．（2023·江苏省南京模拟函数f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定义域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)4．（2023·辽宁省锦州模拟若实数a满足logaeq\f(2,3)＞1＞logeq\f(1,4)a，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))5．（2023·安徽省怀远模拟若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝logaeq\f(1,x＋1)的图象是()6．(2021·云南曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则()A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab7．（2023·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)，则不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2的解集为()A．(0，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)8．（2023·福建省莆田模拟已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称【练提升】1．（2023·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z2．（2023·山东省东营模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z3．(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是()A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)4．(2021·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)5．(2021·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg0.9，c＝20.9，则()A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c6．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，则a的取值范围是________．7．（2023·河南省汝州模拟若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________．8．（2023·湖北省钟祥模拟函数f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,3))(ax－3)(a>0且a≠1)．(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．

第08讲对数与对数函数【练基础】1．（2023·山西省忻州一中模拟）实数lg4＋2lg5的值为()A．2 B．5C．10 D．20【答案】A【解析】lg4＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg(2×5)＝2lg10＝2.故选A.2.(2021·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－1，x≤0，,log2x，x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)【答案】A【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.3．（2023·江苏省南京模拟函数f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定义域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)【答案】A【解析】因为f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))，所以要使函数f(x)有意义，需使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,1－2x>0，))即－3<x<0.4．（2023·辽宁省锦州模拟若实数a满足logaeq\f(2,3)＞1＞logeq\f(1,4)a，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))【答案】A【解析】由logaeq\f(2,3)>1>logeq\f(1,4)a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga\f(2,3)>1，①,log\f(1,4)a<1，②))由①得，当a>1时，a<eq\f(2,3)，此时a∈∅；当0<a<1时，a>eq\f(2,3)，则eq\f(2,3)<a<1.由②得，a>eq\f(1,4).因此eq\f(2,3)<a<1.5．（2023·安徽省怀远模拟若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝logaeq\f(1,x＋1)的图象是()【答案】D【解析】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，a＝eq\r(3,2).所以g(x)＝logeq\r(3,2)eq\f(1,x＋1)＝－logeq\r(3,2)(x＋1)．由于g(0)＝0，且g(x)在定义域上是减函数，故排除A，B，C.6．(2021·云南曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则()A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab【答案】A【解析】因为a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜eq\f(a＋b,ab)＜1，所以ab＜a＋b＜0.7．（2023·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)，则不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2的解集为()A．(0，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】B【解析】因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t＝log2x，所以logeq\s\do3(\f(1,2))x＝－t，则不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，又因为f(1)＝logeq\s\do3(\f(1,2))2＋eq\f(8,3＋1)＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，故选B.8．（2023·福建省莆田模拟已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.【练提升】1．（2023·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【解析】设2x＝3y＝5z＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(3,logk3)＝eq\f(2logk3－3logk2,logk2·logk3)＝eq\f(logk32－logk23,logk2·logk3)＝eq\f(logk\f(9,8),logk2·logk3)>0，所以2x>3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝eq\f(3,logk3)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(3logk5－5logk3,logk3·logk5)＝eq\f(logk53－logk35,logk3·logk5)＝eq\f(logk\f(125,243),logk3·logk5)<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(2logk5－5logk2,logk2·logk5)＝eq\f(logk52－logk25,logk2·logk5)＝eq\f(logk\f(25,32),logk2·logk5)<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.2．（2023·山东省东营模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【答案】D【解析】∵2x＝3y＝5z，∴ln2x＝ln3y＝ln5z，∴xln2＝yln3＝zln5，∴eq\f(x,y)＝eq\f(ln3,ln2)，∴eq\f(2x,3y)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln32,ln23)＝eq\f(ln9,ln8)＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故选D.3．(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是()A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)【答案】A【解析】f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.4．(2021·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)【答案】D【解析】因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋eq\r(3)，n＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝log2m＋2，,n＋1＝log2m＋\r(3)＋2，))所以log2m＋2＋1＝log2(m＋eq\r(3))＋2，所以m＝eq\r(3).5．(2021·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg0.9，c＝20.9，则()A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c【答案】B【解析】由5＋4x－x2>0，得－1<x<5，又函数t＝5＋4x－x2的对称轴方程为x＝2，∴复合函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)的单调递增区间为(2,5)，∵函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥2，,a＋1≤5，))则3≤a≤4，而b＝lg0.9<0，1<c＝20.9<2，所以b<c<a.6．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，则a的取值范围是________．【解析】由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，由实数a满足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，则有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，即有f(|log3a|)≥f(1)，