宁夏银川市兴庆区一中2024届数学高二下期末教学质量检测试题含解析

宁夏银川市兴庆区一中2024届数学高二下期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题若实数满足，则或，，，则下列命题正确的是()A． B． C． D．2．设随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．与的值有关3．若双曲线x2a2-yA．52 B．5 C．624．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：符合的点的轨迹围成的图形面积为8；设点是直线：上任意一点，则；设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；设点是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A． B． C． D．5．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（）A． B．C． D．复数在复平面内表示的点在第四象限6．，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为（）A． B． C． D．7．已知随机变量，若，则，分别为（）A．和 B．和 C．和 D．和8．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为，其中，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A．42万元 B．45万元 C．48万元 D．51万元9．,若,则的值等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．11．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．12．现有下面三个命题常数数列既是等差数列也是等比数列；；直线与曲线相切.下列命题中为假命题的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．14．若函数在存在零点（其中为自然对数的底数），则的最小值是__________.15．不等式的解集是_________.16．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的标准差为，数据，，，，的标准差为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,棱锥P-ABCD的地面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.18．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若，求证：在上恒成立.19．（12分）如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.20．（12分）已知命题方程表示双曲线，命题点在圆的内部.若为假命题，也为假命题，求的取值范围.21．（12分）函数(为实数).(1)若，求证：函数在上是增函数；(2)求函数在上的最小值及相应的的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.22．（10分）某种子培育基地新研发了两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表：（1）将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的型号的种子数为，求的分布列与期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由题意可知，p是真命题，q是假命题，则是真命题.本题选择C选项.2、A【解题分析】分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得，从而求出即可.详解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，，而与关于对称，由正态曲线的对称性得：，故.故选：A.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.3、A【解题分析】

由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率e的方程即可．【题目详解】∵双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，∴-bb2a2=c2故选A．【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．4、D【解题分析】

根据新定义由，讨论、的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；根据等于1或都能推出最小的点有无数个可判断其错误；把的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得的最大值说明命题正确．【题目详解】由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；为直线上任一点，可得，可得，当时，；当时，；当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；，当时，，满足题意；而，当时，，满足题意，即都能“使最小的点有无数个”，不正确；点是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设，，，，，，正确．则正确的结论有：、、，故选D．【题目点拨】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5、B【解题分析】

由复数的乘法除法运算求出，进而得出答案【题目详解】由题可得，在复平面内表示的点为，位于第二象限，，故A,C,D错误；，，故B正确；【题目点拨】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题．6、B【解题分析】分析：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，从而即可得到答案.详解：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，则不站在两头的概率为.故选：B.点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7、C【解题分析】

利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【题目详解】，，.，，由期望和方差的性质可得，.故选：C.【题目点拨】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．8、C【解题分析】

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，则线性回归方程可求，取求得y值即可．【题目详解】，，样本点的中心的坐标为，代入，得．关于x得线性回归方程为．取，可得万元．故选：C．【题目点拨】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．9、D【解题分析】试题分析：考点：函数求导数10、B【解题分析】

将直线，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【题目详解】可得：根据点到直线距离公式，可得上的点到直线的距离为【题目点拨】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.11、B【解题分析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【题目详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.【题目点拨】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12、C【解题分析】分析：首先确定的真假，然后确定符合命题的真假即可.详解：考查所给命题的真假：对于，当常数列为时，该数列不是等比数列，命题是假命题；对于，当时，，该命题为真命题；对于，由可得，令可得，则函数斜率为的切线的切点坐标为，即，切线方程为，即，据此可知，直线与曲线不相切，该命题为假命题.考查所给的命题：A.为真命题；B.为真命题；C.为假命题；D.为真命题；本题选择C选项.点睛：本题主要考查命题真假的判断，符合问题问题，且或非的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14、【解题分析】

依题意可得方程，在上存在解，要使取得最小值，则，令，利用导数研究函数的单调性，对分类讨论，分别求出的最小值，即可得解，【题目详解】解：依题意在存在零点，即方程在存在解，即，在存在解，要使取得最小值，则，令，则，①当时，在上恒成立，即在上单调递增，所以，即，，所以；②当即时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，所以，令，则，，所以，所以在上单调递减，所以③当时，则在上恒成立，即在上单调递减，综上可得的最小值为故答案为：．【题目点拨】本题考查函数零点及最值问题，考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想，属于难题．15、【解题分析】

由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.【题目详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.16、2【解题分析】

根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【题目详解】因为数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，所以，因此，即故答案为：2【题目点拨】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)θ=45°;(3)23【解题分析】

（1）先证明ABCD为正方形,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得BD⊥PA，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面PCD的法向量，结合(0,0,2)为平面ABCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC，然后求出PC【题目详解】(1)解法一:在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴ABCD为正方形,因此BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.解法二:以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,0,D0,2在RtΔBAD中,AD=2,BD=22∴AB=2,∴B2,0,0,∴AP=(0,0,2),AC∵BD⋅AP=0即BD⊥AP,BD⊥AC.又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.(2)解法一:由PA⊥平面ABCD,知AD为PD在平面ABCD上的射影.又CD⊥AD,∴CD⊥PD,∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角.又∵PA=AD,∴∠PDA=45°.解法二:由1题得PD=0,2,-2设平面PCD的法向量为n1=x,y,z,则n即0+2y-2z=0-2x+0+0=0,∴x=0故平面PCD的法向量可取为n1∵PA⊥平面ABCD,∴AP=(0,0,2)设二面角P-CD-B的大小为θ,依题意可得cosθ=∴θ=45°.(3)解法一:∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD=22设C到平面PBD的距离为d,由VP-BCD有13得d=2解法二:由1题得PB=2,0,-2设平面PBD的法向量为n2则n2⋅PB即2x+0-2z=00+2y-2z=0∴x=y=z.故平面PBD的法向量可取为n2∵PC=(∴C到平面PBD的距离为d=n【题目点拨】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18、（1）极小值为，无极大值（2）不存在满足题意的实数．（3）见证明【解题分析】

（1）当时,可求导判断单调性，从而确定极值;（2）先求出的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；（3）若，令，求的单调性即可证明不等式成立.【题目详解】解：（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增当时，极小值为，无极大值（2），令则,在上单调递减，在上单调递增若存在实数，使得与的单调区间相同，则，此时，与在上单调递减矛盾，所以不存在满足题意的实数．（3），记.，又在上单调递增，且知在上单调递增，故.因此，得证．【题目点拨】本题主要考查利用导函数工具解决极值问题，单调性问题，不等式恒成立问题等，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力及计算能力，综合性强.19、（1）见解析；（2）为中点．【解题分析】

（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM.（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD的一个法向量，，设平面AME的一个法向量则取y=1，得所以，因为，求得，所以E为BD的中点.20、【解题分析】【试题分析】先分别确定命题“方程表示双曲线”中的的取值范围和“命题点在圆的内部”中的取值范围，再依据建立不等式组求解：解：因为方程，表示双曲线，故，所以或，因为点在圆的内部，故，解得：，所以，由为假命题，也为假命题知假、真，所以的取值范围为：.21、（1）函数在上是增函数；（2）见解析；（3）.【解题分析】试题分析：（1）当时，在（0，+∞）