函数的概念及其初等性质

第一章函数与极限一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现它的国力强大。拿破仑（法国政治家）如果你解不出某道题，那肯定是有一个更容易的问题你未解决它——找到它！

G.波利亚（美国数学家）本章主题词：集合、数列、函数、极限、连续第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数的连续性1.6闭区间上连续函数的性质

选读经济学中的几个常用函数数学家：刘徽康托尔狄利赫雷维尔斯托拉斯1.1函数的概念及其初等性质1.1.1集合1.集合:具有某种特定性质的对象的全体组成这个集合的对象称为该集合的元素.定义N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集例如,集合的运算：集合的并：集合的交：集合的差：集合的直积：AB(x,y)xyAB邻域:1.1.2常量变量函数在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.常量变量因变量自变量函数(2)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数xyO12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数[5.3]=5,[-4.5]=-5.(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.1.1.3函数的初等性质1．函数的有界性:-M=-1M=1函数的有界性：设函数y=f(x)

在区间(a,b)内有定义((a,b)可以是f(x)

的整个定义域，也可以是定义域的一部分)。如果存在一个正数M,对于所有的

,恒有,则称函数f(x)在(a,b)内是有界的。如果不存在这样的正数M,则称f(x)在(a,b)内是无界的。2．函数的单调性:xyoxyo函数的单调性：如果函数y=f(x)对区间(a,b)内的任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),

f(x)在区间(a,b)上是严格单调增加的。反之,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),

f(x)在区间(a,b)上是严格单调减少的。3．函数的奇偶性:函数的奇偶性：给定函数y=f(x)(1)如果对所有的

,有

恒成立，则称f(x)为偶函数。(2)如果对所有的,有

恒成立，则称f(x)为奇函数。4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.函数的周期性：

对于函数y=f(x)，如果存在正的常数l，使得f(x)=f(x+l)恒成立,则称此函数为周期函数。满足这个等式的最小正数l，称为函数的周期。例1解下列各题小结：基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念、映射的概念函数的初等性质有界性、单调性、奇偶性、周期性.1.1.4函数的初等运算1.函数的四则运算

2。复合函数定义:xuy注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；3.复合运算不满足交换性,例3解综上所述3.反函数运算DWDW注（1）

（3）直接函数与反函数的图形关于直线对称1.1.5基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

xyOy=C1.常数函数2.幂函数幂函数：它的定义域随而定，但不论为何值，在内总有定义，而且图形经过（1,1）点。称为幂函数函数3.指数函数4.对数函数指数函数：函数称为指数函数。定义域是区间,值域为，当a>1

时，函数单调增加，当0<a<1

时，函数单调减少。对数函数：

函数

(）称为对数函数，它是指数函数的反函数。

定义域为，图形总在x轴的正方向，且通过点(0,1)。5.三角函数正弦函数余弦函数正弦函数：函数称为正弦函数；周期为,定义域,值域[-1,1]，sinx为奇函数。余弦函数：函数

称为余弦函数；周期为,定义域,值域[-1,1]。cosx为偶函数。正切函数余切函数正切函数：函数

称为正切函数；周期,值域。tanx的定义域为：正切函数以为周期的周期函数，是奇函数。余切函数：函数称为余切函数；周期,值域。cotx的定义域为：余切函数是以为周期的周期函数，它是奇函数。正割函数余割函数6.反三角函数反正弦函数：函数Arcsinx称为反正弦函数，是sinx的反函数；反正弦函数的首字母为大写，是多值函数。区间上取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反余弦函数：函数Arccosx称为反余弦函数，是cosx的反函数；反余弦函数的首字母为大写，是多值函数。在区间上取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反正切函数：函数

Arctanx称为反正切函数，是tanx的反函数；反余切函数的首字母为大写，是多值函数。在区间取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反余切函数：函数Arccotx称为反余切函数，是cotx的反函数；反余切函数的首字母为大写，是多值函数。在区间取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.双曲函数与反双曲函数:奇函数.偶函数.1、双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式反双曲函数奇函数,奇函数,1.1.6函数关系的建立例1函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计月份123456789101112销售额252418171617171819212324例2函数的图像表示：某气象观察点24小时气温观察资料图O

tT例3

函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样