作业08 分式方程与应用-2021年八年级数学暑假作业（北师大版）（解析版）

作业08分式方程及应用

注意事项：

本试卷满分120分，完成时间90分钟，试题共25题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

基础过关（70分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2020•无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（）

-1x+23+x1c-,

A.3x=—B.----='-----C.—=2D.3x—2y=l

254x

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义即可求出答案.

1元+23+无

【详解】A、3%=一是一元一次方程，故不符合题意；B、——=——是一元一次方程，故不符合题意；

254

C、,=2是分式方程，故符合题意；D、3x—2y=l是二元一次方程，故不符合题意；故选C.

X

【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型.

X2x-1

2.（2021•新兴县环城中学九年级期中）解分式方程——=1--5—时，去分母正确的是（）

元+1x—1

A.x(x-1)=l-2x-lB.x(x-1)=1-(2x-l)C.x(x-1)=x2-1-lx-1D.x(x-1)=x2-l-(2x-l)

【答案】D

【分析】分式方程去分母得到结果，即可做出判断.

【详解】解：分式方程去分母得：x（x-1）=/-1-（2x-l）.故选：D.

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.

3.（2020•舞钢市教育局普通教育研究室期末）“十一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往“红

螺寺”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，

原参加游玩的同学为x人，则可得方程（）

180180,180180.180180180180、

A.----.....-3B.----------3C.D.----------3

xx+2x+2xxx-2x-2x

【答案】A

【分析】根据“每个同学比原来少分担3元车费”列出分式方程即可.

ionion

【解析】解：由题意可得——-----=3故选A.

xx+2

【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.

4.（2021•广东深圳市•九年级一模）对于实数4，b,定义一种新运算“③”为：。区6=二万，这里等式

右边是通常的实数运算.例如：1区3=看=-则方程》额-1）=一\-1的解是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x—1

【答案】B

【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解.

【详解】根据题中的新定义化简得：工7=二-1，

去分母得：2=6-x+I,解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.故选：B.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

5.（2021•全国九年级专题练习）下列分式方程无解的是（）

2312八12ccx2x1

A.---=-B.----=C.---------=0D.----=------+1

x-3xx-1x'_12xx+3x+l3x+3

【答案】B

【分析】解每个分式方程，通过验根可得结论.

【详解】解：•.•方程A去分母，得2x=3（x—3）,解得x=9,

当x=9时，x（x—3）#0,所以原方程的解为X=9；

方程B去分母，得f-i=2x-2,解得X=1，

当x=l时，（X-D（X2-I）=O,所以原方程无解；

方程C去分母，得x+3—4x=0,解得x=l,

当x=l时，2X（X+3）H（）,所以原方程的解为X=1；

3

方程D去分母，得3x=2x+3x+3,解得x=一-，

2

33

"Ix=—时，3x+3wO,所以原方理的解为x=—.故选：B.

22

【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练解分式方程，并能验证方程的根是解题的关键.

1+r7

6.（2021•河北唐山市•九年级一模）以下是小明同学解方程——=------1的过程：

x-33-x

解：方程两边同时乘以（％-3）,得

1+x——2—（x—3）,第步

即x+x=-2+l+3,第二步

解得，x=l,第三步

检验：当x=l时，x-3=l-3x0,

所以原方程的解是x=l.第四步

针对以上解题过程，下列说法正确的是（）

A.从第一步开始有错B.从第二步开始有错C.从第三步开始有错D.完全正确

【答案】B

【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，移项，合并同类项，把未知数的系数化为1,再验根.

本题在第二步移项出错.

【详解】解：方程两边同时乘以（彳一3）,得1+%=-2-（％-3）,第一步正确；

即1+%=-2-1+3,第二步原题错误，1移项没有变号；故选B.

【点睛】本题主要考查解分式方程的步骤，熟练掌握解分式方程的方法步骤，是解答本题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

1?

7.（2021•河北石家庄市•九年级一模）龙=-1是方程——=——的解，a的值为.

x-2x-\-a

【答案】-5

【分析】将X=-1代入方程—1一=—2—求出a的值即可.

x—2

【详解】解：将x=-l代入方程一1=二一得

解得a=-5.故答案为：-5.

【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，正确理解分式方程的解得含义是解答本题的关键.

8.（2020•南通市东方中学八年级月考）对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Min{a,。}表示小b

-］—3^\'=匚x5;-2的解为______.

（x-2x-2Jx-2

【答案】x=T

【分析】根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可.

131

【详解】当二一v——时，%>2,方程变形得：—三一2,

x—2x—2x—2

去分母得：1=%-5-2（%-2）,解得：x=-2（不符合题意，舍去）；

当J3x-5

即犬＜2,方程变形得：——=——-2,

x—2x—2

去分母得：3=%-5-2（x—2）,解得：X=~4,

经检验x=T是分式方程的解，综上，所求方程的解为％=7.故填：x=-4.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

9.（2020•浙江嘉兴•中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人

分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一

次分钱的人数为x人，则可列方程

10_40

【答案】

xx+6

【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论.

10_4010_40

【解析】解：根据题意得,故答案为:

xx+6xx+6

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键.

10.（2021•江苏九年级专题练习）符号““bab

，”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：,=ad-bc,

caca

21

请你根据上述规定求出下列等式中x的值.若」1=1,那么x=_.

1—XX—1

【答案】4

【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案.

【详解】解：；11=1,A—----—=1,

---------x-11-X

1-xX-1

方程两边都乘以x-1得：2+I=x-l,解得：X—4,

检验：当x=4时，x-1/0,1-x/0,即x=4是分式方程的解，故答案为：4.

【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到

分式方程再求解是解题关键.

三、解答题(本大题共5小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤)

5.(2020•江苏南通市•八年级月考)解方程：

1-x2736

(1)—2；(2)X2+X+x2-x~x2-1

x—22-x

【答案】(1)尸1：(2)无解.

【分析】(1)两边同乘以最简公分母％-2,即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可.

(1)两边同乘以最简公分母x(x+l)(x-l),即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可.

1-x_2

【详解】(1)

x—2.2-x

两边同乘以x—2得:

1-x=(=-2)(x-2)

x-2

l-x=-2—2x+4

x=l

经检验x=l是原方程的根.

,、736

⑵--+--=

X+Xx—Xx—1

两边同乘以X。一l)(x+1)得：

7x(x+l)(x-l)3x(x+l)(x-l)6x(x4-l)(x-1)

-----------------1----------------=----------------

x(x+l)x(x-l)(x+l)(x-l)

7(x-l)+3(x+l)=6x

7x-7+3x+3=6x

x=l

经检验，当x=l时原等式无意义，所以方程无解.

【点睛】本题考查求解分式方程.把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根.

Y-19Y

12.(2021•浙江九年级专题练习)(1)解方程：1——-=-r—;(2)将(1)中的方程等号右边的

x+3x-9

分子系数改为多少(其他不变)，方程无解？(写出计算过程，系数不为零)

【答案】(1)x=6：(2)将(1)中的方程等号右边的分子系数改为8时，方程无解，见解析

【分析】(1)方程两边都乘以最简公分母(x+3)(工-3)化分式方程为整式方程，解整式方程并检验可

得；(2)系数改为，”，去分母可得(x+3)(x-3)-(x-1)(A--3)=mx,方程无解即x=3或-3,代

入可得〃?的值，由系数不为零可得，〃的值.

r—12x

【详解】解：(1)1_=

x+3X2-9

方程两边都乘以最简公分母(x+3)(x-3),得：

(x+3)(x-3)-(x-1)(x-3)—2x,解得：x—6,

经检验x=6是原分式方程的解；

(2)将(1)中的方程等号右边的分子系数改为8时，方程无解，

x-12x

将等号右边的分子系数改为〃7,得：1-----=--

x+3X2-9

方程两边都乘以最简公分母(x+3)(x-3),得：

(x+3)(x-3)-(x-1)(x-3)=mx,

x2-9-(A2-4A+3)=mx,

x2-9-x2+4x-3=mx,

4x-mr=9+3,

12

x=-----,

4-m

、1212

.♦•方程无解，,工二？或-3,即-----=3或------=-3,

4-m4-m

解得：m=8或m=()(舍)，故加=8,

所以将(1)中的方程等号右边的分子系数改为8时，方程无解.

【点睛】本题主要考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的基础和关键，注意不要

忘记检验.

13.(2020•湖北嘉鱼•期末)我县正准备实施的某项工程接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙工程队施

工一天的工程费用分别为2万元和1.5万元，县招投标中心根据甲、乙两工程队的投标书测算，应有三种施

工方案：

方案一：甲队单独做这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天；

方案三：若甲、乙两队合做4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.

根据以上方案提供的信息，在确保工期不耽误的情况下，你认为哪种方案最节省工程费用，通过计算说明

理由.

【答案】方案三最节省工程费用，理由见解析.

【分析】设工程如期完成需X天，则甲工程队单独完成需X天，乙工程队单独完成需（X+5）大，依题意可

列方程，可求x的值，然后分别算出三种方案的价格进行比较即可.

【解析】设工程如期完成需X天，则甲工程队单独完成需X天，乙工程队单独完成需（X+5）天，依题意可

4x1Ix—4

列方程一+——=1或4（一+——）+——=1解得：x=20

xx+5xx+5x+5

经检验x=2（）是方程的根

...工程如期完成需20天，甲工程队单独完成需20天，乙工程队单独完成需25天，

在工期不耽误的情况下，可选择方案一或方案三

若选择方案一，需工程款2x20=40万元

若选择方案三，需工程款2x4+1.5x20=38万元故选择方案（3）.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键.

14.（2020•山西忻州•初二期末）阅读理解，并解决问题.

分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是

在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍

相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现0=0的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.

而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0,于是，未知数的取值

范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0,此根即为增根，增根是整式

方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：

1-r1

（1）若解分式方程——+2=——时产生了增根，这个增根是_____；

x-22-x

7x3

（2）小明认为解分式方程--------z—=0时，不会产生增根，请你直接写出原因；

x2+l2x2+2

（3）解方程二7+—^=，^

【答案】（1）x=2；（2）见解析；（3）无解

【分析】（1）由题意直接看出即可.（2）找到最简公分母，判断最简公分母的范围即可.（3）利用分式方程的运算方

法解出即可.

【解析】（1）x=2

（2）•.•原分式方程的最简公分母为2（/+1）,而2（炉+1）>（）.•.解这个分式方程不会产生增根.

(3)方程两边同乘(x-l)(x+l),得2(x+l)+(x-l)=4

解得：x=l经检验：当x=l时，（x-l）（x+l）=O所以，原分式方程无解.

【点睛】本题考查分式方程的增根,关键在于理解增根的意义.

15.（2021•全国七年级）我们把形如L（n是正整数，n>2）的分数叫做单位分数，如!、

n234

（1）任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如」=1+4、i=l+—.-=-+—

23634124520

观察上述式子的规律，回答下面的问题:

①把,写成两个单位分数之和：-:②把,（n是正整数，n>2）写成两个单位分数之和：-

77nn

③计算当----1---------1--------1—・+x=—n寸，最后一项x=

1x33x55x713

（2）某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如！=

6231234

1_1则在单位分数4、-、一L中，能按上述要求拆分的有个.

20-45234wo—

11

【答案】(I)①—I；②------4-:(2)9

85671+1143

【分析】（1）①等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1,第二个分数的分母是前两个分母的积,

1

据此可得；②根据（1）①规律求解，即可得到答案；③设x=（2〃_]）（2“+l）’原方程变形为:

2

（1--+---+---+--+—1----------）,然后解分式方程即可求出n的值，从而求出x的值;

335572〃-12〃+113

（2）一个分数，如果分子是1,分母是相邻的自然数的积，就可以拆成分子是I,分母是相邻的自然数差

的单位分数的差的分数，据此即可判断.

【详解】（1）①根据题意知，,=!+!，故答案为：!+工；

7856856

11111

②根据题意知，一=七+（,八,故答案为：—+/

n71+177+1+

]1111_6

③设x=（2»-l）（2n+l）M+375+5^7+…+（2«-l）（2n+l）-B

111111116

（1---1—----1--,.,+-----）

2335572〃一12〃+113

g（1-二一）=色解得:n=6经检验:n=6是原方程的解并符合题意

22〃+113

__________1__________111

-11x13-143假合'案为:

X=（2x6-l）x（2x6+l）143

（2）在单位分数!、-....—匚中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其

234100

分母有1x2,2x3,3x4,4x5,5x6,6x7,7x8,8x9,9x10共9个,故答案为：9.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出等式右边第一个分数的分母是等

式左边分母加1,第二个分数的分母是前两个分母的积的规律.

能力培优（50分）

一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1—2x+3k.

1.（2020•湖北荆门•中考真题）已知关于x的分式方程-―式+2的解满足-4<%<一1,

x-2（x-2）（x+3）

且左为整数，则符合条件的所有攵值的乘积为（）

A.正数B.负数C.零D.无法确定

【答案】A

6—k

【分析】先解出关于X的分式方程得到*=——,代入求出k的取值，即可得到k的值，故可

求解.

2x+3k°k—21

【解析】关于x的分式方程-——~~^+2得*=-----，

x-2（x-2）（x+3）7

k-2l

V-4<x<-l/.-4<-----<-1解得-7Vk<14

7

整数k为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

乂分式方程中x/2且xr-3*35且k/0

•••所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，...k值的乘积为正数，故选A.

【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法.

Xm

2.（2021•浙江八年级期中）若关于x的方程一二-2=—；有增根，则，〃的值为（）

X—1X—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数”即可.

【详解】解：把原方程去分母得：x-2（x-l）=m,

•原分式方程有增根：x=l,.\l-2（l-l）=m,即：m=\,故选B.

【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解

题的关键.

//7一2

3.（2021•江西宜春市•八年级期末）己知关于》的分式方程——=1的解是正数，则加的取值范围是（）

x-1

A.m>\B.机2/且机C.m>\D.〃z>l且/WH2

【答案】D

【分析】根据题意，先解方程求出x=m-l,方程的解是一个正数，则m-GO,且当x-l=O时即m-2=0方程无

解，因此得解.

【详解】解：去分母得：m-2=x-l,移项得:x=m-L

由方程的解是正数得，m-lK）且解得：mNl且n#2,故选择：D.

【点睛】本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须

有意义.

11122

4.（2021・河北石家庄市・八年级期末）关于*的方程］+—=。+一的两个解为玉=。，尤）=一，元+—=。+—

xaaxa

2333、

的两个解为尤］x2=—；x-\—=a-\—的两个解为玉=。，x2=—,则关于x的方程

axaa

犬+」上=。+」上的两个解为（）

x-\a-\

2a+810a+9

A.X]=Q,X2=—B.X]=Q,X?=----C.玉二Q,X2—----D.X]=Q,/=----

a-a-\a-\a-1

【答案】D

【分析】由于x+26=a+」匕可化为（x—l）+—2=（。-1）+曲，由题中可得规律：方程

x—1a—1x—1a—1

/7HH

元+—=〃+—（其中〃为正整数）的解为芭=Q,9=一，根据这个规律即中得方程的解.

XClCL

…H….1010/八10/八10

【详解】•XH------U-\------..（X—1）H-----=（6Z-1）H------

x—1。-1x—1。-1

•••上述方程有解无一l=a—1及X—1=-即x=a及x="2

a-1a-\

a+9

所以原方程的解为西=a,x2=--故选：D

a-\

【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归

纳出般性的结论，再所得的•般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到•般再到特殊的思维过程,

这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把x-1、看成一个整体，才能符合题中所

给方程的结构，否则无法完成.

二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

5.（2021•江苏扬州市•八年级期末）若关于X的分式方程也与=!的解大于1,则山的取值范围是____.

x-23

【答案】加〉（且加。4

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可.

【详解】解：去分母得：3（〃?-2x）=x-2,去括号得：3m-6x=x-2,解得：》=加产，

根据题意得：也*>1且丝*X2,解得：加>2且加工4.

773

故答案为：且，〃H4.

3

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.(2020•重庆南岸•一模)某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后,

该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的

手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半

原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相

距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(给手机及中途其它耽误时间忽略不计)，

则甲到小区时，乙距公司的路程是米.

【答案】1500

【分析】甲开始的速度为a(m/min),则甲后来的速度为2a(m/min),根据“刚好在事先预计的时间到达

该小区”，结合函数图象列出方程，可以分别求得甲乙的速度和甲到达公司的时间，进而求得甲到小区时，

乙距公司的路程.

【解析】设甲开始的速度为a,则甲后来的速度为2“(.mimin'),

中即意可得，9+60Q(8a2a)=您解得,fl=5()Oj

2aa

设乙的速度为6(疯疝〃)，由甲乙相遇知，

(3000V4,小八

I9-----b+2a*l=(9-l)a.•力=1000,

二甲乙相遇时乙距公司的路程为：(9-)x10()0=300(),

甲到达小区的时间为：如四=12(min),

50

二甲到小区时，乙距公司的路程为：3000-lOOOx—x(12-9)=150()("?),故答案为：1500.

2

【点睛】本题考查了函数图像的识别，分式方程，根据题目中的等量关系列出正确的方程是本题的关键.

°X

7.(2021•江苏九年级专题练习)已知：①方程x+—=3的两根为x=l或1=2；②工+―=5的两根为x=2

XX

12

或x=3；③方程1+一=7两根为尤=3或%=4….请你根据它们所蕴含的规律，求方程

x

X+七±2=2〃+4,（〃为正整数）的两根为（用含〃的代数式表示）.

x—3

【答案】x=〃+3或x=〃+4

【分析】根据已知三个方程的解，归纳总结得到规律，将所求方程变形后，利用此规律即可得到方程的解.

【详解】解：•••①x+2=3的解是x=l或x=2；②x+9=5的解是尤=2或x=3；③%+上=7的解

XXX

22

是X=3或X=4,”=2〃+4变形为（x-3）+"+"="+（"+1）Rn（n+1）=n2+n,

x-3x-3

解为*="+3和x=〃+4.故答案为：x=〃+3或x=〃+4.

【点睛】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键.

三、解答题（本大题共3小题，共26分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

8.（2021•广东广州市•绿翠现代实验学校八年级期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经

紧密相连，但诸如“123456”.生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就

很有必要了.有一种用“因式分解''法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3+2x2

-x-2因式分解的结果为（x-1）（x+1）（x+2）,当x=18时，x-1=17,x+l=19,x+2=20,此

时可以得到数字密码：171920,191720,201719等.

（1）根据上述方法，当x=21,y=7时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需

写出其中2个）（2）若多项式x3+（m+n）x?-nx-21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以

1k

得到其中一个密码为242834,求m、n的值；（3）若关于x的方程;——-

（X-3）（x+l）(x+l)(x+7)

x+1

无解，求k的值.

X3+5X2-17X-21

33

【答案】(1)212814、281421；(2)m=42,n=l7；(3)——或--或0.

25

【分析】（1）根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一

（2）设/+（机+〃）炉—内—2i=（x+p）（x+q）（x+，），求出p、q、r,根据等号左右两边对应相等，可以

求m、n的值；（3）去分母求出方程的解x=9理，据方程无解得到x=-l或3或-7,代入求出k的值即可.

k

【详解】⑴V-盯2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）,

当x=21,y=7时,x+y=28,x-y=14,.•.可以形成的数字密码是212814、281421；

(2)设％3+(加+〃)尤2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r)，

・.・当x=27时可以得到其中一个密码为242834,

27+p=24,27+q=28>27+r=34,解得p=-3,q=1,r=7,

3

x+(m+〃)f一加一21二(X-3)(X+1)(X+7)

・'・A3+(加+n)x2-T?X-21=X34-5X2-17X-21,

ni+n=5fm=-12

…，解得<…；

H=17[n=17

]k_x+1

⑶(尤-3)(x+l)(x+l)(x+7)%3+5x2-17x-21'

去分母得(x+7)-k(x-3)=x+l,解得x=6+皂,

k

]kxl1

二■方程-------------------------=-----------------无解，/•x=-l或3或-7.

(x-3)(x+l)(x+l)(x+7)x3+5x-17x-21

当x=-i时，9±%=—i,解得k=-3,经检验是方程的解；

k2

,,6+3k、n-e

当x=3时，-----=3,方程无解；

k

当x=-7时，d逖=-7,解得k=-经检验是方程的解；

k5

当k=0时，方程(x+7)-k(x-3)=x+l,无解，则原方程无解；

33

・・・k的值为一一或・二或0・

25

【点睛】此题考查多项式的分解因式，分式方程的应用，方程组的应用，(2)是难点，读懂例题中多项式

分解因式的个数仿照解决问题是解题的关键.

9.(2021•江西赣州市•八年级期末)解方程：

12

①——=--------1的解为；

元+1尤+1

24

②——=--------1的解为％=；

X+1X+1

③-3-=一g-—1的解为了=；

元+1X+1

48

④——=---------1的解为.

x+1x+1

(1)请填空;

（2）请根据发现的规律直接写出第⑤个方程及该方程的解；

（3）请你用一个含正整数”的式子表示上述规律，并写出它的解.

【答案】（1）①0;②1;③2；④3；（2）第⑤个方程是一9一=里一1,解为x=4：（3）/一=用--1,

x+lx+lX+1X+1

解为x=〃-l.

【分析】（1）①方程两边同时乘以（X+1）,把分式方程转化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项解

题即可：②解法同①；③解法同①；④解法同①；（2）根据规律，找到分式分子及分母的规律解题即可；

（3）根据前两小题的规律解题即可.

【详解】解：（I）①方程两边都乘以（尤+1）得，1=2-（x+1）,

解这个整式方程得：l=2-x-l:.x=O

经检验，x=0是原分式方程的解，故答案为：x=0；

②方程两边都乘以（x+1）得，2=4-（x+1）,

解这个整式方程得：2=4—x—l.•.元=1

经检验，x=l是原分式方程的解，故答案为：x=l；

③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-（x+1）,

解这个整式方程得：3=6-x-l/.x=2

经检验，x=2是原分式方程的解，故答案为：x=2；

④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-（x+1）,

解这个整式方程得：4=8-x-l.'.x=3

经检验，x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3；

（2）根据题意得，第⑤个方程为々=£-1

x+1X+1

方程两边都乘以（X+1）得，5=10-（x+l）,

解这个整式方程得：5=10-x-l.'.x=4

经检验，x=4是原分式方程的解，...该方程的解x=4；

in2〃

（3）含正整数〃的式子为：——=------1,

X+1X+1

方程两边都乘以（X+1）得，〃=2〃一（％+1）,

解这个整式方程得：n=2n-x—\.\x=n-l

经检验，了=〃-1是原分式方程的解，

n9/7

.•.第〃个式子为：-=--1,解为％=〃一1.

%+1%+1

【点睛】本题考查分式方程的解、解分式方程、规律探索等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

10.（2021•武冈市第二中学八年级月考）阅读下列材料，关