(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）（原卷版+解析）

3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022·河南南阳·高二期末（理））王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：甲：该双曲线的实轴长是；乙：该双曲线的虚轴长是2；丙：该双曲线的焦距为8；丁：该双曲线的离心率为．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（2022·全国·高二）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（

）A． B．9 C． D．35．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（

）A． B． C．3 D．7．（2022·广东广州·高二期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则8．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·全国·高二）下列双曲线中以为渐近线的是（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示双曲线，则B．若曲线表示椭圆，则且C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则D．若曲线与椭圆有公共焦点，则三、填空题11．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.12．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．四、解答题14．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.B能力提升1．(多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．内切圆的半径为C．D．点到轴的距离为2．（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线B．当时，曲线是椭圆C．若实数的值为2，则曲线的离心率为D．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（

）A．若时，则B．对任意的，存在直线使得C．对任意的，存在直线使得D．对任意的，存在直线使得C综合素养1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.2．（2021·江苏镇江·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：和圆F：都外切.(1)求圆心M的轨迹方程C；(2)已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求的最小值..

3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D解：由双曲线离心率为，得，所以所以，所以双曲线方程为，将代入得.所以双曲线的方程为.故选：D2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D因为双曲线的一条渐近线为,所以,所以双曲线的离心率为.故选：D.3．（2022·河南南阳·高二期末（理））王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：甲：该双曲线的实轴长是；乙：该双曲线的虚轴长是2；丙：该双曲线的焦距为8；丁：该双曲线的离心率为．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B甲：；乙：；丙：；丁：；所以甲、丙、丁三者同时满足，此时，所以乙同学结论错误.故选：B4．（2022·全国·高二）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（

）A． B．9 C． D．3【答案】A的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A5．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，则有，双曲线C的离心率为.故选：B6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为，点B是圆上的一点，点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，则故选：A7．（2022·广东广州·高二期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则【答案】B由题意得，当时，，即，要表示椭圆，需满足，解得且，故A错误；若E表示双曲线，则不能为0，故化为，则，即或，故B正确；由B的分析知，时，，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，当时，，此时，则，解得，当时，，此时，则，解得，故D错误，故选：B8．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（

）A． B．C． D．【答案】C由双曲线的方程可得，圆的圆心为，半径为，设，则，，当时，即时，有最小值为，所以取最小值为，此时共线，直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以的面积为，故选：C二、多选题9．（2022·全国·高二）下列双曲线中以为渐近线的是（

）A． B． C． D．【答案】ABDA选项：渐近线方程，正确；B选项：渐近线方程，正确；C选项：渐近线方程，错误；D选项：渐近线方程，正确；故选：ABD.10．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示双曲线，则B．若曲线表示椭圆，则且C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则D．若曲线与椭圆有公共焦点，则【答案】BCD解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，所以，则，解得，故C正确；对于D：椭圆的焦点为，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；故选：BCD三、填空题11．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.【答案】由题意可知，则，解得则它的渐近线方程为故答案为：12．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则焦点到渐近线的距离：，所以，，，可得，即：，可得，所以，所以，又，所以双曲线的离心率的取值范围是：．故答案为：．四、解答题14．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．【答案】(1)(2)(1)的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求椭圆方程为．(2)根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)(1)解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为(2)解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.B能力提升1．(多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．内切圆的半径为C．D．点到轴的距离为【答案】ABD解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；因为，，，所以，，解得，故，C错误；内切圆的半径为，B正确；设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.故选：ABD．2．（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线B．当时，曲线是椭圆C．若实数的值为2，则曲线的离心率为D．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线【答案】AC对A，当时，，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确；对B，当时，曲线为，曲线表示圆，故B不正确；对C，，曲线表示椭圆，焦点在轴上，可得，故选项C正确；对D，假设存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线，此时有，得或，当时，，无解；当时，，无解，所以满足题意的实数不存在，故D不正确.故选：AC.3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（

）A．若时，则B．对任意的，存在直线使得C．对任意的，存在直线使得D．对任意的，存在直线使得【答案】AD由题意，直线为，与双曲线联立得：，易知且.若，则为的中点，所以，可得，A正确；由，即，结合可得，解得或，D正确，BC错误.故选：AD.C综合素养1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，