四川省凉山彝族自治州2024届数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

四川省凉山彝族自治州2024届数学高二第二学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（）A． B． C． D．3．已知函数，若且，则n-m的最小值为()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．24．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．925．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程恰好有两个实数根 D．方程至多有两个实根6．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在时，取极大值8．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（）A．80种 B．90种 C．120种 D．150种9．已知f(x)=2x2-xA．0,12 B．12,110．已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11．设等差数列{}的前项和为，若，则=A．20 B．35 C．45 D．9012．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．7315二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则使得成立的x的取值范围是_____.14．对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是______；①；②.15．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于两点，则_______.16．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.（Ⅰ）求点的直角坐标；（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.18．（12分）如图，四核锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）完成下列证明：（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：.20．（12分）如图，已知单位圆上有四点，，，，其中，分别设的面积为和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值时的值．21．（12分）某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：年级名次是否近视1～50951～1000近视4132不近视918（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（2）在（1）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为，求的分布列和数学期望.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879附：22．（10分）已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由成立，得，设，，则则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；且，使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解，则，即，即，所以，所以实数得取值范围是，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．2、B【解题分析】

先计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到物理、地理两门功课的基本事件的个数，应用古典概型公式求出概率.【题目详解】解:由题意可知总共情况为，满足情况为，该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选B.【题目点拨】本题考查了古典概型公式，考查了数学运算能力.3、C【解题分析】

作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．【题目详解】解：作出函数的图象如下，，且，可得，，即为，可得，，，令，则当时，，递减；当时，，递增．则在处取得极小值，也为最小值，故选C．【题目点拨】本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．4、D【解题分析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．5、C【解题分析】

由二次方程实根的分布，可设方程恰好有两个实根．【题目详解】证明“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程恰好有两个实根，故选：C．【题目点拨】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．6、C【解题分析】

试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.7、C【解题分析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在上先减后增，错；在上先增后减，错；在上是增函数，对；在时，取极小值，错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.8、D【解题分析】

不同的分配方案有(C9、B【解题分析】

求出函数y=fx的定义域，并对该函数求导，解不等式f'x【题目详解】函数y=fx的定义域为0,+∞f'令f'x<0，得12<x<1，因此，函数y=f【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。10、B【解题分析】

由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【题目详解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，则t2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为1．故选：B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．11、C【解题分析】

利用等差数列的前n项和的性质得到S9=，直接求解．【题目详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，∴S9=故选：C．【题目点拨】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。12、D【解题分析】原式等于，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得成立，则，解得.考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式成立，转化为，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.14、①，②..【解题分析】

根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【题目详解】当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,,故①成立；当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,故②成立.故答案为：①，②.【题目点拨】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.15、8【解题分析】

将曲线极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用可求得结果.【题目详解】曲线的直角坐标方程为：，把直线代入得：，，，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数的几何意义，利用几何意义知所求弦长为.16、【解题分析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【题目详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，，，，，，，，即．此棱柱的体积为．故答案为．【题目点拨】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解题分析】

试题分析：（1）将转化为普通方程，解方程组可得的坐标；（2）为圆，当有一个公共点时，可求得参数的值，联立的普通方程，利用根与系数的关系可得的值．解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程.由曲线可得直角坐标方程：.由得，（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：，圆的圆心半径为，曲线与有且只有一个公共点，，即，设联立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）过作垂线，垂足为，由得，．又，可得平面，即可证明．（Ⅱ）易得到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即可求解.【题目详解】(Ⅰ)过作垂线，垂足为，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即直线与平面所成角的正弦值为．【题目点拨】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题．19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）运用分析法，两边平方，化简配方即可得证；（Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证。【题目详解】（I）要证：≥只需证：≥，即证：，即证：,即证：，即证：，这显然成立，故.（II）依题意，因为，故，故当且仅当，即，即时等号成立.【题目点拨】本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法，意在考查学生运用分析法和使用基本不等式时涉及到的变形能力，化简能力以及推理能力。20、(1)，；(2)的最大值为，此时的值为.【解题分析】

试题分析：解(1)根据三角函数的定义,知所以,所.又因为四边形OABC的面积＝,所以.(2)由(1)知.因为,所以,所以,所以的最大值为,此时的值为.考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．21、（1）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（2）见解析，数学期望1【解题分析】

（1）题设数据代入即得解.（2）服从超几何分布，利用概率公式可得解.【题目详解】解：（1）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（2）根据题意9