2024届云南省石林彝族自治县民族中学数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2024届云南省石林彝族自治县民族中学数学高二第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则A,B两地之间的球面距离为（）A． B． C． D．2．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有()A．24种 B．16种 C．12种 D．10种3．已知，，，，若（、均为正实数），根据以上等式，可推测、的值，则等于（）A． B． C． D．4．是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A． B． C． D．6．已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是()A． B．C． D．7．已知a＝，b＝，c＝，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a8．已知，则()A．11 B．12 C．13 D．149．已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（）A．与异面. B．与相交.C．与平行. D．与异面、相交、平行均有可能.10．若关于x的不等式对任意的恒成立，则可以是（）A．， B．，C．， D．，11．设，且，则下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．12．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，现将ΔABC绕BC所在直线旋转至ΔPBC，设二面角P-BC-A的大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0<θ<π，则（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在闭区间上的最大值为__________．14．若函数的定义域为，则实数的取值范围为．15．已知P是底面为正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面与棱交于点D．若，则三棱锥的体积为_____．16．已知复数（，为常数，）是复数的一个平方根，那么复数的两个平方根为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在极坐标系中，直线，为直线上一点，且点在极轴上方以为一边作正三角形（逆时针方向），且面积为.（1）求点Q的极坐标；（2）写出外接圆的圆心的极坐标，并求外接圆与极轴的相交弦长.18．（12分）设数列an的前n项和为Sn且对任意的正整数n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表达式并证明19．（12分）已知．（1）设，①求；②若在中，唯一的最大的数是，试求的值；（2）设，求．20．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.广告投入/万元12345销售收益/万元23257（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；（Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.附：，21．（12分）的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.22．（10分）如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据纬线圈上的弧长为求出A,B两地间的径度差，即可得出答案。【题目详解】设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则Rcos=,∴=,即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=,∴A,B两地之间的球面距离为．答案：D．【题目点拨】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。2、C【解题分析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.3、B【解题分析】

根据前面几个等式归纳出一个关于的等式，再令可得出和的值，由此可计算出的值.【题目详解】，，，由上可归纳出，当时，则有，，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.4、B【解题分析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【题目点拨】本题考查了充分必要条件，属于简单题.5、B【解题分析】

分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.6、A【解题分析】由，即，从而，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.7、D【解题分析】

分别考查指数函数在R上单调性和幂函数在（0，+∞）上单调性即可得出．【题目详解】∵y＝在R上为减函数，>，∴b<c.又∵y＝在(0，＋∞)上为增函数，>，∴a>c，∴b<c<a.故选：D【题目点拨】熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．8、B【解题分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去)；∴n的值为12.故选：B.9、D【解题分析】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．10、D【解题分析】

分别取代入不等式，得到答案.【题目详解】不等式对任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案为D【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键.11、D【解题分析】

逐一分析选项，得到正确答案.【题目详解】由已知可知，可以是正数，负数或0，A.不确定，所以不正确；B.当时，两边同时乘以，应该，所以不正确；C.因为有可能等于0，所以，所以不正确；D.当时，两边同时乘以，，所以正确.故选D.【题目点拨】本题考查了不等式的基本性质，属于简单题型.12、C【解题分析】

由题意画出图形，由线面角的概念可得α的范围，得到C正确，取特殊情况说明A，B，D错误．【题目详解】如图，ΔABC为等腰直角三角形，AC=BC，将ΔABC绕BC所在直线旋转至ΔPBC，则PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一条斜线，则PC与平面ABC垂直时，PB与平面ABC所成角最大，则α的范围为(0，π4]，故此时α<θ，故A错误；当PC与平面ABC垂直时，三棱锥C-PAB满足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，则PA=PB=AB，设AC=BC=1，则PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影为ΔPAB求得OP=63，即PC与平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63当θ无限接近0时，β无限接近π4，β>θ，故B综上，正确的选项是C．故选：C．【题目点拨】本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

先求出函数的导数，在闭区间上，利用导数求出函数的极值，然后与进行比较，求出最大值.【题目详解】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即，，，所以函数在闭区间上的最大值为3.【题目点拨】本题考查了闭区间上函数的最大值问题.解决此类问题的关键是在闭区间上先利用导数求出极值，然后求端点的函数值，最后进行比较，求出最大值.14、【解题分析】试题分析：要使函数的定义域为，需满足恒成立．当时，显然成立；当时，即．综合以上两种情况得．考点：不等式恒成立问题．15、【解题分析】

由题意画出图形，求出AD的长度，代入棱锥体积公式求解．【题目详解】如图，∵P为上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．设平面BCD交AP于F，连接DF并延长，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，则tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱锥D﹣ABC的体积为V．故答案为．【题目点拨】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16、,【解题分析】

由题可知,再对开根号求的两个平方根即可.【题目详解】由题,故,即,故复数的两个平方根为与故答案为：,【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算,运用即可联系与的关系,属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），弦长为2【解题分析】

（1）设，由面积为，得，结合直线l方程可得解，由于为以为一边的正三角形，因此的极角为，结合可得解.（2）由于为正三角形，可得到其外接圆的半径，圆心，求解圆心到极轴的距离，即可得解.【题目详解】解：（1）直线，设，由面积为得，，故由于为以为一边的正三角形（逆时针方向）因此的极角为.且，所以，．（2）由于为正三角形，得到其外接圆的半径，圆心，圆心到极轴的距离，外接圆与极轴的相交弦长为.【题目点拨】本题考查了极坐标几何意义的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、（1）12,23【解题分析】

（1）分别代入n=1,2,3计算即可求解；（2）猜想:Sn=【题目详解】当n=1,S当n=2,当n=3,（2）猜想:Sn证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k(k≥1且k∈N*)则当n=k+1时，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1时,猜想也成立.综合①②得Sn【题目点拨】本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题19、（1）①；②或；（2）.【解题分析】

（1）根据题意，得到；①令，即可求出结果；②根据二项展开式的通项公式，先得到通项为，再由题意，得到，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到，进而得出，化简，再根据二项式系数之和的公式，即可求出结果.【题目详解】（1）因为，①令，则；②因为二项式展开式的通项为：，又在中，唯一的最大的数是，所以，即，解得，即，又，所以或；（2）因为，根据二项展开式的通项公式，可得，，所以，则.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项公式定理即可，属于常考题型.20、(1).(2).(3).【解题分析】分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可得，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当时，销售收益预测值，再求残差值.详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可知，故.（Ⅱ）由题意，可知，，，，根据公式，可求得，，所以关于的回归方程为.（Ⅲ）当时，销售收益预测值（万元），又实际销售收益为万元，所以残差点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21、（1），；（2）.【解题分析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.22、（1）；（2）存在,使得.【解题分析】分析：(1)在椭圆上，所以满