2024届揭阳市重点中学数学高二下期末考试模拟试题含解析

2024届揭阳市重点中学数学高二下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为A． B． C． D．R2．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.设随机变量为该射手在次射击中击中目标的次数，若，，则和的值分别为（）A．5， B．5， C．6， D．6，3．把四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种4．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A． B． C． D．5．已知函数则函数的零点个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．46．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知，，那么等于（）A． B． C． D．8．若，则()A． B． C．或 D．或9．若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣810．已知一段演绎推理：“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，则这段推理的()A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误11．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（）个A． B． C． D．12．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知球O的半径为R，点A在东经120°和北纬60°处，同经度北纬15°处有一点B，球面上A，B两点的球面距离为___________；14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.15．已知随机变量服从正态分布，若，则________．16．若函数的单调递增区间是，则的值是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足：，（R，N*）．（1）若，求证：；（2）若，求证：．18．（12分）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89111．41．41．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值．20．（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示：几何题代数题合计男同学22830女同学81220合计302050（1）能否据此判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.附表：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中.21．（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.22．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且，求△ABD的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为，利用导数得到的单调性，得解集．【题目详解】原不等式化为，令，则，对任意的，都有成立，恒成立，在R上递减，，的解集为，故选：A．【题目点拨】此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。2、B【解题分析】

通过二项分布公式及可得答案.【题目详解】根据题意，，因此，，解得，故选B.【题目点拨】本题主要考查二项分布的相关公式，难度不大.3、C【解题分析】

先从4个球中选2个组成复合元素，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子，即可得出答案.【题目详解】从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.【题目点拨】本题主要考查了排列与组合的简单应用，属于基础题.4、A【解题分析】

取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。【题目详解】取BD中点，由，，又侧面底面BCD，所以。所以为直线AC与底面BCD所成角。,所以。选A.【题目点拨】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。5、B【解题分析】画出函数的图像如图，由可得，则问题化为函数与函数的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。6、A【解题分析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。详解：因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选A点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。7、B【解题分析】

根据条件概率公式得出可计算出结果.【题目详解】由条件概率公式得，故选B.【题目点拨】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.8、B【解题分析】

根据组合数的公式，列出方程，求出的值即可．【题目详解】∵，∴，或，解得（不合题意，舍去），或；∴的值是1．故选：B．【题目点拨】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．9、C【解题分析】

利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解.【题目详解】因为的解集为，所以和是方程的根，所以解得.故选：C.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10、A【解题分析】

分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，结合指数函数的图象和性质判断正误，可以得出正确的答案．【题目详解】该演绎推理的大前提是：指数函数是增函数，小前提是：是指数函数，结论是：是增函数．其中，大前提是错误的，因为时，函数是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．【题目点拨】本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题．11、A【解题分析】

分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。【题目详解】相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种相同数为1时，四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种则共有种故选A【题目点拨】本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。12、A【解题分析】

首先由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案.【题目详解】由题意可得，第一个式子解得或；第二个式子化简为，令，则，解得或，则或，则或.即或.综上，实数的取值范围为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查以函数定义域为背景的恒成立问题，二次型函数的恒成立问题一般借助判别式进行处理，本题同时兼顾考查了对数的运算性质，综合性较强，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解题分析】

根据纬度差可确定，根据扇形弧长公式可求得所求距离.【题目详解】在北纬，在北纬，且均位于东经两点的球面距离为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够通过纬度确定扇形圆心角的大小，属于基础题.14、1【解题分析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．15、0.4558【解题分析】

随机变量服从正态分布，，根据对称性可求得的值，再根据概率的基本性质，可求得.【题目详解】因为，所以，故．所以．故答案为：0.4558.【题目点拨】本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.16、1【解题分析】分析：求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求的单调区间；详解：若，则，即在上单调递增，不符题意，舍；

若，令，可得或（舍去）x(0，2−aa2−aa（2−aaf′（x）-0+f（x）减增)，+∞）∴在上是减函数，在上是增函数；根据题意若函数的单调递增区间是，则即答案为1.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）用数学归纳法证明结论即可；（2）因为（N*），则，然后用反证法证明当时有矛盾，所以原不等式成立即可.【题目详解】（1）当时，．下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；②假设当时，有成立，则当时，因，所以时结论也成立．综合①②可知（N*）成立．（2）因为（N*），则，若，则当时，，与矛盾．所以．【题目点拨】本题考查数列的递推公式、数学归纳法证明、反证法等知识，属于中档题.18、（1）1.36；（2）见解析，9.2【解题分析】

（1）先计算两次命中8环，9环，11环的概率，然后可得结果.（2）列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果.【题目详解】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中11环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，11，，，的分布列为89111．161．481．36【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，重在于对随机变量的取值以及数学期望的公式的掌握，属基础题.19、（1），；（2）1【解题分析】

(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；(2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．【题目详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：－3－21＋0－0＋8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为1．【题目点拨】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20、（1）有；（2）.【解题分析】

(1)计算与5.024比较，即可判断是否有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关.（2）显然，可直接利用公式计算数学期望和方差.【题目详解】(1)由列联表知故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关(2)由表知20位女生选几何题的频率为，故；.【题目点拨】本题主要考查独立性检验统计思想，二项分布的数学期望和方差的计算.意在考查学生的计算能力，阅读理解能力和分析能力，难度不大.21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.【题目详解】（1）证明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，由题知，平面，∴为平面的一个法向量，设，则，∴，设平面的一个法向量为，则，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.【题目点拨】本题主要考查空间