卷9-2022年中考数学全真模拟卷（福建）·第三辑解析

备战2022年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（福建专用）

第九模拟

（本卷共25小题，满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的.

1.（2022•福建省厦门集美中学一模）有理数3,-2,0,-10中，最大的是（）

A.3B.-2C.0D.-10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可.

解：V|-2|=2,|-10=10,而2<10,

-10<-2<0<3,

.,.其中最大的是3

故选：A.

【点睛】

本题考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键.

2.（2022•福建省厦门集美中学一模）下列计算错误的是（）

A.a2-a=a3B.（ab）2=a2b2C.„=a6D.-a+2a=-2a2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据某运算的法则、合并同类项的法则分析计算即可.

A、a2-a=a\故正确；

B、（ah）2=a2h2,故正确；

C、（*'=故正确；

D、-a+2a=a,故错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查幕运算、合并同类项法则，熟练掌握基本的运算法则即可.

3.(2022♦福建省厦门集美中学一模)如图：己知：a〃b,Nl=80。，贝I」/2()

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用平行线的性质得到N2+N3=180。，再利用对顶角相等得到Nl=N3=80。，然后利用互补计算出Z2的

度数.

'：a//b,

：.N2+N3=180°,

VZl=Z3=80o,

.,.Z2=180°-80°=100°.

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角

相等.

4.（2022・福建・龙岩莲东中学一模）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.矩形C.平行四边形D.正五边形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形

叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对

称图形对各选项进行判断即可.

解：•••等腰三角形，正五边形均为轴对称图形，但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不

是轴对称图形；

故A,C,D不符合题意；

矩形既是轴对称图形又是中心对称图形

故B符合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形与中心对称图形.解题的关键在于熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义.

5.（2022・福建・龙岩莲东中学一模）已知一元二次方程/+以-3=0,下列配方正确的是（）

A.（x+21=3B.（x-2）2=3C.（x+21=7D.（x-2）2=7

【答案】C

【解析】

【分析】

先把方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断.

解：£+4X-3=0,

方程移项得：N+4X=3,

配方得：X2+4X+4=7,

即（x+2）2=7,

故选：C.

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，

二次项系数化为1,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非

负常数，开方即可求出解.

6.（2022・福建•龙岩莲东中学一模）把函数），=2N的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长

度得到新函数的图象，则新函数的表达式是（）

A.y=2（x+3）2-2B.），=2（%-3）2-2

C.y—1（x+3）2+2D.y—2（x-3）2+2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行求解即可.

解：由题意知，y=2Y平移后的函数解析式为y=2（x+3）2-2,

故选A.

【点睛】

本题考查了函数图象的平移.解题的关键在于掌握平移的规律.

7.（2022.福建•龙岩莲东中学一模）如图，，.反。的顶点都是正方形网格中的格点，则sinZCAB等于（）

\\

\\

CB

A—B.。.乎D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意和图形，可以得到4C、BC和AB的长,然后根据等面积法可以求得CD的长,从而可以得到sinNCAB

的值.

解：作C£）_LAB,交A8于点。，

由图可得,

AC=712+32=Vio-BC=2,AB=MS=3叵,

,,ABCDfiCx3

,~2-2

.3y[2xCD2x3

•.--------=----

22

解得，CD=6,

CD忘石

/.sinZCAB=

AC-Vio-5

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键.

8.（2022•福建・龙岩莲东中学一模）已知反比例函数y=下列结论正确的是（）

X

A.图象在第二、四象限

B.图象与y轴的交点为（0,6）

C.图象经过点（3,2）

D.函数值y随x的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】

由y=£可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值y随x的增大而减

X

小，可判断A、B、D的正误，将x=3代入〉=£中得》=?=2,可知反比例函数的图象经过（3,2）,进而可

判断C的正误.

解：由），=g可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值），随x的增大

X

而减小

故A、B、D错误，不符合题意；

将x=3代入中得y=1=2

.••反比例函数的图象经过（3,2）

故C正确，符合题意；

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质.解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质.

9.（2022•福建宁德•一模）如图，AB是。O的弦，点C在过点B的切线上，OC_LOA,OC交A8于点P.若

NBPC=70°,则N4BC的度数等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用对顶角相等和互余得到/A=20。，再利用等腰三角形的性质得到NO8A=/A=20。，然后根据切线

的性质得到O8_LBC,从而利用互余计算出N4BC的度数.

解：'：OC±OA,

：.ZAOC=90°,

■:ZAPO=ZBPC=10°,

：.NA=90°-70°=20°,

'：OA=OB,

：.ZOBA=ZA=20°,

为。。的切线，

：.OB±BC,

：.ZOBC=90°,

，/A8c=90°-20°=70°.

故选:B.

【点睛】

此题主要考查切线的综合性质应用，解题的关键是熟知切线的性质、三角形的内角和定理.

10.（2022•福建省厦门集美中学一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=：，-3分别与x轴、y轴相交于

点A、B,点、E、F分别是正方形OACZ）的边O。、AC上的动点，且过原点。作。所，垂

足为，，连接HA、HB,则二/148面积的最大值为（）

D13+50

A.6+5夜B.12C.6+30

--

【答案】D

【解析】

【分析】

先证明ON=CN,再证点”在以ON直径的圆上运动，则当点”在。例的延长线上时，点，到48的距离最

大，由相似三角形的性质可求MK,KQ的长，由三角形的面积公式可求解.

解：如下图，连接4£>,交EF于N,连接OC,取ON的中点M,连接过点M作于。，交

4。于点K,作例PJ_OA与点P,

3

;直线产分别与x轴、y轴相交于点A、B,

4

工点A(4,0),点8(0,-3),

/.OB=3,OA=4,

二AB=JOE，+必=,16+9=5,

•；四边形AC。。是正方形，

OD//AC,AO=AC=OD=4,OC=4应，NCOA-45。，

,ZEDN=ZNAF,ZDEN=ZAFN,

又,：DE=AF,

:ADEN会/\AFN(ASA),

：.DN=AN,EN=NF,

...点N是40的中点，即点N是OC的中点，

：.ON=NC=20,

'JOHLEF,

：.NOHN=90°,

...点”在以ON直径的圆上运动，

当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大,

,点M是ON的中点，

：.OM=MN=-j2，

,：MPLOP,ZCOA=45°,

.OP=MP=\,

：.AP=3,

・・•ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB+ZAKQ,

.•・/AKQ=/ABO=/MKP,

又ZAOB=NMPK=9U。,

:.MMPKSMNOB,

.MP_PK_MK

••拓・次一茄，

.1PKMK

・・—=——=——,

435

53

:・MK=—，PK=-,

44

VZAKQ=ZABO,ZOAB=ZKAQf

：.△AKQS/\ABO,

,AKKQ

••二,

ABOB

9

4鲍

--

53

27

•KQ=—,

20

52713

・QM-KQ^MK——+=,

.点H到AB的最大距离为苓+正，

.△H4B面积的最大值=；X5X（：+&）=U1%2

252

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的

应用，圆等知识，解题的关键是求出的长.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.（2022•福建省厦门集美中学一模）将150000用科学记数法表示为

【答案】1.5x10$

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中14同＜10,"为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，〃是正数；当原数的

绝对值小于1时，〃是负数.

解：150000=1.5xl05,

故答案为：1.5x105.

【点睛】

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“xlO”的形式，其中14同＜10,"为整数，

表示时关键要正确确定”的值以及〃的值.

12.（2022•福建・福州华伦中学一模）从长分别为1,2,3,4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三

角形的概率是.

【答案】，

4

【解析】

【分析】

共有四种情况：1,2,3；1,2,4：1,3,4；2,3,4,其中构成三角形的只有一种2,3,4,由概率公式

即可得出答案.

解：从1,2,3,4四条线段中任选三条，共有四种情况1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4,其中构成

三角形的只有一种2,3,4,

...能组成三角形的概率是!

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了构成三角形的条件，列举法以及概率公式，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键.

13.（2022•福建省厦门集美中学一模）一次函数y=（＞2幻x+3,》随x增大而减小，则％.

【答案】＞1##＞0.5

【解析】

【分析】

直接利用一次函数的增减性解答即可.

解:对于一次函数y=（l-2幻x+3,

・••）'随X增大而减小，

二1一2%<0,

解得k>g，

故答案是：>；.

【点睛】

本题考查了一次函数y=Ax+6（z*。）的增减性：当/K）时，y随X的增大而增大；当左V0时，y随X的增大

而减小.

14.（2022・福建・福州华伦中学一模）如图，在△ABC中，/C=90。，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平

分/BAC,若DE=1,则BC的长是.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据等边对等角的性质求出NDAB

=ZB,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出NB=30。，再根据直角三角形30。角所对的

直角边等于斜边的一半求出BD,然后求解即可.

解：；AD平分NBAC,且DE_LAB,NC=90。，

，CD=DE=1,

：DE是AB的垂直平分线，

，AD=BD,

，/B=NDAB,

VZDAB=ZCAD,

ZCAD=/DAB=NB,

♦.•/C=90°,

ZCAD+ZDAB+ZB=90°,

，/B=30。，

，BD=2DE=2,

；.BC=BD+CD=1+2=3,

故答案为3.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形

30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键.

k

15.(2022•福建•福州华伦中学一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=—(k>0,x>0)交于

x

点A.过点A作AC±x轴于点C,过双曲线上另一点B作BD±x轴于点D,作BE±AC于点E,连接AB.若

OD=3OC,贝ijtanZABE=.

【答案】|

【解析】

【分析】

由直线y=x过点A,可设A(a,a),根据反比例函数图象上点的坐标特征以及已知条件得到B(3a,£).然

后解直角aABE,根据正切函数的定义即可求出tanZABE的值.

解：如图・•••直线y=x过点A,

・••可设A(a,a),

•・・ACJ_x轴于点C,BDJ_x轴于点D,OD=3OC,

・・・B点横坐标为3a.

'・,双曲线y="(k>0,x>0)过点A、点B,

x

***B点纵坐标为=g

3a3

B(3a,巴).

3

在直角^ABE中，VZAEB=90°,BE=3a-a=2a,AE=a-^=y,

2a

/.tanZABE=AE_3_1,

~BE~~2a~3

故答案为

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，锐角三角函数的定义，难度适中.设A(a,

a),用含a的代数式表示出B点坐标是解题的关键.

16.(2022•福建•莆田擢英中学一模)二次函数y="x2+云+c(a,b,c是常数,a/0)的图象如图所示，对称

轴为直线工=-1.有以下结论：①abc>0；②a(N+2)2+b(F+2)<a(N+l)2+b(N+l)(A为实数)；

③机(am+b)<-a(机为实数)；@c<-3a；⑤以2+以+计|=0有两个不相等的实数根.其中正确的结论有

【解析】

【分析】

根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线

开口方向及对称轴可得》=-1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b=2a,由x=-1时yVO可判断④；

根据函数、=〃2+笈+°与》=-1的图象有两个交点可判断⑤.

解：：抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，

/.a<0,c>0,

又•••对称轴是直线犬=-1,

b=2a<0

/.abc>0,故①正确；

・・,对称轴是直线x=-1,抛物线开口向下，

・••当x>-1时，y随x的增大而减小，

•・Y是实数，

/.R+2>N+1>-1,

：.a(N+2)2+6(R+2)+c<a(N+l)2+h(N+l)+c,

即。(N+2)2+b(N+2)<a(N+l)2+b(N+l),故②正确；

•・,抛物线开口向下，顶点坐标为(-1,a-b+c)

最夭=a-h+c=-〃+c,

2

/.am+bni+c<-a+c9

即m(a+b)<-a,

故③正确；

由图象知，x=l时，y<0,

a+b+cVO,

■:b=2a,

/.3〃+cV0,

Ac<-3a,故④正确；

根据图象可知，函数了="2+云+。与y=-1的图象有两个交点，

.\ax2+hx+c+\=0有两个不相等的实数根，

故⑤正确，

故答案为：①②③④⑤.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2022.福建南平.二模)先化简，再求值：(孚!--，"丁』:七土其中〃=6+2.

I矿一2。cr-4a+4Ja

11

【答案】「77,7

(〃-2)5

【解析】

【分析】

先算括号内的减法，把除法变成乘法，化简后代入。的值，即可求出答案.

解：原式=[^7

a{a-2)(〃-2)。一4

(。+2)(。-2)a(a-l)a

—I------------------------------1-------

Q(〃-2>a(a-2)2〃-4

a-4a~-aa

a(a-2)2a(a-2)2a-4

_a-4-a~+aa

a(a-2)2a-4

a-4a

a(a-2)2a-4

二E

当仁石+2时,原式=(石+；_2)2=!

【点睛】

本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.

18.(2022・福建・莆田擢英中学一模)求证：全等三角形对应边上的中线相等.

己知：如图，A。和A'。分别是ABC和VA6c的中线.

求证：AD=AD-

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据△ABC四△A9C得到=AB=AB，BC=BC,再根据中线性质证明即=，进一步可

证明△ABD四△A'BZ>'（5AS）.

证明：；△ABCZZWB'C',

,,NB-NB>AB=AB,BC=B'C，

：A£>和A'D分别是ABC和VAEU的中线,

BD=-BC,B'D'=-B'C',

22

，BD=B'iy,

在△A3。和△A'B'D中，

AB=A'B'

"ZB=NB',

BD=B'D'

：.AABD^/XA'B'iy(5AS),

,AD=AD-

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及性质，中线的性质.解题的关键是熟练掌握三角形的判定定理和性质.

x-l>0

19.(2022.福建.莆田哲理中学一模)解不等式组：x—1,1,并写出它的所有整数解.

-----1<—

22

【答案】1夕<4,整数解为1,2,3.

【解析】

【分析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解.

-x-l>0®

解：，X~\,1否

I22

由①得：后1,

由②得：x<4,

二不等式组的解集为1夕<4,

则不等式组的整数解为1,2,3.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.

20.(2022•福建・将乐县水南中学一模)如图，一船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北

偏东53。方向上，继续航行lh到达8处，再测得灯塔C在北偏东27。方向上.已知灯塔C四周10nmile内

有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？

499I

(参考数据:sin53°»0.8,cos53°a0.6,tan53°«—,sin27°«—,cos27°«—，tan270®—)

320102

c

北

53°27

AB东

【答案】安全

【解析】

【分析】

过C作CD±AB于点D,设CD=xnmile,在RtAACD中表示出AD的长，在RtABCD中表示出BD的长,

根据AD-BD=AB列方程求解即可.

解：过点C作CL»_LA8,垂足为D如图所示,

由题意得，ZACD=53°,ABCD=2T,A8=20xl=20nmile,

在RtAAC£>中，

4

AQ=tan/ACQxC6-x.

3

在RtABCD中，

BD=tanZBCDxCD^-x.

2

\'AD-BD=AB,

41

-x—x=20,

32

解得424,

V24>10,

•••这艘船继续向东航行安全.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.

21.（2022・福建•测试学校五一模）如图，在矩形43C。中，点£、尸分别是A3、8的中点，连接EP.

Ax-----------------|D

E--------------------------------------------F

B'-----------------1c

（1）尺规作图：在AO上求作点使得点A关于的对称点G恰好落在线段E尸上（不写作法，保留作图

痕迹）；

⑵在（1）的条件下，求sin/ABM的值.

【答案】（1）见解析

【解析】

【分析】

（1）以点8为圆心，54长为半径画弧交E尸于点G,连接AG,作AG的垂直平分线交4。于点M即可；

（2）在（1）的条件下，求sinZABM的值.

（1）

解：如图，点M即为所求;

M

AD

B

⑵

由（1）知：BM是AG的垂直平分线,

：.AB=GB,

所垂直平分A8,

:.GA=GB,

:.GA=GB=AB,

是等边三角形，

.-.ZABG=60°,

ZABM=-NABG=30°,

2

r.sinNABM=sin30°=L

2

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

22.（2022•福建・测试学校五一模）2022年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥

会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱.2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛

绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元.十二月售出了“冰墩墩”300

个和“雪容融”200个，销售总额为52000元.

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个.进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续

热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且

购进总价不超过43200元.为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的

这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；

(2)“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元.

【解析】

【分析】

(1)设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x,y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；

(2)设购进“冰墩墩个，则购进“雪容融''(600_4)个，列出不等式组，求出。的取值范围，根据一次函数

的性质求解即可.

⑴

设“冰墩墩''和“雪容融”的销售单价分别为x,y元,

根据题意得，

j200x+100y=32000，旦卜=120

[300x+200y=52000'解得[y=80

答："冰墩墩'’销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元

⑵

设购进“冰墩墩飞个，则购进“雪容融”(600-〃)个,

600-a<2a

，解得2004a4240

90a+60(600-a)<43200

设一月份利润为w，贝ijw=(12。-120x10%-90)“+(80-60)(600-。)=-2a+12000

V-2<0,

二当a取最小值时，卬取最大值.

■:200<a<240,

...a=200时，w的最大值为12000-400=11600(元).

"冰墩墩'’购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，

找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答.

23.(2022•福建三明•一模)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量

其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭

尺寸(cm)8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b

按照生产标准，产品等次规定如下:

尺寸(单位：cm)产品等次

8.97<x<9.03特等品

8.95<x<9.05优等品

8.90<x<9,10合格品

x<8.90或x>9.10非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)仅算在内.

(1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由

(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.

(i)求a的值，

(ii)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm,另一组尺寸不大于9cm,从这两组中各随机抽取1件进

行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率.

4

【答案】(1)不合格，见解析；(2)(i)a=9.02,(ii)

【解析】

【分析】

(1)判断出非合格品有3个，其中①②是非合格品，即可确定⑮是非合格品；

(2)(i)判断出符合优等品尺寸的编号是⑥〜⑪，根据中位数是9可得正中间两个数据的平均数是9,可求

出a的值；

(ii)优等品尺寸大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图即可.

解：(1)不合格.因为15x80%=12,不合格的有15-12=3个，给出的数据只有①②两个不合格；

QQQ।o

(2)(i)优等品有⑥~⑪，中位数在⑧8.98,⑨a之间，.•.「一=9,解得a=9.02

(ii)大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩

画树状图为：

⑥⑦⑧

⑨⑩⑪⑨⑩⑪⑨⑩⑪

VVVV

共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种，

•••抽到两种产品都是特等品的概率p=]

【点睛】

本题主要考查了中位数、树状图或列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.(2022•福建宁德•一模)如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边上的动点尸重合(点尸

不与C、。重合)，MN为折痕，点M、N分别在边BC、AO上.连接AM、MP、AP,其中，AP与MN相交

于点凡。。过点M、C、P.

图1图2图3

(1)求证：△AFN^XADP：

(2)若4B=CM,求证：△AMP为等腰直角三角形；

(3)随着点P的运动，若。。与A例相切于点M,又与AO相切于点，，且48=4,求。。的直径.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)00的直径为5.

【解析】

【分析】

(1)根据折叠的性质及相似三角形的判定可得结论；

(2)由矩形的性质得出NB=/C=90。，由折叠的性质得出由HL证明R/AABM丝RQMPC,再由

全等三角形的性质可得结论；

(3)连接"0并延长交于J,根据折叠的性质知：MN垂直平分AP,可得：AM=PM,4M为。。的切

线，可得：ZAMP=ZCMP+ZAMB=90°,又NBAM+N4M8=90°,可得：NCMP=NBAM,ZB=ZC=90°,

可证：ZkABM也△MCP,MC=4B,3M=CP，由AD为。0的切线，可得：Q/_LA。,故:〃/〃CPMMQ/SAV/PC,

设尸。的长为无，则PC=AB・x,OJ=-PCO”=A5-。/可求出。。的半径，在R/AMC尸中，运用勾股定理可

29

将尸。的长求出，即可得出CP的长，然后根据勾股定理可得答案.

(1)

证明：由折叠的性质可得：/AFN=/PFN=9。。,

・••四边形A3CO是矩形，

:.ND=90*NAFN,

♦：/DAP=4DAP,

：.△AFNs△4£)/＞；

(2)

证明：•・•四边形A8CO是矩形，

・・・ZB=ZC=90°,

由折叠的性质可得：AM=MP,

\9AB=CM,

/./?/△ABM出股△MCP(HL),

・・・ZMAB=ZPMCf

•/NBAM+NBMA=90。,

JNPMC+N8MA=90°,

・・・NAMP=90。,

：./\AMP是等腰宜角三角形；

(3)

解：•・・AM是。。的切线，

工ZAMP=90°,

・•・NCMP+NAM8=90。，

,/ZBAM+ZAMB=90°,

・・・ZCMP=ZBAMf

由折叠的性质得：MN垂直平分4P,

C.MA^MP,

VZB=ZC=90°,

.♦.△""△MCP(AAS),

：.MC=AB=4,

设PD=x,则CP=4-x,

：.BM=PC=4-x,

连接，。并延长交8c于J,如图2所示:

「A。是。。的切线，

ZJHD=90°,

...HDCJ为矩形，

：.OJ//CP,

丛MPC,

：.OJ：CP=MO：MP=1：2,

0J=—(4-x),

2

0H=-MP=4-0J=-(4+x),

22

；MC2=MP2-CP2,

：.(4+x)2-(4-x)2=16,

解得：41,即PD=\,

：.PC=3,

MP=Jc产+CM，="+4?=5,即。。的直径为5.

【点睛】

此题考查的是折叠的性质，相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角

形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键.

25.(2022・福建宁德•一模)已知抛物线yud+fer+c•交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于

点C.顶点为0(-1,4),且0C=3,P为第一象限抛物线上的一点.

3

(2)如图1,抛物线的对称轴交x轴于点N,过点P的直线y==x+r交对称轴于点Q,若PQ=QN,求I的值;

(3)如图2,连接AC,点E在第二象限的抛物线上，且/E4c=NaiC,设点尸、E的横坐标分别为机，n,

求证：为定值.

【答案】⑴y=-d-2X+3；

⑵述，

42

(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据顶点坐标，设抛物线解析式为y=a(x+l>+4,根据0C=3,可得C(0,3),待定系数求解析式即

可；

(2)设直线y=%+f交x轴于点S,分别过点P,。作Q轴的平行线交于点M,设P(W,T/-2W+3),

则加成+/,根据COSNPSB=M=COSPQW=],可得方程①，根据点尸在直线y=1x+f上，可得方

程②，联立①②解方程求解即可；

(3)分别过点作x轴的垂线，垂足分别为EG,证明AEF^,APG,