初二数学上册考试重点和练习题汇总

初二数学（上册）考试重点

第一章勾股定理

1、勾股定理

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边C的平方，即。2+82=。2

2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）

如果三角形的三边长a,b,C有关系。2+》2=。2,那么这个三角形是直角三角

形，且最长边所对的角是直角。

3、勾股数：满足/+/=02的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

L正有理数I

r有理数飞零J有限小数和无限循环小数

实数负有理数

'r正无理数I

无理数7_S无限不循环小数

负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数，如J7,正等；

（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如三+8等;

3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数值，如sin60。等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）,

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，

则有a+b=O,a=一b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（间加）。零的绝对值

是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则aK）；若|a|=-a,则aWO。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒

数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时、要注意上述规定的三要素

缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算术平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就

叫做a的算术平方根。特别地，。的算术平方根是0。

表示方法：记作“«”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的

平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“土正”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

L&i>0

注意右的双重非负性：y

a>0

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三

次方根）。

表示方法：记作必

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：亚工=_%，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所

表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的儿种常用方法

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>Ooa>b,

a—b=Qoa=b,

a-b<0^>a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，->\^a>b-,-=\^a=b;-<l^a<b;

bbh

⑷绝对值比较法：设a、b是两负实数，则时>忖0。<山

(5)平方法：设a、b是两负实数，则

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“«”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：(1)(Va)2=a{a>0)厂a{a>0)

(2)=14=Y-a(a<0)

(3)4ab=4a•4b(a>Q,b>0)(•y/b=4ab{a>Q,b>0))

(4)、怛=4(aNO力>0)(里=](a20,8>0))

Vb4b4bvb

3、运算结果若含有“&”形式，必须满足：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(3)分母中不能含有根号。

六、实数的运算

(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方

(2)实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

(3)运算律

加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(Q+/?)+C=Q+S+C)

乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律：

a(b+c)=ab+ac

第三章位置与坐标

一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念

1、平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取

向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点0称为直角坐标系的原点；建

立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分

别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

［注意］:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念

•对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的

数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

・点的坐标用(a,b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，

横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当人时，(a,b)和

(b,a)是两个不同点的坐标。

・平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征

(1)、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限=x>0,y>0

点P(x,y)在第二象限=x<0,y>0

点P(x,y)在第三象限=x<0,y<0

点P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

(2)、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上Oy=0,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上OX=0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ox,y同时为零，即点P坐标为(0,0)即原点

(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上Ox与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数

(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点P'关于x轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x

轴的对称点为P'(X,-y)

点P与点p'关于y轴对称O纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(X,y)关于y

轴的对称点为P'(-x,y)

点P与点p'关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数，即点P(x,y)关于原点的对

称点为P'Gx,-y)

(6)、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y倒坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)至IJx轴的距离等于3

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于W

(3)点P(x,y)到原点的距离等于Ji+y2

三、坐标变化与图形变化的规律:

坐标(x,y)的变化图形的变化

xXa或yXa被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍

xXa,yXa放大(缩小)为原来的a倍

xX(-1)或yX(-1)关于y轴或x轴对称

xX(-1),yX(-1)关于原点成中心对称

x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位

x+a,y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单

第四章一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,如果给定一个x值，相应地就确定了一

个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实

数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

（1）关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,

这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫

做列表法。

（3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

•一般地，若两个变量x,y间的关系可以表示成y=（k,b为常数，kWO）的

形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

•特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即丁=丘）（k为常数，k*0）,称y是

x的正比例函数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数y=的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数y=的图像是经过

原点（0,0）的直线。

k的符b的符

函数图像图像特征

号号

yr

图像经过一、二、三象限，y

b>0

r随X的增大而增大。

k>0

y

_J图像经过一、三、四象限,

y

b<0尸

J随X的增大而增大。

y

图像经过一、二、四象限，y

K<0b>0\

\__随X的增大而减小

\

一般地，正比例函数y=Ax有下列性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数？=左》+匕有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=Qc(k*0)中的常数k。确定

一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b(k^O)中的常数k和b。解这类

问题的一般方法是待定系数法。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=O(k、b为常数，kWO)的形式.而一

次函数解析式形式正是丫=1«+1)(k、b为常数，k/0).当函数值为0时，•即kx+b=O就

与一元一次方程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数，kWO）的形式.所以

解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为。时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

第五章二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

（1）一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=O的解

（2）一次函数与二元一次方程组的关系：a

y=X

二元一次方程组fax+b,y=c的解可看作两个一次函数~4'h''"

*l[i

a2x-\-b2y=c2

y=---%1+=

和b2h2的图象的交点。

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无

交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

第六章数据的分析

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数

2、平均数（1）平均数：一般地，对于n个数玉,修,，我们把,（2+/+…+与）

叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为X。

(2)加权平均数：

3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4、中位数

一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数)叫做这组数据的中位数。

新章节：图形的平移与旋转

一、平移

1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为

平移。

2、性质：平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相

等，对应角相等。

二、旋转

1、定义

在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,

这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连

线所成的角等于旋转角。

四边形性质探索

一、四边形的相关概念

1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫

做四边形。

2、四边形具有不稳定性

3、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（“-2）・180°;

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n,则多边形的对角线共有“（〃—3）条。从口边形的一个顶点出

2

发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。

二、平行四边形

1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线

段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积S平行四边彩=底边长X高=@11

三、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角都是直角

(3)矩形的对角线相等且互相平分

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点(对称中心到

矩形四个顶点的距离相等)：对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积：S矩彩=长义宽=26

四、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)菱形的四条边相等，对边平行

(2)菱形的相邻的角互补，对角相等

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点(对称中心到

菱形四条边的距离相等)；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积：S江=底边长乂高=两条对角线乘积的一半

五、正方形(3~10分)

1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)正方形四条边都相等，对边平行

(2)正方形的四个角都是直角

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有

四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

,h2

4、正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,则SM舷=/=一。

2

六、梯形

（-）1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（-）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

”一般梯形

梯形〔「直角梯形

Y

特殊梯形一

等腰梯形

（三）等腰梯形

1、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用)

(四)梯形的面积

⑴如图，S梯形,L[(CD+AB)・DE

(2)梯形中有关图形的面积：①508。=5她4；②5必。。=5凶,

③S»DC=S&BCD

七、有关中点四边形问题的知识点：

(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

八、中心对称图形

1、定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个

图形关于这一点对称。

九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：(图4—109)

初二数学上册考试重点及练习题(含答案)

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成

三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两

边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点

间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三

角形的高线(简称三角形的高)。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的

这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

(1)三角形有三条线段】

(2)三条线段不在同一直线上f三角形是封闭图形

(3)首尾顺次相接

三角形用符号表示，顶点是A、B、C的三角形记作“AABC”，读作“三

角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

‘不等边三角形

三角形r底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形Ir锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

［斜三角形<

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有I种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是

两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大

角。8、三角形的面积=^X底X高

2

多边形知识要点梳理“封

（定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做

多边形。

r凸多边形

多边形分类1：<

I凹多边形

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正

多边形。Y

分类2：、

非正多边形：

C1、n边形的内角和等于180°(n-2)。

多边形的定理12、任意凸形多边形的外角和等于360°。

I3、n边形的对角线条数等于1/2-n(n-3)

知识点一：多边形及有关概念国

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多

边形.

(1)多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个

内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

(2)在定义中应注意：

①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数)；

②首尾顺次相连，二者缺一不可；

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几

个点不共面的情况，即空间多边形.

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直

线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹

多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形.

凸多边形凹多边形

图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有〃条边就叫做〃边形.三角形、四

边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

知识点二：正多边形国

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、

正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：施

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都

相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有

满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形

知识点三：多边形的对角线国

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角

线.如图2,BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：

(1)从n边形一个顶点可以引(n—3)条对角线，将多边形分成(n—2)个三角

形。

«(«―3)

(2)n边形共有2条对角线。

证明：过一个顶点有n—3条对角线(n23的正整数)，又\•共有n个顶

点，...共有n(n-3)

条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，...凸n边形，共有

2条对角线。

知识点四：多边形的内角和公式施

1.公式：川边形的内角和为5一2),1805之3)

2.公式的证明：

证法1：在力边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成履个

三角形，这正个三角形的内角和为％,180°,再减去一个周角，即得到北边

形的内角和为(阀-2)・18。.

证法2：从修边形一个顶点作对角线，可以作("一方条对角线，并且“

边形被分成(〃一2)个三角形，这-2)个三角形内角和恰好是用边形的

内角和，等于8一2)」80

证法3：在正边形的一边上取一点与各个顶点相连，得(“—1)个三角形,

n边形内角和等于这(“-1)个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平

角的度数，

即(/一1)・180•—180°=(%—2)180°

要点诠释：蜀

(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的

基础思想。

(2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式施

1.公式：多边形的外角和等于360°.

2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补

角，所以甩边形的内角和加外角和为万.180°,外角和等于

*18。°-(«-2)-180°=360°

注意：n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关。

要点诠释：国

(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n—2)・180°(n23,n是正整数)，可见多边形内角和

与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。

②多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关。

知识点六：镶嵌的概念和特征施

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这

类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可

以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多

边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正

多边形的内角之和为360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一

点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个

正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。

.一2)180。

事实上，正n边形的每一个内角为«,要求k个正n边形各有

斤(%-2).180。

一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°=«，由此导出

2«4

k=筮-2=2+加一2,而k是正整数，所以n只能取3,4,6o因而，用相

同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同

但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙

的地板，用任意相同的三角形也可以铺满

地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形

镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多

边形组合成平面图形，关键是相关正多边

形”交接处各角之和能否拼成一个周角”

的问题。例如，用正三角形与正方形、正

三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面

镶嵌，见下图:

又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够

铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°o规律方法指导

1.内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.

每增加一条边，内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须

是180°的整数倍.

2.多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关.

3.多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角

中最多有三个钝角，最少没有钝角.

4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，

运用方程思想是解决本节问题的常用方法.

5.在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三

角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应

用.

经典例题透析

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

C1.一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要

设出边数”,根据条件列出关于花的方程，求出片的值即可，这是一种常用的解

题思路.

举一反三：

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°,求这个多边形

的边数.

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°,求这个多边形

的内角和是多少？

【答案】设这个多边形的边数为陷，这个内角为

【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个

多边形的边数。

类型一：多边形对角线公式的运用

【变式1]一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.

A.6B.7C.8D.9

【变式2】一个十二边形有几条对角线。

盟（盟-3）

总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律2

条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记

住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。

类型三：可转化为多边形内角和问题

【变式1】如图所示，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

【变式2】如图所示，求NA+NB+NC+/D+NE+N

F的度数。

D

类型四：实际应用题

▼4.如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再

到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少

度角？

思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.

举一反三：

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,

又向右转15°,…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°,然后继续向前

走10米，再向右转36°,他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，

当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB〃CF,

CD〃AE.按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.

这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，

你知道需测哪一个角吗？说明理由.

思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边

形，根据五边形内角和为540°,又由AB〃CF,CD〃AE,

可知NBAE+NAEF+NEFC=360°,从540°中减去80°再

减去360°,剩下NC的度数为100°,所以只需测NC的

度数即可，同理还可直接测NA的度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助

线.

类型五：镶嵌问题

C5.分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。

(1)正方形和正八边形；

⑵正三角形和正十二边形；(3)正三角nQzQn

形、正方形和正六边形。(yJ)

思路点拨：只要在拼接处各多边形口j只一户

的内角的和能构成一个周角，那么这些多⑴⑵

边形就能作平面镶嵌。

解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一

个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°。

(1)因为90+2X135=360,所以一个顶点处有1个正方形、2个正八

边形，如图⑴所示。

(2)因为60+2X150=360,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正

十二边形，如图⑵所示。

(3)因为60+2X90+120=360,所以一个顶点处有1个正三角形、1

个正六边形和2个正方形，如图(3)所示。

总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上

是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：

【变式1］分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；

③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是()A、

①B、②C、③D、④

解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的

木板可以用，不能用正五边形木板，故

【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完

全吻合，其中两块木板的边数都是8,则第三块木板的边数应是()

A、4B、5C、6D,8

【答案】A(提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2,然

后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第

三块木板的边数)

练习

1.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.

2.n边形的内角和与外角和互比为13：2,求n.

3.五边形ABCDE的各内角都相等，且AE=DE,AD〃CB吗？

4.将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？

5.四边形ABCD中，ZA+ZB=210°，ZC=4ZD.求：NC或ND的度数.

6.在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求证：ZDBC=2ZBDC.

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转

可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质

（1）:全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）

边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）

角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）

角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成"AAS"）

斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）

4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1）：要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含

义；

（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三

角形不一定全等；

（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合

的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹

边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的

角。

2,全等三角形的表示和性质

全等用符号“且”表示，读作“全等于"。如AABC之aDEF,读作“三角形ABC

全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写

成“边角边”或成AS"）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写

成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”

或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定

理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、

直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做

旋转变换。

第十三章轴对称

一、轴对称图形

1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这

个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关

于这条直线（成轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就

说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,

叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称

A

图形