自动控制原理第五讲

2024/1/20自动控制原理第五讲

PrincipleofAutomaticControl

Lecture5AssociateProf.ZhaoXiao-Mei(赵小梅)Tel:51684265Email:xmzhao@Office:Room613TeachingBuildingNo.8(第8教学楼613室)2024/1/20第二章

控制系统的数学模型

Chapter2MathematicalModelsofControlSystem

2024/1/20本章主要内容

MainContent引言

Introduction时域数学模型——微分方程

TimeDomainModel——DifferentialEquation频域数学模型——传递函数

FrequencyDomainModel——TransferFunction基本单元

Elements2024/1/20本章主要内容

MainContent闭环系统的传递函数（上讲）

TransferFunctionofClosed-loopSystem信号流图与梅逊公式（本讲）

Signal-flowGraphsandMasonFormula脉冲响应与阶跃响应（本讲）

PulseResponseandStepResponse小结（本讲）

Summary2024/1/20重点掌握内容

控制系统数学模型的列写时域模型与频域模型的转换基本单元的传递函数传递函数的等效变换2024/1/20上讲小结回顾

BriefReview方框图

-元素

-绘制闭环控制系统传递函数

-前向通路传递函数

-反馈传递函数

-开环传递函数

-闭环传递函数

-误差（对输入）传递函数

-输出对扰动传递函数方框图的等效变换

-原则

-方法2024/1/206.信号流图与梅逊公式

Signal-flowGraphsandMasonFormula控制系统的信号流图（Signal-flowGraphs）信号流图的等效变换（EquivalentTransform）梅逊公式（MasonFormula）2024/1/20信号流图（Signal-flowgraph）可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。

组成（Composite）：信号流图由节点（Node）和支路（Path）组成的信号传递网络。见下图：

-+信号流图(1)Signal-flowGraphs2024/1/20上图中，两者都具有关系:。支路对节点来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。

节点（Node）：节点表示变量。以小圆圈表示。支路（Path）：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。信号流图(2)SFGwasintroducedbyS.J.Masonforthecause-and-effectrepresentationoflinearsystems.2024/1/20

输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：C

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。

前向通路（

Forwardpath

）

：从输入到输出，与任一节点相交不多于一次，沿支路箭头方向穿过各个相连支路的通路。

输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：R，N。信号流图的术语（1）2024/1/20

回路(闭通路Loop)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。

互不接触回路（

Non-touchingloops）：两回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。

通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。

回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。信号流图的术语（2）2024/1/20

串联支路合并：

并联支路的合并：

回路的消除：信号流图的等效变换（1）EquivalentTransform自学2024/1/20

混合支路的清除：

自回路的消除：信号流图的等效变换（2）自学2024/1/20节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。信号流图的性质Characters2024/1/20

用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输(Theoverallgain)。（即总传递函数）其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输(Pathgain)；流图特征式(Determinantofgraph)；

其计算公式为：梅逊公式（1）MasonFormula2024/1/20（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；

所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；

所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；梅逊公式（2）ProceduresFindallloops,twonontouchingloops,threenontouchingloops…tocalculateΔFindallforwardpath,andtheirgainPkRemovethekth

forwardpath(allnodesandpaths),calculatethecofactorofthekthforwardpathdeterminantofthegraphΔkCalculatetheoverallgainbytheMasonformula2024/1/20梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?2024/1/20L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)[](1-G1H1)

N(s)梅逊公式求C(s)(1-G1H1)2024/1/20G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H22024/1/20G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+2024/1/20G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+2024/1/20[解]：前向通道有一条；有一个回路；[例]求速度控制系统的总传输。（不计扰动）2024/1/20[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：[例]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。---2024/1/20图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触。）总传输为：2024/1/20讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。上图中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？2024/1/20[例]：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：++--2024/1/20回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：求：前向通道有二，分别为:2024/1/20注意：上面讲不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。求：（兰线表示）

不变。（红线表示）2024/1/20注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：

把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。2024/1/20理想单位脉冲函数：[定义]：，且，其积分面积为1。

出现在时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：且脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。7.脉冲响应与阶跃响应PulseandStepResponse2024/1/20实际单位脉冲函数：和当时，实际脉冲函数RealPulseFunction2024/1/20

以下讨论线性控制系统在单位脉冲作用下的输出响应g(t)，称为脉冲响应函数。

从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。故：[例]：设系统的脉冲响应函数是，求G(s)。[解]：脉冲响应（1）PulseResponse2024/1/20

我们还可以不证明地表示出：利用脉冲响应函数，可以求出在任何输入x(t)下的输出y(t)。或式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。表示为：

回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以：Y(s)=X(s)G(s)脉冲响应（2）2024/1/20则输出：单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输