微积分下学期末试卷及答案

微积分下期末试题〔一〕一、填空题(每题3分,共15分),那么_____________.,那么___________.3、函数在点取得极值.4、,那么__1______.5、以(为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每题3分,共15分知与均收敛,那么常数的取值范围是(C).(A)(B)(C)(D)数在原点间断,是因为该函数(B).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、假设,,,那么以下关系式成立的是(A).(A)(B)(C)(D)9、方程具有特解(D).(A)(B)(C)(D)10、设收敛，那么(D).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且时，。于是12、求二重极限.解：原式(3分)(6分)13、由确定，求.解：设，那么，，，(3分)(6分)14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解：令,得,,为极小值点.(3分)故在下的极小值点为,极小值为(6分)15、计算.解：(6分)16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.解：＝＝(6分)17、解微分方程.解：令,,方程化为,于是(3分)(6分)18、判别级数的敛散性.解：(3分)因为19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于,,,(3分)那么,.(6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:，求最优广告策略解：公司利润为令即得驻点,而(3分),,,,所以最优广告策略为：电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元).(6分)四、证明题(每题5分,共10分)21、设，证明：.证：22、假设与都收敛,那么收敛.证：由于,(3分)并由题设知与都收敛,那么收敛,从而收敛。(6分)微积分下期末试题〔二〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。答案〔〕2、计算广义积分=。答案〔〕3、设，那么。答案〔〕4、微分方程具有形式的特解.答案〔〕5、设，那么_________。答案〔1〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔A〕A.3B.0C.2D.不存在2、和存在是函数在点可微的〔A〕。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔D〕。A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，那么其通解为〔C〕。A.；B.；C.；D.5、无穷级数(为任意实数)〔D〕A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有…〔3分〕方程两边对求导得:,有…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以是函数的极大值点，且…〔4分〕对有，，，于是，不是函数的极值点。6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：.…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：=…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求解微分方程=0。解：令，那么，于是原方程可化为：…〔3分〕即，其通解为…〔5分〕即故原方程通解为：…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。证：，…〔3分〕而由收敛，故由比拟原那么，也收敛。…〔5分〕2、设,其中为可导函数,证明.证明：因为,…〔2分〕…〔4分〕所以.…〔5分〕微积分下期末试题〔三〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。答案〔〕2、计算广义积分=。答案〔〕3、设，那么。答案〔〕4、微分方程具有形式的特解.〔〕5、级数的和为。答案〔〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔B〕A、0B、3C、2D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的〔B〕A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔B〕A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，那么其通解为〔D〕A、；B、；C、；D、5、无穷级数(为任意实数)〔A〕A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：〔一〕令那么，，利用公式，得…〔3分〕…〔6分〕〔二〕在方程两边同时对x求导，得解出，…〔3分〕同理解出…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以点不是函数的极值点.…〔4分〕对有，，，于是，且，所以函数在点取得极小值,…〔6分〕…〔5分〕6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；解：…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求微分方程的通解。解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，那么，于是原方程降阶为…〔3分〕，别离变量，积分得即，从而…〔5分〕再积分一次得原方程的通解 y＝…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设级数收敛，证明也收敛。证：由于，…〔3分〕而,都收敛，故收敛，由比拟原那么知收敛.。…〔5分〕2、设,证明:。证明：因为,…〔2分〕,,…〔4分〕所以…〔5分〕微积分下期末试题及答案〔四〕一、选择题(每题2分)1、设定义域为〔1,2〕，那么的定义域为〔〕A、〔0,lg2〕 B、〔0，lg2 C、〔10,100〕 D、〔1,2〕2、x=-1是函数=的〔〕A、跳跃间断点 B、可去间断点C、无穷间断点 D、不是间断点3、试求等于〔〕A、B、0C、1D、4、假设，求等于〔〕A、B、C、D、5、曲线的渐近线条数为〔〕A、0 B、1 6、以下函数中，那个不是