湖南省长沙市雨花区南雅中学2022年中考数学模拟试卷（含答案与解析）

长沙市雨花区南雅中学2022年中考模拟试卷

数学

（本试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟）

★祝考试顺利★

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴

在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答

在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一.选择题（共12小题，满分36分）

1.-2倒数是（）

11

A.-2B.---C.—D.2

22

2.如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）

①圆柱②正方体③三棱柱④四棱锥

A.①②③④B.②①③④C.③②①④D.④②①③

3.华为，加戊20是世界上首款应用7纳米手机芯片的手机，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用

科学记数法表示为（）

A.0.7X108B.7X108C.7X10-9D.7X1010

4.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1,这个多边形的边数是（

）

A.8B.9C.10D.12

5.下列计算正确的是（)

Aa3+a2=a5B.3a'2=—C.a6b^a2=a3bD.(-ab3)2=a2b6

3a2

7.为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如

下表.则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（)

每周做家务的时间（小时）01234

人数（人）22311

A.3,2.5B.1,2C.3,3D.2,2

8.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是正方形

C.对角线相互垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形

9.三角形两边长分别为4和6,第三边是方程x2-13x+36=0的根，则三角形的周长为（）

A.14B.18C.19D.14或19

10.如图，。0中，CD是切线，切点是D,直线C0交。。于B,A,ZA=20°,则NC的度数是（)

A.25°B.65°C.50°D.75°

11.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45。（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树

顶的仰角为60。，已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则山高为（)(精确到1米，0=1.732).

1014米C.805米D.820米

12.如图，一次函数y1=ax+b图象和反比例函数y2=一图象交于A（l,2）,B(-2,-1)两点，若y】Vy2,

B.x<-2或OVxVl

C.x<lD.-2VxV0或x>l

二.填空题（满分18分，每小题3分）

13.若a,b都是实数，b=Jl-2a+12a-l-2,则a15的值为.

14.分解因式：4X2-16/=

15.如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm,母线长是50cm,制作一个这样的烟囱冒至少需要cm2

16.如图是一个可以自由转动的转盘，如表是一次活动中的一组统计数据:

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”次数根68111136345546701

转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是（结果保留小数点后一位）.

17.结合下面图形列出关于未知数x,y的方程组为

AA

18.如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m在同一直角坐标系中，二次函数图象与两坐标轴分别交

于A（-1,0）、点B（3,0）和点C（0,—3）,一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.当x满足:

时一次函数值大于二次函数的值.

三.解答题（共8小题，满分66分）

19.计算：（后-2）°+（；）T+4cos30。-|4-712I

%6x+9

20.先化简，再求值：f2-4-_+；其中犬=2.

Ix+\）x2-1

21.“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解

情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A.非常了解，B.比较了解，C.基本了解，D.不

太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.

学钊娅掇了解情况计图学初5S®趣了震情:牖豚计图

请结合图中所给信息解答下列问题:

（1）本次共调查一名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是一；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？

（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、

丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同

时被选中的概率.

22.在AABC中，/ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE_LBD于点E,过点A作BD的平

行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.

（1）求证：BD=DF；

（2）求证：四边形BDFG为菱形；

⑶若AG=5,CF=J7,求四边形BDFG的周长.

23.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）

满足一次函数关系m=162-3x.

（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.

（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格：如果不能，说明理

由.

24.如图，己知。。为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高上，E,尸分别是边4C和BC上的中

点，试判断四边形CEC尸的形状，并加以说明.

25.定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0,t）（t>0）旋转180°得到点Q,那么称线段

QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”.

(1)当t=3时，点(0,0)的“拓展点”坐标为，点(-1,1)的“拓展点”坐标为一；

4

(2)如果t>l,当点M(2,1)的“拓展点”N在函数y=--的图象上时，求t的值；

X

(3)当t=l时，点Q为点P(2,0)的“拓展点”，如果抛物线y=(x-m)J1与“拓展带”PQ有交点,

求m的取值范围.

26.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N,其

顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求aAPC的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在对称轴上是否存在一点M,使4ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和AANM周长的

最小值；若不存在，请说明理由.

一.选择题(共12小题，满分36分)

L-2的倒数是()

A.-2B.--C.-D.2

22

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据倒数的定义求解.

【详解】解：-2的倒数是-工，

2

故选：B.

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握.

2.如图，下列四个图形是由己知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）

①圆柱②正方体③三棱柱④四棱锥

A.①②③④B.②①③④C.③②①④D.④②①③

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据常见几何体的展开图即可得.

【详解】由展开图可知第一个图形是②正方体的展开图，

第2个图形是①圆柱体的展开图，

第3个图形是③三棱柱的展开图，

第4个图形是④四棱锥的展开图，

故选B

【点睛】本题考查的是几何体，熟练掌握几何体的展开面是解题的关键.

3.华为〃皿旭20是世界上首款应用7纳米手机芯片的手机，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用

科学记数法表示为（）

A.0.7X10-8B.7X108C.7X10"D,7X1010

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl（T",与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数寻，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7X109.

故选C.

【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-",其中K|a|<10,〃为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1,这个多边形的边数是(

)

A.8B.9C.10D.12

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方

程x+3x=180,解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.

解：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，

由题意得：x+3x=180,

解得x=45,

这个多边形的边数：360。+45。=8,

故选A.

考点：多边形内角与外角.

5.下列计算正确的是()

A,a3+a2=a5B.3a-2=—C.a6b-?a2=a3bD.(-ab3)2=a2b6

3a2

【5题答案】

【答案】D

【解析】

［分析】利用整式运算法则判断.

【详解】选项A./+“2,不能计算，

3

选项B.3a-2==,错误，

选项C.4％全2=4％,错误，

选项D.(-ab3)2=屏步，正确.

故选D.

【点睛】(1)易错辨析

。+〃=2。；

=0,

"1=1,

a❷。=a~

(a+b)2-a2+2ab+b2

Ca+b)2//+b2-

(2)公式辨析

a"❷优,=an+m,(")"=a"b",a"+a"'=a""'，("')'"=.

要灵活应用上述公式的逆用.

6.已知函数y="+b的图象如图所示，则函数y=-公+人的图象大致是()

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数y=fcv+匕的图象位置可得％>0,b<0,然后根据系数的正负

判断函数>=-bx+4的图象位置.

【详解】解：•.•函数y=fcv+匕的图象经过第一、三、四象限，

：.k>0,b<0,

：.-b>0

...函数>=-芯+A的图象经过第一、二、三象限.

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=履+，与y轴交于（0,b）,当人>0时，（0,b）在y

轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当人<0时，（0,6）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.k

>0,&>0（=丘+〃的图象在一、二、三象限；k>0,8〈。/=心:+人的图象经过一、三、四象限；k<0,b

>0e=履+6的图象经过一、二、四象限；k<0,6<0令，=履+6的图象经过二、三、四象限.

7.为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如

下表.则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）

每周做家务的时间（小时）01234

人数（人）22311

A.3,2.5B.1,2C.3,3D.2,2

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：表中数据为从小到大排列.数据2小时出现了三次最多为众数；2处在第5位为中位数.

所以本题这组数据的中位数是2,众数是2.

故选D.

考点：1.众数；2.中位数.

8.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是正方形

C.对角线相互垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.

【详解】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；

8、四条边相等的四边形是菱形，故错误；

C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；

。、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；

故选。.

【点睛】考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理.

9.三角形两边长分别为4和6,第三边是方程X2-13/36=0的根，则三角形的周长为（）

A.14B.18C.19D.14或19

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9,然后计算三角形的周长.

【详解】解:<x-4）（x-9）=0,

x-4=0或x-9=0,

所以a=4,及=9,

即三角形的第三边长为4或9,

所以三角形的周长为4+6+4=14或4+6+9=19.

故选。.

【点睛】考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式

分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的

解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也

考查了三角形三边的关系.

10.如图，。0中，CD是切线，切点是D,直线C0交。0于B,A,ZA=20°,则/C的度数是（）

A.25°B.65°C.50°D.75°

【10题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】连接0D,根据切线的性质得到NODC=90。，根据圆周角定理得到/COD=2NA,计算即可.

详解】连接OD,

COD

「CD是00的切线，

ZODC=90°,

ZCOD=2ZA=40°,

...ZC=90o-40°=50°,

故选C.

【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

11.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树

顶的仰角为60。，已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米，6=1.732）.

1014米C.805米D.820米

[11题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】过点D作DF_LAC于F,

在直角△ADF中,人尸=人口・8530。=300白米4^=gAD=300米,

设FC=x，则AC=300G+X,

在直角△BDE中,BE=6DE=6X,贝IJBC=300+石x,

在直角△ACB中,NBAC=45。，

这个三角形是等腰直角三角形，

AC=BC,

30075+x=300+6x,

解得:x=300,

.".BC=AC=300+300V3,

，山高是300+300&5=285+300盾805（米），

故选C.

12.如图，一次函数yi=ax+b图象和反比例函数y2=一图象交于A(l,2),B(-2,-1)两点，若yiVy2,

x

B.x<-2或0<x<1

C.x<lD.-2Vx<0或x>l

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，即可得解.

【详解】根据题意可得，即一次函数图象位于反比例函数图象的下方,

，x<—2或0<x<1.

故选B.

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，难度较易，解此题的关键在于利用函数图形进

行判断即可.

二.填空题(满分18分，每小题3分)

13.若a,b都是实数，b=Vl-2«+^2a-\-2,则ab的值为.

【13题答案】

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幕的性质得出答案.

【详解】解：；b=，—2a+、2a-1-2,

l-2tz>0

"2a-l>0

/.l-2a=0,

解得：3.--,则b=-2,

2

故ab=(—)-2=4.

2

故答案为4.

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幕的性质，正确得出a的值是解题关键.

14.分解因式：41-16产=.

【14题答案】

【答案】4(x+2y)(x-2y).

【解析】

【分析】首先提取公因式4,进而利用平方差公式分解因式得出即可.

【详解】解：4X2-16^=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y).

故答案为：4(x+2y)(x-2y).

【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的

关键.

15.如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm,母线长是50cm,制作一个这样的烟囱冒至少需要cm2

【15题答案】

【答案】200071.

【解析】

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长和扇形的面积公式进行计算.

【详解】圆锥形的烟囱冒的侧面积=!・80兀•50=2000兀(cm2).

2

故答案为2000K.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

16.如图是一个可以自由转动的转盘，如表是一次活动中的一组统计数据：

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”的次数m68111136345546701

转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是_____(结果保留小数点后一位).

【16题答案】

【答案】0.7

【解析】

【分析】用n=1000次对应的m的值可估计落在“铅笔”的概率.

【详解】701-5-1000=0.701»0.7

转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是0.7.

故答案是：0.7.

【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆

动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就

是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

17.结合下面图形列出关于未知数x,y的方程组为.

A

【17题答案】

2x+y=50

【答案】

3x=2y+5

【解析】

【分析】根据图形列出方程组即可.

2x+y=50

【详解】由图可得《

、3x=2y+5

2x+y=50

故答案为<

3x=2y+5

【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是根据实际问题抽象出二元一次方程组.

18.如图，抛物线丫=2*2+6*+。与直线y=kx+m在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交

于A(—1,0)、点B(3,0)和点C(0,—3),一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.当x满足：

时一次函数值大于二次函数的值.

【18题答案】

【答案】0<x<3

【解析】

【详解】试题分析：一次函数值大于二次函数的值，在图像上是直线在抛物线的上方，根据所给图象可得

当0<x<3时，一次函数值大于二次函数的值.

考点：一次函数值与二次函数的图象.

三.解答题(共8小题，满分66分)

19.计算：(6-2)°+(；)T+4cos30。-|4-712I

【19题答案】

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用零指数幕的性质以及负指数基的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进

而得出答案.

【详解】(6-2)。+(；)-'+4cos30°-|4-712I

=l+3+4x立-(4-2^/3)

2

=4+2省-4+273

=46.

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.先化简，再求值：I2——----+------------->其中x=2.

Ix+I)x2-1

【20题答案】

]_

【答案]--

x+35

【解析】

【分析】先将小括号内进行通分运算，再将除号后面的项的分子分母分解因式，最后将除法运算转化为乘

法运算，进行约分化简，再代入求值即可.

f_x_1)尤？+6x+9

【详解】解：2--------+——；-------

(x+\)x2-1

_(2(x+l)-x+l]-(九+3)2

1x+1J(x-l)(x+l)

_x+3(x+l)(x-l)

x+1(无+3)~

x-1

x+3

,2-11

当x=2时，原式=----=—.

3+25

【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，分式化简常用方法为通分和约分，掌握通分和约分的计算

方法是解此题的关键.

21.”机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解

情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A.非常了解，B.比较了解，C.基本了解，D.不

太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.

学生对交通法规了解情况条形统计图学生对交通法了解情况扇形统计图

请结合图中所给信息解答下列问题：

（I）本次共调查一名学生；扇形统计图中C所对应扇形圆心角度数是一；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？

（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、

丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同

时被选中的概率.

【21题答案】

【答案】（1）60、90°；（2）补全条形图见解析；（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有320

名；（4）甲和乙两名学生同时被选中的概率为

6

【解析】

【详解】【分析】（1）用A的人数以及所占的百分比就可以求出调查的总人数，用C的人数除以调查的总人

数后再乘以360度即可得；

（2）根据D的百分比求出D的人数，继而求出B的人数，即可补全条形统计图；

（3）用“非常了解''所占的比例乘以800即可求得；

（4）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况用，利用概率公式进行求解即可得.

【详解】（1）本次调查的学生总人数为24+40%=60人，

扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°xl1=90°,

故答案为60、90°；

（2）D类型人数为60x5%=3,则B类型人数为60-（24+15+3）=18,

补全条形图如下：

学生对交康施了快情况条形婉计图

（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800x40%=320名;

（4）画树状图为：

甲乙丙丁

小G缶冷丙

共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2,所以甲和乙两名学生

同时被选中的概率为2=4.

126

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率、用样本估计总体等，

读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的有关联的信息进行解题是关键.

22.在AABC中，NABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE_LBD于点E,过点A作BD的平

行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.

（1）求证：BD=DF；

（2）求证：四边形BDFG为菱形；

⑶若AG=5,CF=J7,求四边形BDFG的周长.

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8

【解析】

【分析】（1）利用平行线的性质得到NCE4=9（T，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得

证,

（2）利用平行四边形的判定定理判定四边形8OPG为平行四边形，再利用（1）得结论即可得证，

（3）设6斤=%，则A尸=5—X,利用菱形的性质和勾股定理得到CF、4尸和AC之间的关系，解出x即可.

【详解】（1）证明：:AG/BD,CF±BD.

.-.CF±AG,

又；D为AC的中点，

DF=-AC,

2

又蚀口二底©,

2

BD=DF，

（2）证明：•.•BD//GF,BD=FG,

四边形BDFG为平行四边形，

又'BDuDF，

二四边形BDFG菱形，

（3）解：设GF=x,则AF=5-x,AC=2x，

在Rt^AFC中,（2x）2=（近产+（5-x）2,

解得：x,=2,*2=*（舍去）,

r.GF=2，

.,.菱形BDFG的周长为8.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性

质及判定并结合图形作答是解决本题的关键.

23.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）

满足一次函数关系m=162-3x.

（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.

（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理

由.

【23题答案】

【答案】⑴y=-3x2+252x-4860（30<x<54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【解析】

【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价-进价）X每天的销售量”列出函数关系

式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围.

(2)根据(1)所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案.

【详解】(1)由题意得：每件商品的销售利润为(x-30)元，那么用件的销售利润为产〃？(x-30).

又,；m=162-3x,.,.产(x-30)(162-3x),即产-3/+252X-4860.

Vx-30>0,.\x>30.

又•.•加加，A162-3x>0,即烂54,...30处54,.•.所求关系式为尸-3f+252x-4860(30与烂54).

(2)由(1)得y=-3/+252X-4860=-3(%-42)2+432,所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最

大销售利润是432元.

•••500>432,.•.商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=

(销售价-进价)X每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法.

24.如图，已知。。为△A8C的外接圆，圆心。在这个三角形的高C£>上，E,尸分别是边AC和BC上的中

点，试判断四边形CE。尸的形状，并加以说明.

【24题答案】

【答案】四边形CEDF为菱形.证明见解析.

【解析】

【分析】由垂径定理知，点。是AB的中点，有AD=BD,可证△C4D会△CBO,可得AC=8C；由E,尸

分别为AC,BC的中点，。为AB中点，得£>F=CE=LAC,DE=CF=—BC,即DE=DF=CE=CF,从

22

而可得四边形CEQF为菱形.

【详解】四边形CEDF为菱形.

证明：YAB为弦，CD为直径所在的直线且ABLCD,

；.AD=BD,ZADC=ZCDB,

在AADC^CUBDC中

AD=BD

<ZADC=ZBDC,

CD=CD

.".△CAD^ACBD(SAS),

・・・AC=BC；

又・・・E,F分别为AC,BC的中点，D为AB中点，

.\DF=CE=—AC,DE=CF=，BC,

22

；.DE=DF=CE=CF,

...四边形CEDF为菱形.

【点睛】考查了垂径定理、三角形全等、三角形中位线的性质以及菱形的判定.根据垂径定理得出

是解题关键.

25.定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T(0,t)(t>0)旋转180°得到点Q,那么称线段

QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”.

(1)当t=3时，点(0,0)的“拓展点”坐标为，点(-1,1)的“拓展点”坐标为一；

4

(2)如果t>l,当点M(2,1)的“拓展点”N在函数y=--的图象上时，求t的值；

X

(3)当t=l时，点Q为点P(2,0)的“拓展点”，如果抛物线y=(x-m)2-1与“拓展带”PQ有交点，

求m的取值范围.

【25题答案】

【答案】⑴(0,6),(1,5)；(2)?=-；⑶根的取值范围为—m43.

2

【解析】

【分析】(1)根据中心对称可得结果；

(2)把点M坐标带入反比例函数解析式即可得解；

(3)因为抛物线y=(x-mF—1与“拓展带”PQ有交点，所以将点P、Q坐标以分别代入解析式即可解答.

【详解】⑴点(0,0)的“拓展点”坐标为(0,6),点(-1,1)的“拓展点”坐标为(1,5).

(2)当时，点M(2,1)的“拓展点"N为"2,21).

4

•・•点N在函数y=--的图象上，

x

4

・・・21-1=——.

-2

••I—.

2

(3)当仁1时，点P(2,0)的“拓展点”。为(-2,2),

当抛物线y=(x-/n)--1经过点P(2,0)时，可得m=1或m=3.

当抛物线y=(x—m)2—l经过点。(-2,2)时，可得机=一2+6或m=一2-6-

.,.加的取值范围为一2-6＜机43.

【点睛】本题考查中心对称及平面直角坐标系中的有关知识、待定系数法，解题关键是平面直角坐标系中

找规律，根据解析式代入求值.

26.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N,其

顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求aAPC的面积的最大值及此时点P的坐标：

(3)在对称轴上是否存在一点M,使4ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和4ANM周长的

最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

【26题答案】

127

【答案】(1)y=-2x+3；y=-x+l；(2)当彳:-二时，△APC的面积取最大值，最大值为工，此

28

时点P的坐标为(-工，—);(3)在对称轴上存在一点M(-1,2),使△ANM的周长最小，/XANM周

24

长的最小值为3&+如.

【解析】

【分析】（1）根据点4C坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P

作PE〃y轴交x轴于点E,交直线AC于点凡过点C作CQ〃y轴交x轴于点Q,设点P的坐标为（x,-

好-21+3）（-2VxVl）,则点E的坐标为（x,0）,点尸的坐标为（x,-x+1）,进而可得出PF的值，由