2024届天津市四合庄中学数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2024届天津市四合庄中学数学高二第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．2．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为，且，则（）A．1 B． C． D．23．在三棱锥中，，点为所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线4．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．15．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩6．设M为曲线C:y=2x2+3x+3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-7．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．9．已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知集合，，在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为（）A． B． C． D．11．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（）A． B．C． D．12．已知，且，则等于()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是______.14．抛物线的准线方程是________.15．的平方根是________.16．已知函数，若函数y=f（x）﹣m有2个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求；（2）若，的面积为，求，的值.18．（12分）设，（为自然对数的底数)．（1）记①讨论函数单调性；②证明当时，恒成立.（2）令设函数有两个零点，求参数的取值范围.19．（12分）已知虚数满足.（1）求的取值范围；（2）求证：是纯虚数.20．（12分）如图，在中，D是边BC上一点，，，．（1）求DC的长；（2）若，求的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.22．（10分）已知复数（a，），（c，）.（1）当，，，时，求，，；（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【题目详解】且，则即解得故答案选A【题目点拨】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.2、C【解题分析】

由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且，先由求出，然后即可算出【题目详解】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且因为，所以所以故选：C【题目点拨】本题考查的是二项分布的知识，若，则，.3、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【题目详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任一点，则，由题与所成角为定值，，则则，化简得，故动点的轨迹是椭圆.选B【题目点拨】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.4、B【解题分析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【题目详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【题目点拨】本题考查了二项系数和，属于基础题型.5、D【解题分析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【题目详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【题目点拨】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.6、D【解题分析】

求出导函数y'，倾斜角的范围可转化为斜率的范围，斜率就是导数值，由可得y'的不等式，解之可得．【题目详解】由题意y'=4x+3，切线倾斜角的范围是[3π4,π)，则切线的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故选D．【题目点拨】本题考查导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是其图象在该点处的切线的斜率．解题时要注意直线倾斜角与直线斜率之间的关系，特别是正切函数的性质．7、B【解题分析】

利用期望与方差性质求解即可．【题目详解】；．故，．故选．【题目点拨】考查期望与方差的性质，考查学生的计算能力．8、C【解题分析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【题目详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．9、B【解题分析】

先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.【题目详解】由等式，可得，即，即（为常数），，则，，因此，，，令，得或，列表如下：极小值极大值函数的极小值为，极大值为，且，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.另一方面，，则，由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【题目点拨】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．10、D【解题分析】

利用线性规划可得所在区域三角形的面积，求得圆与三角形的公共面积，利用几何概型概率公式可得结果.【题目详解】表示如图所示的三角形，求得，，点到直线的距离为，所以，既在三角形内又在圆内的点的轨迹是如图所示阴影部分的面积，其面积等于四分之三圆面积与等腰直角三角形的面积和，即为，所以在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为，故选D.【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.11、C【解题分析】

求得的值，再除以，由此求得表达式的值.【题目详解】因为，所以．故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.12、A【解题分析】

令，即可求出，由即可求出【题目详解】令，得，所以，故选A。【题目点拨】本题主要考查赋值法的应用。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题设条件得出是函数的最大值或最小值，从而得到，结合，最后得到，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间.【题目详解】解:若对恒成立,则等于函数的最大值或最小值,即,则,又,即令,此时,满足条件令,解得.则的单调递增区间是.故答案为:.【题目点拨】本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.14、【解题分析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.15、【解题分析】

根据得解.【题目详解】由得解.【题目点拨】本题考查虚数的概念，属于基础题.16、m=2或m≥3【解题分析】分析：画出函数的图象，结合图象，求出m的范围即可.详解：画出函数的图象，如图：若函数y=f（x）﹣m有2个零点，结合图象：或.故答案为：或.点睛：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2).【解题分析】分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出A的值；（2）利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.详解：（1）由题意可得：，，，，（2），，，.点睛：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用.18、（1）①在为减函数，在上为增函数②见证明；（2）【解题分析】

（1）①对函数求导，判断其单调性即可。②转化成证明的问题，从而证明在时的最小值大于0。（2）首先对求导数，讨论其单调性，结合图像即可得到有两个零点时的取值范围。【题目详解】（1）①由题意得所以因为所以当时为增函数，当时为减函数②证明:当时,恒成立,等价于证明当时,恒成立。因为，因为，则。因为，所以，所以在上为增函数。因为，所以在上为增函数。又因为，所以（2）当时，为增函数。，为减函数。有两个零点当时，令当时在和上为增函数，在上为减函数。此时有三个零点（舍弃）当同理可得有三个零点（舍弃）当时，，此时有两个零点。综上所述【题目点拨】本题主要考查了根据导数判断单调性以及函数恒成立问题，在解决第二问函数零点问题时，转化成判断函数单调性以及极值的问题。属于难题。19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

先设，（且），由得；可将看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；（1）由表示点与定点之间的距离，根据定点到圆上的动点的距离，即可得出结果；（2）根据复数运算法则，直接计算，即可得出结果.【题目详解】设，（且），因为，所以，因此可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；（1）表示点与定点之间的距离；又点到坐标原点的距离为，所以（为单位圆半径），因此；（2），因此是纯虚数.【题目点拨】本题主要考查求复数的模，以及复数的四则运算，熟记复数运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.20、（1）3（2）【解题分析】

（1）在中，中分别使用正弦定理，结合，，即，即得解；（2）在中，中分别使用余弦定理，结合，可解得，分别计算，又可得解.【题目详解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因为，所以，所以．从而有，即．又，所以．（2）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因为，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面积．【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21、(1).(