锐角三角函数测试题

...wd......wd......wd...《锐角三角函数》测试卷考试时间：90分钟；题号一二三总分得分本卷须知：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第一卷〔选择题〕请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题〔共10小题，总分值30分，每题3分〕1．〔3分〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为〔〕A．B．C．D．2．〔3分〕如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值〔〕A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定3．〔3分〕假设锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是〔〕A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°4．〔3分〕如果α是锐角，且sinα=，那么cos〔90°﹣α〕的值为〔〕A．B．C．D．5．〔3分〕在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为〔〕A．B．1 C．D．6．〔3分〕把一块直尺与一块三角板如图放置，假设sin∠1=，则∠2的度数为〔〕A．120° B．135° C．145° D．150°7．〔3分〕计算：tan45°+sin30°=〔〕A．2 B．C．D．8．〔3分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，假设cos∠BDC=，则BC的长是〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．〔3分〕如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为〔〕A． B．C．5 D．10．〔3分〕如以以下图，AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是〔〕A．B． C．D．第二卷〔非选择题〕请点击修改第二卷的文字说明评卷人得分二．填空题〔共8小题，总分值24分，每题3分〕11．〔3分〕＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．12．〔3分〕假设α为锐角，且，则m的取值范围是．13．〔3分〕α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=度．14．〔3分〕∠A+∠B=90°，假设，则cosB=．15．〔3分〕对比大小：sin44°cos44°〔填＞、＜或=〕．16．〔3分〕∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是．17．〔3分〕将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列．18．〔3分〕计算：tan44°•tan45°•tan46°=．评卷人得分三．解答题〔共10小题，总分值66分〕19．〔10分〕〔1〕计算：sin45°．(2)计算〔3﹣π〕0+﹣2cos60°．20．〔8分〕如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，假设轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的不安全〔≈1.732〕20．〔8分〕放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米〔风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果准确到1米〕．21．〔8分〕目前，崇明县正在积极创立全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗请说明理由．〔参考数据：，〕22．〔8分〕如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最正确时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm〔结果准确到0.1cm，参考数据：≈1.732〕23．〔8分〕如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以一样的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．〔参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20〕．24．〔8分〕如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．〔结果保存根号〕25．〔8分〕如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．〔准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比〕．26．〔8分〕△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长2017年11月30日老九的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题，总分值30分，每题3分〕1．〔3分〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为〔〕A． B． C． D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，∴sinA==，应选：B．【点评】此题考察的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．2．〔3分〕如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值〔〕A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．应选：C．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．3．〔3分〕假设锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是〔〕A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【专题】12：应用题．【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°=0，tan60°=，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．应选B．【点评】此题主要考察了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．〔3分〕如果α是锐角，且sinα=，那么cos〔90°﹣α〕的值为〔〕A． B． C． D．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos〔90°﹣α〕=sinα=．应选B．【点评】此题考察了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的根基．5．〔3分〕在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为〔〕A． B．1 C． D．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，cosA=，得sinB=．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=，应选：C．【点评】此题考察了互为余角三角函数的关系，一个角的余弦等于它的余角的正弦．6．〔3分〕把一块直尺与一块三角板如图放置，假设sin∠1=，则∠2的度数为〔〕A．120° B．135° C．145° D．150°【考点】T5：特殊角的三角函数值；JA：平行线的性质．【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．应选B．【点评】此题考察了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．7．〔3分〕计算：tan45°+sin30°=〔〕A．2 B． C． D．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】11：计算题．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．应选C．【点评】此题考察了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．8．〔3分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，假设cos∠BDC=，则BC的长是〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．应选A．【点评】此题主要考察了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．9．〔3分〕如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为〔〕A． B． C．5 D．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16：压轴题．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．应选C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．10．〔3分〕如以以下图，AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是〔〕A． B． C． D．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16：压轴题．【分析】过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．【解答】解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．应选B．【点评】考察等腰三角形的性质和三角函数的性质．二．填空题〔共8小题，总分值24分，每题3分〕11．〔3分〕＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A＜30°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【点评】此题主要考察了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°=cos20°是解题关键．12．〔3分〕假设α为锐角，且，则m的取值范围是．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．13．〔3分〕α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=30度．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，假设sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos〔90°﹣60°〕，∴cosα=cos〔90°﹣60°〕=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】此题考察了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．〔3分〕∠A+∠B=90°，假设，则cosB=．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由∠A+∠B=90°，假设，得cosB=，故答案为：．【点评】此题考察了互为余角三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．15．〔3分〕对比大小：sin44°＜cos44°〔填＞、＜或=〕．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°=sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进展分析．【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】此题考察了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．同时考察了互余两角的三角函数的关系．16．〔3分〕∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是0°＜∠A＜45°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数值的变化规律正弦值随着角的增大而增大可以求出∠A的取值范围．【解答】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°．【点评】考察了锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．17．〔3分〕将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】把正弦转化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，余弦值是随着角的增大而减小这一规律进展排列．【解答】解：∵sin20°=cos70°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【点评】此题主要考察锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增大，余弦和余切反之．18．〔3分〕计算：cot44°•cot45°•cot46°=1．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1．【点评】此题考察了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．三．解答题〔共10小题，总分值80分，每题8分〕19．〔8分〕如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，假设轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的不安全〔≈1.732〕【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里对比，确定轮船继续向前行驶，有无触礁不安全．【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁不安全理由如下：如以以下图．则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的不安全．【点评】此题主要考察了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．20．〔8分〕放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米〔风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果准确到1米〕．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH﹣BH=AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD﹣BD的长，即可解题．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=x，∵AH﹣BH=AB=10米，∴x﹣x=10，∴x=5〔+1〕，∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣x=〔2﹣〕×5〔+1〕≈〔2﹣1.414〕×5×〔1.732+1〕≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．【点评】此题考察了直角三角形的运用，考察了30°角所对直角边是斜边一半的性质，此题中求得DH的长是解题的关键．21．〔8分〕目前，崇明县正在积极创立全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗请说明理由．〔参考数据：，〕【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100〔米〕，BH=BC•cos60°=100〔米〕，∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73〔m〕，∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．【点评】此题主要考察了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．22．〔8分〕如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最正确时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm〔结果准确到0.1cm，参考数据：≈1.732〕【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据sin30°=，求出CM的长，根据sin60°=，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最正确时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=16cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=21，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用，根据求出CM，BF的长是解决问题的关键．23．〔8分〕如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以一样的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．〔参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20〕．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】12：应用题．【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900〔米〕．答：这座山的高度是1900米．【点评】此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于根基题，要能将实际问题转化为数学计算．24．〔8分〕如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．〔结果保存根号〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20〔m〕．答：这栋楼高为〔20+20〕m．【点评】此题考察了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键．