2024届南昌市第二十八中学数学高二下期末综合测试试题含解析

2024届南昌市第二十八中学数学高二下期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．1 B．2 C． D．2．设，则（）A． B． C． D．3．若|x﹣1|≤x|x+1|，则（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x4．若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为（）A．最大值为2，没有最小值 B．最小值为2，没有最大值C．既没有最大值也没有最小值 D．最小值为1，最大值为25．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．6．函数的图象大致为（）A． B．C． D．7．已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A． B． C． D．9．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A． B． C． D．10．在等差数列中，，则（）A．45 B．75 C．180 D．36011．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（）A． B． C． D．12．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在圆上，点在椭圆上，，则的最小值为__________．14．若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．15．由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．16．直线：，：.则“”是“与相交”的__________条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过两点，．（1）求圆C的方程；（2）若点P在圆C上，求点P到直线的距离的最小值．18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.19．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.20．（12分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.天数12345678910空气质量指数天数11121314151617181920空气质量指数(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.21．（12分）在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，边上的中线，求的面积.22．（10分）在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。(1)求点的轨迹的方程；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.【题目详解】，，.故选D.【题目点拨】本题主要考查复数的模计算，较基础.2、A【解题分析】

根据复数除法运算得到，根据复数模长定义可求得结果.【题目详解】，.故选：.【题目点拨】本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3、A【解题分析】

对按照，，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.【题目详解】①当时，，即，解得所以②当时，，即解得或所以③当时，，即解得所以综上所述，故选A项.【题目点拨】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.4、C【解题分析】分析：先根据公切线求出，再研究函数的最值得解.详解：当a≠0时，显然不满足题意.由得，由得.因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则将代入得，由得，设当x＜2时，，f(x)单调递减，当x＞2时，，f(x)单调递增.或a<0.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.5、A【解题分析】

构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.6、A【解题分析】

根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在区间（0，）上，有f（x）＞0，据此分析选项，即可得答案．【题目详解】根据题意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f（x），则f（x）为偶函数，排除C、D，当x＞0时，f（x）＝lnx（lnx+1），在区间（0，）上，lnx＜﹣1，则有lnx+1＜0，则f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除B；故选：A．【题目点拨】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．7、A【解题分析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为，则，，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得，当0<λ<时,△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立，故λ的取值范围为(0,).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．8、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】由题意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）•（﹣i），∴z＝2﹣i．则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9、C【解题分析】

从袋中任取2个球，基本事件总数n．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m，利用古典概型公式可得所求．【题目详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n1．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m24，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p．故选C．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、C【解题分析】

由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【题目详解】由，得到，则．故选C.【题目点拨】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.11、D【解题分析】

计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.【题目详解】由题意得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.12、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据题意，详解：根据题意，当三点共线时.点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE求法，属难题.14、【解题分析】

当时，不等式显然成立；当时，不等式恒成立等价于恒成立，运用基本不等式可得的最小值，从而可得的范围．【题目详解】当时，不等式显然成立；当时，不等式恒等价于恒成立，由，当且仅当时，上式取得等号，即有最小值，所以，故答案为【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题、分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.15、【解题分析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=16、必要不充分【解题分析】分析：先根据直线相交得条件，再根据两个条件关系确定充要性.详解：因为与相交，所以所以“”是“与相交”的必要不充分条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）设圆心在轴上的方程是，代入两点求圆的方程；（2）利用数形结合可得最短距离是圆心到直线的距离-半径.【题目详解】解：（1）由于圆C的圆心在x轴上，故可设圆心为，半径为，又过点，，故解得故圆C的方程．（2）由于圆C的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，又点P在圆C上，故点P到直线的距离的最小值为．【题目点拨】本题考查了圆的方程以及圆有关的最值问题，属于简单题型，当直线和圆相离时，圆上的点到直线的最短距离是圆心到直线的距离-半径，最长的距离是圆心到直线的距离+半径.18、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;受访职工评分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解题分析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.【题目详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减；时在单调递增.时，在单调递减，在上单调递增.（II）当时，由于在上单调递增且故唯一存在使得即故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故又且在上单调递增，故即依题意：有解，故又故【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；

（2）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．试题解析：(1)解：由表中数据可知，空气质量指数不低于的天数是12天，即空气质量为优良的天数是12天.记“至少有2天空气质量为优良”为事件，方法1：；方法2：.(2)20天中优良天数的概率为.于是估计我市总体空气质量优良天数的概率为，因此服从参数为，的二项分布.即.所有可能取值为0，1，2，3.所以，，，.故的分布列为：0123所以的数学期望为：.21、(1)(2)1【解题分析】

（1）利用三