第04讲 素数、合数与分解素因数（6种题型）（原卷版）

第04讲素数、合数与分解素因数（6种题型）【知识梳理】一、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．二、分解素因数1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．2、口算法分解素因数例如：．3.用树枝分解法分解素因数例如：常常适用于较小数目4、短除法分解素因数3557形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法3557用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．例如：用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误：第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。第二最后的商还是合数。如：一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。三、【考点剖析】题型一：素数与合数例1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）在1至10，这10个正整数中，素数共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式】（2021·上海·青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是______．例2.判断37，39，47和49是素数还是合数．【变式】最小的素数是_____，最小的合数是____.例3．（2021·上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（）A．奇数都是素数 B．偶数都是合数C．合数不都是偶数 D．素数都是奇数【变式】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：是奇数又是素数的数是（ ）；是奇数不是素数的数是（ ）；是素数而不是奇数的数是（ ）；是合数而不是偶数的数是（ ）．题型二：素数与合数的应用例4．（2021·上海黄浦·期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是_______．【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：，其中A既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；D是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是_________．【变式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（）A.；B.；C.；D..【变式3】阅读理解：截尾素数73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.【变式4】如果m和n是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n的值是.【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称："l＋1"。如，等等。众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例.这就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.，或者.你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？.题型三：素因数的含义例5.在等式中，4和6都是的（），2和3都是的（）A．素因数 B．素数 C．因数 D．合数【变式1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）A=235，B=2235．Ａ与Ｂ公有的素因数是_____________________．题型四：分解素因数例6.把24分解素因数的正确算式是（）A． B．C． D．【变式1】把以下各数分解素因数：35，72，105，108，238．【变式2】把18分解素因数，那么18=.【变式3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下面各数分解素因数有没有错误？如果有错，请改正在横线上.（1）36=1×2×2×3×3

_________________________；（2）210=3×7×10

_________________________；（3）2×3×3×3×3=162_________________________.【变式4】（2021·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．例7.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）用短除法分解下面各数的素因数．32

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⑶85题型五：互素例8．（2021·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（

）A．所有合数都是偶数 B．所有素数都是奇数C．两个素数一定互素 D．两个连续的正整数一定互素【变式1】（2021·上海浦东新·期中）下列整数中，与12互素的是（

）A．2 B．3 C．21 D．47【变式2】下列各组数中，互素的是（）A.4和9；B.12和8；C.11和44；D.39和13.【变式3】（2021·上海市彭浦初级中学期中）下面各数中，与6互素的合数是（）A．5 B．10 C．25 D．30【变式4】（2021·上海市民办新竹园中学期中）在10的所有因数中，互素的数共有______对．题型六：分解素因数的应用例9.（2021·上海市民办新竹园中学期中）四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是______．【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）两个素数的积是58，则这两个素数的和是_____．【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）两个素数的和是20，积是91，这两个素数分别是_______和________.【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海·六年级专题练习）在51＝317中，3和17都是51的(

)A．素因数 B．倍数 C．素数 D．质数2．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下面说法正确的是（

）A．最小的素数是1；B．一个合数至少有3个因数；C．因为，所以能被整除；D．16的因数有2，4，8，16．3．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）两个正奇数的和是（

）A．奇数 B．素数 C．偶数 D．素因数4．（2022秋·六年级校考单元测试）下列各组数中，不是互素的有（

）A．和 B．和 C．和 D．和5．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）下列各式中表示分解素因数的式子是（

）A．； B．； C．； D．．6．（2022秋·上海·六年级专题练习）12的素因数是(

)A．2，2，3 B．1，2，3 C．4，6，12 D．1，2，3，47．（2022秋·六年级校考单元测试）在正整数32，47，71，91，93中，素数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题8．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将15写成两个素数相加的形式是____________．9．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）分解素因数___________________．10．（2023·上海·六年级假期作业）如果A是不超过2017的所有质数的乘积，那么A的末尾数字有连续___________个0．11．（2023·上海·六年级假期作业）如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________．12．（2023·上海·六年级假期作业）在20以内的合数中，是3的倍数的数是()，并用括号中的数组成比例，这个比例是()．13．（2023·上海·六年级假期作业）用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是___________．14．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031，如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是___________．15．（2022秋·上海黄浦·六年级统考期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）