苏科版九年级数学下册 第五章 二次函数 单元测试卷【含答案】

苏科版九年级数学下册第五章二次函数单元测试卷

一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）

1.下列关系式中，属于二次函数的是（）

T

A.y=3rl-2x-lB.y=c.y=x+5DJ=T

2.抛物线y=3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A.y=3（x-4）2+2B.y=3（x-4）2-2C.y=3（x+4）2-2D.y=3（x+4）2+2

3.抛物线y=x2-3x+5与坐标轴的交点个数为（）

A.无交点B.I个C.2个D.3个

4.若在琼瓦―亚丁）《一刁名）是抛物线歹=&2—4x+c上的三个点，则%、%、%的

大小关系是（）

5.直线y=bx+c与抛物线y=ax?+bx+c（a>0）在同一坐标系中大致图象可能是（）

6.已知二次函数J=Gp+bx+c中,自变量X与函数y之间的部分对应值如表:

X---02：■

y----1：>3：...

在该函数的图象上有个卜％）和以两点，且一1<五1<0,3Vxz<4,为与力的大小关

系正确的是（）

A.*%C*%DP』

7.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平

距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,

在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A.此抛物线的解析式是y=-5x2+3.5B.篮圈中心的坐标是（4,3.05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）D.篮球出手时离地面的高度是2m

8.二次函数y=ax^+bx+c3/①图象上部分点的坐标工⑨对应值列表如下：

则下列说法错误的是（）

A.抛物线开口向上.B.抛物线的对称轴为直线X=1

C.当x＞2时，尸随x的增大而增大D.方程0p+hr+c=O有一个根小于一1

9.如图，二次函数了=皿2+以+4。＞。）的图象与x轴交于两点（40）,自°）,其中0VX1V1.

4gfe_A

下列四个结论：①心＜0；②2a—。＞0；@a+2b+4c＞0；④b石〈一”正确的个数

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,ZA=45°,ZC=90°，AD=4cm,CD=3cm、动

点M,N同时从点A出发，点M以及m/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿

折线AD-DC向终点C运动.设点N的运动时间为ts,△AMN的面积为Sen?,则下列图象能大

致反映S与t之间函数关系的是（）

A

D

二、填空题（本大题共8题每题2分，共16分）

11.抛物线y=3（x-2）2+3的顶点坐标是o

12.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是歹=58一户，

则经过s后，飞机停止滑行.

13.如图，抛物线V=。也+4与直线V=肛+n相交于点4一¥-6）,ML一冲，则关于X

的方程mr+n的解为.

14.己知二次函数y=(x-2a)2+(a-l)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别

是当a=-l,a=0,a=l,a=2时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是

15.如图，已知(3尸的半径为2,圆心P在抛物线7=上运动；当◎尸与x轴相切时；圆心

P的坐标为.

16.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y=x2(x>0)与(x>0)于点B、C,过点C

史DE

作y轴的平行线交y=x2于点D,直线DE〃AC,交了一手于点E,则方=.

17.已知函数y=I一8一刀2+且使y=k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是.

3

18.如图，在平面直角坐标系中，过点P(m,0)作x轴的垂线，分别交抛物线y=x?+5x+2和直线y=

1

-5x-2于点A和点C,以线段AC为对角线作正方形ABCD,则当正方形ABCD的面积最小时m

的值为«

三、解答题(本大题共10题，共84分)

19.已知抛物线的解析式为歹='2—力值一碗2—1,求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个

交点.

20.在平面直角坐标系中，若抛物线V=2x2与直线y=x+l交于点发区坊和点Bfcd),其中

点。为原点，求的面积.

21.已知二次函数yi=ax?+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0),与y轴交于点C,与x轴

另一交点交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求点C、点D的坐标；

(3)若一条直线y2.经过C、D两点，请直接写出力＞丫2时.，x的取值范围.

22.用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大,

给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？

乙

23.体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球.已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的

一部分，如果球出手处d点距离地面的高度为2m,当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度

4m的耳处(如图)，问该学生把实心球扔出多远？(结果保留根号)

B

24.如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,0恰在水面中心,

0A=1.25m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使

水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离0A距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计

其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？

25.在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一

个矩形花园ABCD,要求把位于图中点F处的一颗景观树圈在花园内，且景观树产与篱笆的距

离不小2米.已知点尸到墙体DA.QC的距离分别是8米、16米，如果DA.DC所在两面

墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积S的最大值.

26.某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（l<x<90）天的售价与销量的相关信息如下表:

时间X（天）l<x<5050<x<90

售价（元/件）x+4090

每天销量（件）200-2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售

价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.

27.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）.抛物线y=

4

一§x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线

段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ,设CP=m,ACPQ的面积为S.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）求S关于m的函数表达式.

4

（3）当S最大时，①求点Q的坐标.②若点F在抛物线丫=—*5x2+bx+c的对称轴上，且4DFQ的外

心在DQ上，求点F的坐标.

28.如图，抛物线>=^^一，*+《。声°）与*轴交于点八，B,与y轴交于点OCQ,f

的/屋°=五直线X=1交2SC•于点D,点P是直线5C下方抛物线上一动点，连接PD.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1,连接PC,求力面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2,连接AC,过点P作府_1_石£?于点£,是否存在点P使以P,D,E三点为顶点的三

角形与△4EC相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、单选题

1.A

【考点】二次函数的定义

解：A、歹=丸2—以-1属于二次函数，符合题意;

B、了=一也是正比例函数，不符合题意；

C、V=x+5是一次函数，不符合题意；

D、是反比例函数，不符合题意；

故A.

分析：利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a¥0),y是x的二次函数，再对各项逐一判断.

2.C

【考点】二次函数图象的几何变换

解：y=3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3(x+4)2-2.

故C

分析：根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.

3.B

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题

解：A=(-3)2-4x5=9-20=-ll<0,...抛物线与x轴没有交点，令x=0代入y=x?-3x+5,y=5,即抛

物线与x轴无交点，与y轴有一个交点，

故B.

分析：将本题转化为一元二元一次方程，求一元二次方程的根的判别式，根据判别式判断即可。

4.A

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

解：将4公丁)4一亚7)「(—Z%)分别代入y=2xi-4x+c,

得y]=2x2^—4x2+c=c

=—^5^-4X(—^5)+c=10

片=2x(-^-4X(-2)+C=16+C

••10+4J5+c>16+c>c

二八

故A.

分析：将点A,B,C的横坐标代入函数解析式，分别求出yi,y2,y3的值，然后比较纵坐标

的大小，即可得到yi,y2，y3的大小关系。

5.B

【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系

解：选项A中，由一次函数的图象可知b<0,c>0,由二次函数的图象可知a<0,b>0,c>0,故

A不符合题意；

选项B中，由一次函数的图象可知b<0,c>0,由二次函数的图象可知a>0,b<0,c>0,故B符

合题意；

选项C中，由一次函数的图象可知b<0,c>0,由二次函数的图象可知a>0,b<0,c<0,故D不

符合题意；

选项D中，由一次函数的图象可知b>0,c>0,由二次函数的图象可知a>0,b<0,c>0,故C不

符合题意：

故B.

分析：A、由抛物线的开口向下可知aVO,与已知条件a>0矛盾；

B、由直线过二、四象限可知b<0,直线交于y轴正半轴可知c>0；由抛物线的对称轴在y轴右侧

可知a、b异号，结合已知可得b<0,抛物线交于y轴正半轴可知c>0；符合题意；

C、由直线过二、四象限可知b<0,直线交于y轴正半轴可知c>0；由抛物线的对称轴在y轴右侧

可知a、b异号，结合已知可得b<0,抛物线交于y轴负半轴可知c<0；矛盾；

D、由直线过一、三象限可知b>0,直线交于y轴正半轴可知c>0；由抛物线的对称轴在y轴右侧

可知a、b异号，结合已知可得b<0,抛物线交于y轴正半轴可知c>0；矛盾.

6.D

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

解：由表格可知：抛物线的对称轴为直线x=2,

V-l<xi<0,3<X2<4,

,y。到直线x=2的距离比点B(X2,y2)到直线x=2的距离要远，

而抛物线的开口向下，

.*.yi<y2•

故D.

分析：观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线开口向上，然后比较点A、点B离

直线x=2的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到yi<y2.

7.A

【考点】二次函数的实际应用-抛球问题

解：A、：抛物线的顶点坐标为(0,3.5),

可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5.

；篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式，得3.05=axl.52+3.5,

1

；.a=-5，

1

/.y=-5x2+35

故本选项符合题意；

B、由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),

故本选项不符合题意；

C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),

故本选项不符合题意；

D、设这次跳投时，球出手处离地面hm,

因为(1)中求得y=-0.2x2+3.5,

当x=-2.5时，

h=-0.2x(-2.5)2+3.5=2.25m.

这次跳投时，球出手处离地面2.25m.

故本选项不符合题意.

故A.

分析：根据题干中给的点坐标带入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。

8.D

【考点】二次函数y=axA2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质

解：由表格信息可知，抛物线的对称轴为X=l,在对称轴的右侧，尸随X的增大而增大，故抛物线

的开口向上，故A、B、C不符合题意；

D.由表格信息，可知抛物线经过点（2,一为、G,D,当孤=3时，y=1,由抛物线的对称性，得到,

当x=-1时，y=IX,又因为抛物线经过Co,-2）,故有一个根在-1和o之间，则这个根大于

-1,故D符合题意，

故D.

分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴可判断B,根据点的坐标可判断A,根据增

减性可判断C,根据顶点和（3,1）可判断D。

9.C

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标

特征

解：①•••抛物线开口向上，a>0,

；抛物线对称轴在尸轴的右侧，；.a,b异号，b<0,

•••抛物线与尸轴的交点在X轴上方，OC,

...abc<0,所以①正确；

②...图象与X轴交于两点°）,（Z0）,其中。<*1<1,

等<一会<学,1<一/B,

当一义<9时，b>-3a,

..•当x=2时，y=4a+2b+c=0,

：.b=~2a~ic,/.-2a-jc>-3a.2a-c>0,故②正确；

③当x=3时，P值为la+^b+c,给+乘以4,即可化为a+2b+4c,

1/1

♦.•当5Vxi时，由图象可知在5和XI之间P为正值，

1、1

当时，在5和XI之间尸为负值，

...a+力+4c与0的关系不能确定，故③错误；

④；-公"2a+b<Q,：.[2a+£i）2>0,

即4a2+廿+核>0,■+£/>-Aab,

Va>Q,b<0,：.ab<0,

.T”即华+J

所以④正确.

综上，正确的是①②④，共3个，

故C.

分析：由于抛物线开口向上，可得a>0,由抛物线对称轴在P轴的右侧，可得bv。，由抛物线与

?轴的交点在X轴上方，可得u＞0,据此判断①；由于图象与X轴交于两点(z0),其中

0＜町＜1,从而可得1＜一%当x=2时，了=痴+乃+c=0,求出8＞—玄，从而可

得8=一勿一上＞一发,据此求出2fl-c＞G据此判断②；当x=3时，＞值为第+筋+°,

给3。十5"十°乘以4,即可化为a+力+4c,由于°＜町＜1,无法确定当冥=5时，所对抛物

线上的点在x轴上方还是下方，据此判断③；由一公＞1,可得2a+bv0,即得(2a+b)”＞0,

从而得出位以+力＞—4由，由于过＜0,可得=一'一“，据此即可判断④.

10.B

【考点】二次函数-动态几何问题

解：①如图，当0＜区2时，作MH_LAN于N,

S=2ANXMH=2x2tx"2tcos45°=t2

②如图，当2<tW3时，连接DM,

S=SAMND+SAAMD+SAADN=2x(2t-4)x(4-t)+2x4xt-2x4x(2t-4)

=-t2+4t,

③如图，当3<饪3.5时，连接BN,

111

S=SAMND+SAAMD+SAADN=2X(2t-4)x1+2x4x3-2x4x(2t-4)

=-3t+12,

综上可知，符合条件的函数图象是B.

故B.

分析：分三种情况作答，即①当0＜饪2时・，②当3＜饪3.5时，③当3〈区3.5时，用分割法分别求出

△AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.

二、填空题

11.(2,3)

【考点】二次函数y=a(x-h)A2+k的图象,二次函数y=a(x-h)O+k的性质

解：抛物线的顶点坐标为(2,3)

分析：根据题意，题目中给出的为二次函数的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标。

12.25

【考点】二次函数的其他应用

解：y=50f-?=一(广一58+625)+625=-Q—25『+625

所以当t=25时，该函数有最大值625

即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来，

故25.

分析：要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式

即可.

13.rl=-3,r2=1

【考点】二次函数y=axA2+bx+c的图象，二次函数y=axA2+bx+c的性质

解：•.•抛物线与直线想交于点A和点B

关于X的方程的解为X|=-3,X2=l

分析：根据题意，关于X的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。

14.

【考点】二次函数y=a(x-h)八2+k的图象，二次函数y=a(x-h)八2+k的性质

解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为(2a,a-l)

设x=2a①，y=a-l②

①-②x2得，x-2y=2

1

.♦.y=2x-l

分析：根据抛物线的顶点式，写出顶点坐标，利用x和y代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a,得到

x和y的关系式即可。

15.(,2)或(-斗，2)或(0,-2)

【考点】直线与圆的位置关系，二次函数的其他应用

解：•••◎P的半径为2,圆心P在抛物线上运动，

.•.当OP与X轴相切时，假设切点为A,

APA=2,

以7=2

即“一2=2或“一2=2

解得x=土或x=o,

，P点的坐标为：（说,2）或（-蚯，2）或（0.-2）

分析：根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。

16.5-后

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

解：设点A（0,m）

/.x2=m

解之：x=W；（取正值）

.,.点B（而，m）

vT=m

解之：x=西;（取正值）；

.•.点C（回E）

故答案为.5-

分析：设点A(0,m)将y=m代入y=x2,可求出点B的坐标，将y=m代入了=亏，求出点C

的坐标；再将x=后代入y=x2,可得到点D的坐标，将点D的纵坐标代入了=手，可求出点E

的坐标；然后求出AB,DE的长，即可求出DE与AB的比值。

17.k=l或kV-8

【考点】二次函数y=a(x-h)八2+k的性质

解：y=-(x-1)2+1的顶点坐标为(1,1),

y=-(x-7)2+1的顶点坐标为(7,1),

当一(五_1>+1=_8_牙+1,得：x=4,

则抛物线y=-(x-1)2+1和抛物线y=-(x-7)2+1相交于点(4,-8),

如图，直线y=-8与函数图象有三个交点，

当k<-8时，直线y=k与函数图象有2个交点，

当k=l时，直线y=k与函数图象有2个交点，

所以使y=k成立的x值恰好有2个时，k=l或k<-8.

故k=l或k<-8.

分析：根据抛物线的解析式求出顶点坐标，再作图求解即可。

18.-1

【考点】二次函数y=axA2+bx+c的图象，二次函数y=axA2+bx+c的性质

31

解：根据题意可知，点A的坐标为(m,加2+，闭+2),点c的坐标为(m,

/.AC=m2+2m+4

当m=-l时，AC的最小值为3

Am的值为-1

分析：根据点P的坐标即可得到点A和点C的坐标，求出AC的长度，即可得到AC最短时，正方

形的面积最小，即可得到m的最小值。

三、解答题

19.解：令y=0,0=x1-2mr-3m1—1

/.d=(-2m)+4(3m2+1)=16m2+4>o

，无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题

分析：将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。

20.解：由题意得：

(7=2x2

&=x+l

解得：或X=1

•.•点4区与和点昭d),其中a>c

4L2),巩一当6

直线尸=X+1与y轴的交点坐标为：(()，1)

1113

^zM«o=2xlx2+2xlxl=4

【考点】三角形的面积，二次函数与一次函数的综合应用

分析：首先求得两个交点的坐标，然后求得直线V=X+1与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积

公式即可得出答案.

f4a+2b-3=-3

21.(1)解：由已知得：ia-b-3=0,

,4=1

解得u=-2

所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3

(2)解：令x=0,可得y=-3,

AC(0,-3)

令y=0,可得X2-2X-3=0

解得：X1=3；X2=l(与A点重合，舍去)

AD(3,0)

(3)x<0或x>3

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用

分析：(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；

(2)令x=0,可得y=-3,据此求出C(0,-3)；令y=0,可得x2-2x-3=0,求出x的值，即可求出

D的坐标；

(2)先画出直线y2.求利用图象求出抛物线在直线上方的x的范围即可.

22.解：如图甲：设矩形的面积为S,

I

则S=8x2(28-8)=80.

所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为80；

1

如图乙：设垂直于墙的一边长为xm,则另一边为2(28-2x-8)+8=(18-x)m.

所以S=x(18-x)=-X2+18X=-(x-9)2+81

因为-1V0，

当x=9时，S有最大值为81,

所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m2.

综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m

【考点】二次函数的实际应用-几何问题

分析：根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x,则另一边为

(18-x)(包括墙长)列出二次函数解析式即可求解.

23.解：以笛C所在直线为X轴，过点彳作ZX7的垂线为尸轴，建立平面直角坐标系，则有

21H4勾，如图所示：

B

设函数解析式为：了=4-4『+4,则把点A代入得：

2=18+4,解得：a--8,

函数解析式为尸=一小(工一4)+4,

令尸=。，则有。=一$&一4)+4,解得：叼=4—4日(舍)，勺=4+破,

所以，该同学把实心球扔出(4+4⑸米.

【考点】二次函数的实际应用-抛球问题

分析：由题可知函数顶点坐标及点A的坐标，利用顶点式求二次函数表达式即可，再将y=0带入计

算即可。

24.解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，

设y=a(x-1)2+2.25,则当x=0时，y=1.25,故a+2.25=l,a=-l.

由y=0得-(x-1)2+2.25=0,得(x-l)?=2.25,解得xi=2.5,X2=-0.5(舍去)

故水池的半径至少要2.5米.

【考点】二次函数的实际应用-喷水问题

分析：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-l)2+2.25,再根据

x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.

25.解：设矩形花园N5CD的宽48为X米，则长BC为(30—X)米

&>8+2

由题意知，(30-x>16+2

解得10<x<12

S=J(3Q-X)=-x^+SQr

即S=-(x-1^+225(10<x<12)

显然，10<五〈12时5的值随x的增大而增大

所以，当x=12时，面积S取最大值

Srm«=12x(50-12)=216

答：符合要求的矩形花园面积S的最大值是216米2

【考点】二次函数的实际应用-几何问题

分析：设人8=*米，可知BC=(30-x)米，根据点尸到墙体DA.DC的距离分别是8米、16

米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出S关于x的函数关系式即可得出结论.

26.⑴解:当1WXV50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000,

当500XW90时，

y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000,

1-2x.2+180x+2000(1<x<50)

综上所述：y-I-120x+12000(50<x<90)

(2)解：当lWx<50时，

y=-2x2+180x+2000,

y=-2(x-45)2+6050.

；.a=-2<0,

二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45,

当x=45时，y城大=6050,

当50<x<90时，y随x的增大而减小，

当x=50时，y城大=6000,

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元

(3)解：根据题意得，y=(200-2x)(x+40-30-2a)=-2x2+(180+4a)x+2000-400a,

x+40>80,则x为0,即40WxV50,

函数的对称轴x=45+a,在40Vx<50内(a<5时)，

当x=45+a时，函数取得最大值，

即y=(200-2x)(x+40-30-2a)=(200-90-2a)(45+a+10-2a)=2(55-a)(55-a)=

5850,

即(55-a)=±^925=±15后

解得：a=55-15厄(不合题意的值已舍去)；

故a的值为55-15晅.

【考点】一次函数的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题

分析：(1)分成两种情况：①当握x<50时，②当50WXW90时，利用利润=每件的利润x销售的件

数，分别求出解析式即可；

(2)利用(1)结论，分别利用二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最值，然后比较即得；

(3)根据题意得y=(200-2x)(x+40-30-2a)=-2x2+(180+4a)x+2000-400a,

且40SXV50,函数的对称轴x=45+a,在40SXV50内(a<5时)可得当x=45+a时，函数

取得最大值，将x=45+a代入解析式中，得y=5850,可得关于a的一元二次方程，解出a并检验即

可.

27.(I)解：将A、C两点坐标代入抛物线，得

卜勺*36+6b+c=0

解得：lc=S,

44

抛物线的解析式为：y=~9x2-3x+8；

(2)解：如图，过点Q作QELBC于点E,

.•.AC=J。层+0cl=10,

AB_3

；.sin/ACB=8~AC~5,

3

；.QE=5(10-m),

113

二SACPQ=2CPXQE=2X5(10-m)m=-10m2+3m；

_3_J_15

(3)解：S=-10m2+3m=-10(m-5)2+2,

.•.当m=5时，S取最大值，

3

AQE=5(10-m)=3,EC=QExtan/ACB=4,

AQ(3,4)，

443

；y=~9x2-]x+8对称轴为x=W

AD(3,8),

如图，•?ADFQ的外心在DQ上，

3

设F(2,n),

9

则FD2+FQ2=DQ2即才+(8-n)2+(n-4)2=16,

£

解得n=6±2,

3£3£

；.F点的坐标为：(，，6+2),(2,6-2).

【考点】二次函数-动态几何问题

分析：(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

(2)过点Q作QELBC于点E,利用勾股定理求出AC的长，根据正弦三角函数的定义把高QE

用含m的代数式表示出来，则可求出S关于m的函数表达式；

(3)将S关于m的函数式配方，求出当m=5时，S有最大值，根据三角函数的定义求出QE的长,

则Q点坐标可求，再根据抛物线的解析式求出对称轴，进而求出D点坐标，根据外心的特点，可知

3

ZDFQ=90°,设F(笈，n)，最后根据勾股定理列式求出n值，则F点坐标可求.

28.(1)解：'-OCQ-2),

：.OC=2,

,,叩一支一-2__1

在放△48中，^£ABC-~OB-~OB-2,

.\OB=4,即50.0),

(16i-6+c=0

将点现4。电-2)代入抛物线的解析式得：k=—2,

解得lc=-2,

_1,3__

则此抛物线的解析式为y^2x2x~2；

(2)解：设直线BC的函数解析式为y=kx+b,

(4k+b=Qr=2

将点风4。电-2%弋入得：必=-2,解得U=-2,

则直线BC的函数解析式为y=ix~2,

当x=l时，即口CL—金，

则8=&一a+(一扛/=岑,

要使△尸CQ的面积最大，则需要点p到CD的距离最大，

设与直线BC平行的直线，的函数解析式为y=2x+d,则项1。醇=-2-d,

如图，过点C作废_L/于点E,则CE为直线BC与直线，间的距离，

在心△1?OC中，OB=4,BC=^0^+OC1=2J5,则8in/8B=^=

'：BCUl,

：.£CFE=ZOCB,

sinZCFE=sinZOCB=

在放△CEF中，sin£CFE=

解得C£=军L2f

」.d越小，CE越大，当直线，要与抛物线了=我一会一2有交点，

即当直线/与>="一当一2有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点p,

二3

-X2

y=2

61-

立

联=7-

整理得：2x2~2x~2~d=0,

则其根的判别式/1=4-4xI(-2-d)=0

解得d=-4,

2百班

则此时===Fx(-2+4)=+，

△FCO面积的最大值为lx2*牛=1,

将d=-4代入上2一以一2—d=0得：说中2,

当x=2时，”我”―卜2—2=-3,

△P8面积取得最大值时，点P的坐标为（Z一笏;

(3)解：对于y=

当P=o时，我一轰一2=0,解得x=-LX=4,

,.现460[0,-2),

，心=4+l=±AC=q?+e=4,后6=超十#=加,

.\AC1+BC1=AB1,

是直角三角形，且^ACB