2024届上海市虹口中学数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届上海市虹口中学数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若,则()A． B． C． D．2．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．4．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．6．的展开式中的系数是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23527．已知随机变量,且,则与的值分别为A．16与0.8 B．20与0.4C．12与0.6 D．15与0.88．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．9．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，246则（）A． B． C． D．10．在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，，则四面体的体积为（）A． B． C． D．11．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是()A．0 B．256 C．64 D．12．函数，则在点处的切线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法14．对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．15．若，，则的最小值为__________．16．已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.（1）求和的通项公式；（2）当时，比较与的大小，并加以证明.18．（12分）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．19．（12分）思南县第九届中小学运动会于2019年6月13日在思南中学举行，组委会在思南中学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.男女9157789998161245898650172345674211801119（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，求出的分布列和数学期望.20．（12分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：（1）记表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：手机产量部手机产量部改造前改造后（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线经过椭圆的右焦点．（1）求实数的值；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值．22．（10分）某仪器配件质量采用值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件值茎叶图.经计算得，，，，其中分别为甲，乙两生产线抽取的第个配件的值.（1）若规定的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；（2）若规定时，配件质量等级为优等，否则为不优等，试完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？产品质量等级优等产品质量等级不优等合计甲生产线乙生产线合计附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由于两个对数值均为正，故m和n一定都小于1，再利用对数换底公式，将不等式等价变形为以10为底的对数不等式，利用对数函数的单调性比较m、n的大小即可【题目详解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0⇔lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴lgn﹣lgm<0即lgn<lgm⇔n<m∴1＞m＞n＞0故选D．【题目点拨】本题考查了对数函数的图象和性质，对数的运算法则及其换底公式的应用，利用图象和性质比较大小的方法2、A【解题分析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【题目详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．3、C【解题分析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．4、D【解题分析】

求得导数，根据在上单调，得出或在上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。【题目详解】由题意，函数，则，因为，在上单调，所以①当在上恒成立时，在上单调递增，即在上恒成立，则在上恒成立，令，，则在为增函数，∴．②当在上恒成立时，在上单调递减，即在上恒成立，则在上恒成立，同①可得，综上，可得或．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值问题，用到了分离参数法求参数的范围，恒成立问题的处理及转化与化归思想是本题的灵魂，着重考查了推理与运算能力，属于偏难题．5、B【解题分析】

在中，为线段的中点，又，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率.【题目详解】在中，为线段的中点，又，则为等腰直角三角形.故答案选B【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.6、B【解题分析】

先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应项的系数即可.【题目详解】解：，的二项式定理展开式的通项公式为，的二项式定理展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.7、D【解题分析】因为随机变量，且，且，解得，故选D.8、D【解题分析】分析：直接计算f(n+1)-f(n).详解：f(n+1)-f(n)故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于，因为前面还有项没有减掉.9、A【解题分析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【题目详解】由，得.则，故选A.【题目点拨】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．10、C【解题分析】

由题意画出图形，设，，，由余弦定理得到关于，，的方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案．【题目详解】如图，设，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，则，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距离．∴，故选C．【题目点拨】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11、D【解题分析】分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.12、A【解题分析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为，所以所以切线方程为选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、240.【解题分析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，故答案为240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．14、2【解题分析】分析：由⊕的定义，ab=1分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=1；a和b同奇偶，则a+b=1．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：ab=1，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=1，满足此条件的有1×1=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=1，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为2个．故答案为2．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．15、【解题分析】

由题可得，，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【题目详解】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为:4.【题目点拨】本题主要考查利用“整体乘1”的方法和基本不等式的性质来求最值，注意基本不等式的前提是正数.16、（答案不唯一，<e<1）【解题分析】

当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角．【题目详解】由题意当为短轴端点时，为钝角，∴，∴，，，∴．答案可为．【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质．解题中注意性质：是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，当为短轴端点时，最大．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），（Ⅱ），证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）由正方形数的特点知，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第行个数的和，由此能求出和的通项公式；（Ⅱ）由时，，时，，证明：时，时，可以逐个验证；证明时，时，可以用数学归纳法证明．【题目详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知；由二项式定理的性质，杨辉三角第行个数的和为，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：当时，；当时，.证明如下：证法1：当时，已证.下面用数学归纳法证明：当时，.①当时，已证：②假设时，猜想成立，即，所以；那么，，所以，当时，猜想也成立．根据①②，可知当时，.【题目点拨】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．18、(1)1(2)（，）【解题分析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此时f(1)=3e≠2．所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，则当x∈(，2)时，f′(x)<2；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2处取得极小值．若a≤，则当x∈(2，2)时，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.19、（1）；（2）详见解析.【解题分析】

(1)由题意及茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,利用用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是,利用对立事件即可（2）由于从所有“高个子”中选3名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,利用离散型随机变量的定义及题意可知的取值为0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率,有期望的公式求出即可【题目详解】（1）根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是,所以选中的“高个子”有人,“非高个子”有人.用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”,则因此,至少有一人是“高个子”的概率是.（2）依题意,的取值为0,1,2,3.

的分布列为:0123P所以【题目点拨】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.解题时要注意茎叶图的合理运用.20、（1）0.1（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）【解题分析】

（1）由改造前的频率分布直方图计算前五个小长方形的面积即可得到答案．（2）由频率分布直方图补充表格，计算随机变量的观测值与临界值表中的数据比较即可得结论．（3）先估计中位数所在区间，然后利用中位数左右两侧长方形面积相等列式计算即可．【题目详解】解：（1）改造前手机产量低于5000部的频率为，因此，事件的概率估计值为0.1．（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：手机产量部手机产量部改造前138改造后3466由于，故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关．（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，手机产量低于5000部的直方图面积为，手机产量低于5500部的直方图面积为，所以中位数在之间，设改造后手机产量的中位数为，则故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．【题