2024届陕西咸阳市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届陕西咸阳市数学高二第二学期期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，若，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．2．若实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是()A．18 B．6 C．2 D．43．若函数，则（）A．0 B．8 C．4 D．64．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为A．89 B．25 C．96．在的展开式中，项的系数为（）．A． B． C． D．7．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．8．下图是一个算法流程图，则输出的x值为A．95 B．47 C．23 D．119．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x10．给出下列命题：①命题“若，则方程无实根”的否命题；②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；③命题“若，则”的逆否命题；④“若，则的解集为”的逆命题；其中真命题的序号为（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③11．若复数，其中i为虚数单位，则=A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i12．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正弦曲线上一点，正弦曲线以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是______.14．已知地球半径为，地球上两个城市、，城市位于东经30°北纬45°，城市位于西经60°北纬45°，则城市、之间的球面距离为________15．已知一扇形的面积是8cm2，周长是12cm，则该扇形的圆心角α（0<α<π）的弧度数是_______16．已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.19．（12分）如图，四棱锥，底面为直角梯形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）经过点作直线，与曲线交于两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程．21．（12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的部分数据如表所示：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为．喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男10女20总计100表（1）并邀请这100人中的喜欢盲拧的人参加盲拧三阶魔方比赛，其完成时间的频率分布如表所示：完成时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]频率0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表（2）中完成时间在[30，40]内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，记完成时间在[30，40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A，求事件A发生的概率．（参考公式：，其中）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：先求出最大值，再求出的最大值，从而化恒成立问题为最值问题.详解：令，，令，解得，在、单调递增，在单调递减，又，又，当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减.；当时，无最大值，即不符合；故有，解得，故.故选：C.点睛：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用.2、B【解题分析】

由重要不等式可得，再根据a＋b＝2，代入即可得解.【题目详解】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有，当且仅当，即时取等号，故选:B.【题目点拨】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.3、B【解题分析】

根据函数解析式可求得，结合函数奇偶性可得到，从而得到结果.【题目详解】由题意得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查函数性质的应用，关键是能够根据解析式确定为定值，从而求得结果.4、B【解题分析】

数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【题目详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21，…从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）•22015=2018×22015故答案为：B．【题目点拨】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5、A【解题分析】

利用条件概率的计算公式即可得出．【题目详解】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=8故选：A【题目点拨】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于基础题.6、A【解题分析】二项式展开式的通项为。所以展开式中项的系数为．选．7、D【解题分析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【题目详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.8、B【解题分析】运行程序，，判断是，，，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出.9、A【解题分析】试题分析：由于的焦点为.双曲线可化为.由题意可得.依题意得.所以双曲线方程为.所以渐近线方程为.故选A.考点：1.椭圆的性质.2.双曲线的性质.3.双曲线的标准方程.10、A【解题分析】

①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假.【题目详解】①命题“若，则方程无实根”的否命题为：“若，则方程有实根”,为真命题，所以正确.②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题为：“若为等边三角形，则”为真命题，所以正确.③命题“若，则”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.④“若，则的解集为”的逆命题为：“若的解集为，则”当时，不是恒成立的.当时,则解得：，所以正确.故选：A【题目点拨】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.11、B【解题分析】试题分析：，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.12、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由可得，直线的斜率为，即可求出答案.【题目详解】由可得，切线为直线的斜率为：设直线的倾斜角，则且.所以故答案为：【题目点拨】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.14、【解题分析】

欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可.A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离.即可得到答案.【题目详解】由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为，

又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，

故连接两座城市的弦长，

则A，B两地与地球球心O连线的夹角，

则A、B两地之间的距离是.

故答案为：.【题目点拨】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题.15、1【解题分析】

设半径为，则，，可解出对答案．【题目详解】设半径为，则，,由有代入有：，解得或，当时，，当时，，又，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查扇形的面积，弧度制公式等，属于容易题．16、1【解题分析】

对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可.【题目详解】，.当时，，函数是单调递增函数，而，所以函数只有一个零点，不符合题意；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数递减，故函数的最小值为，要想函数有两个零点，则必有，故判断①不对；对于②：，取，，所以，故判断②不对；对于④：构造函数，，所以函数是上单调递增，故，而，所以，故本判断是正确的；对于③：因为，而，所以有，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、．【解题分析】分析：先求圆心C到直线l的距离d＝，再解不等式即得m的范围.详解：圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝1．直线l的极坐标方程化为ρ(cosθ＋sinθ)＝，即x＋y＝，化简得x＋y－2＝2．因为圆C的圆心为C(m，2)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2．点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③18、(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.(2)①.②分布列见解析，.【解题分析】

分析：（1）根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数，由此可得列联表，求得后在结合临界值表可得结论．（2）①结合条件概率的计算方法求解；②由题意可得的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故可得列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100由列联表可得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．（2）①从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，则,∴,即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为．②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．由题意得的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.19、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）根据题意，设法证明平面，即可证得平面平面；；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）证明：因为为直角梯形，，又因为，所以，所以，所以,又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）作于，因为，所以为中点，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设，因为，，所以，如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，，9分设平面法向量，则，取，则，所以平面一个法向量，设与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角为正弦值为.点睛：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）利用求曲线的普通方程；（Ⅱ）经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，可得，利用韦达定理求出，结合参数的几何意义得，计算整理即可得到直线的斜率，进而通过点斜式求出直线方程。【题目详解】（Ⅰ）由，且，所以的普通方程为.（Ⅱ）设直线的倾斜角为，则经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，可得.由的几何意义知.因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以.由是中点，所以，即，解得所以直线的斜率为，所直线的方程是，即.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程的互化，直线的参数方程，解题的一般思路是求出直线的参数方程代入圆锥曲线的普通方程，结合题意通过韦达定理解答。21、（I）表（1）见解析，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（II）【解题分析