平面与平面垂直课时检测

1.已知〃?，〃是两条不同的直线，a，£是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若m_L〃，mcia,nu0,则。若加〃〃，nu0,则m〃£.

C.若加_La,mlIn,n//（3,则。_1;?.D.若机ua,naa,mlIp,〃〃6，则a〃6.

【答案】C

【详解】

选项A.由/n_L〃，帆ua,nu/3,不能得出加_Lc，故不能得到二人力，所以A错误.

选项B.mlln,〃u/7,则可能是机u尸，不一定是〃?//月，所以B错误.

选项C.由m_La,/”〃〃，贝！l〃_La,又〃//4，则a_L4，所以C正确.

选项D.若mua,〃ua,ml1（3,〃//耳,若相〃“时，则a,4可能相交，所以D不正确.

2.若加，〃是两条不同的直线，a,°,7是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加三々，al/7,则根_L/7

B.若。n#=〃2，尸1?7=",mlIn,则a〃/

C.若4>Ly,则

D.若加_La,tnlip,则a_L4

【答案】D

【详解】

对A,当aVp,则加_L万或机//月或机与夕相交；对B,当an/?=帆，60/=",mJIn,

则a〃/或a与/相交：对c,若a，6，01y,则a或a〃/或a与V相交；对D,若m///3,

则a”.

3.已知直线/,〃?和平面a,4满足/_La,/nu夕，下列命题:

①a_1_夕=/〃加；

②a〃0=11tn；

③1na〃B；

④I〃tnna【B

正确命题的序号是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【详解】

\/\由图可知，命题①不正确；

allp,mu0,.・.m〃ua,且加〃〃，

又・.・/_La，・../_!_〃，则/JLm,故命题②正确；

\若ac笈=根由图可知，命题③不正确；

,/U/m,/J_a，:.mVa

乂•；mu（3,:.aA_/3,故命题④正确.

4.如图，在三棱锥尸―ABC中，PALAB，PAA.AC,D、E、产分别是所在棱的中点.则下列说法

错误的是（）

A.面。瓦7/面PBCB.面厚3JL面A8CC.PALBCD.DE!/PC

【答案】D

【详解】

解：QD、E分别是Q4，AB的中点，

:.DE//PB，乂DE,平面P8C，PBu平面P8C，

.•.DE〃平面P5C,

同理可得。尸〃平面PBC，

又DEcO尸=£＞，，平面。瓦7/平面P8C,故A正确；

-.-PAYAB,PALAC，A8p|AC=A,

.•.B4c平面ABC，

:.PALBC^故C正确，

又QAu平面ms,

•••平面K4B_L平面ABC,故B正确;

假设。E//PC，又DE//PB,

..PB//PC，与PBcPC=P矛盾,故。E与PC不平行，故。错误，

5.已知两个不重合的平面/夕，若直线/ua，贝广。_LZ?”是“/J■耳”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

根据面面垂直的判定定理，可知若•月，可推出。，尸，即必要性成立；反之，若a，民/ua,

则/与〃的位置关系不确定，即充分性不成立；

所以“a，4"是“，夕，的必要不充分条件.

6.已知长方体ABC。—A与在平面上任取点”，作〃£，48于点后，则（）

A.ME，平面ABC。

B.MEu平面ABCD

C."EP平面ABC。

D.以上都有可能

【答案】A

【详解】

:MEu平面明与8,平面A41ABe平面ABC。=AB,且平面A41AB，平面ABC。,ME人AB,

平面A3CD

7.如图，在菱形ABC。中，AB=2,ZZMB=60°,E是AB的中点，将AADE沿直线OE翻折至△4。后

的位置，使得面4包＞，面3CDE,则点A到直线的距离为（）

A.立B.近

24

C.3D.73

2

【答案】A

【详解】

如图，

C

是A3的中点，•,.EB=E4=3=；A3=1,

在菱形ABC。中，A3=2，ZZMB=60°,得△AB。、△BCD是等边三角形，

.-.BD=CD=AB=2,&\lA,D=AD=AB=2,

正三角形4h中，E是A3的中点，则DEL43,可得。后，4七，

又面面3CDE,且面AEOC面6co£=£>£,

.•.4七_1平面5。£>£：,则4EL8E，

在中，由A£=8E=1,可得AB=3,

在等腰三角形84。中，取AB的中点“，连接£)”,可得口口同处—卡=号,

设点A1到直线DB的距离为h,

则由等面积法可得，-xA.BxDH=-xBDxh,

22

.hJBxDH山工师.

"BD22

8.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABCO是平行四边形，ADLPA，BC1PB,PB=BC,PA=AB，

PN

M为尸8的中点，若PC上存在一点N使得平面PCD，平面AMM则——=()

NC

【答案】B

【详解】

取PC的中点0,连接80，由DB=BC，所以BOLPC,

过点用作MN//B0,交PC于点N,则MNJ.PC,如图所示,

由AM,平面PBC，PCu平面尸BC,所以AM，PC，

且=M，4Mu平面AMN，MNu平面AAW,

所以PC,平面A"N,

又PCu平面PC。，所以平面尸CDJ■平面4WN，

PNPM1

由R4=AB，M为P8的中点，且MN//B。，所以——=——=一

POPB2

又由PO所1以——PN=—1,所以一P上NI

PC2PC4NC3

a,"为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（)

A.若a//a,b//a,则a//bB.若a_Lb,a_L£,a_La,则人_1_万

C.若aJ_a,Z?_La,则a//D.若a_La,a_L/7,贝心_|_力

【答案】CD

【详解】

对于A,若a//a力//a,则a,buj■能平行、异面或相交，故A不正确；

对于B,若。_1。,。，，,。_1。，则〃与£垂直、平行，相交不垂直或力（=4,

故B不正确;

对于C,若。_1々,。_1_。，则a//b，故C正确；

对于D,若4_1。力_1_尸,&_1_/?,则；_|_方，故D正确.

10.（多选）设a和夕是两个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，则下列说法正确的是（)

A.若加〃a,n//p,mlIn,则a〃尸

B.若m_La,nu/3,alip,则加_L〃

C.若〃2_La,nLp,则a_L尸

D.若加_La,nA-fi,a///7,则加//〃

【答案】BCD

【详解】

mHa,n//p,m/M,并不能推出。〃夕，这时。和夕还可能相交，故A错误；

若加_La,a〃力，则/M_L，，乂〃u，，则/找J_〃，B正确：

若加_La,m±«­则〃〃a或〃ua,又〃_L£,则。_L/7,C正确；

若加_La,a〃尸，中s_L£,乂"_L£,则zn〃〃，D正确.

11.（多选）正三棱柱ABC-A出Ci的各条棱的长度均相等，。为AAi的中点，M,N分别是线段和线段

CG上的动点（含端点），且满足8M=GM当M,N运动时，下列结论正确的是（）

A.在仆DMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面£>MN_L平面BCCB

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.△DMN可能为直角三角形

【答案】ABC

【详解】

对于A,由直线与平面平行的定义得，在ADMN内总存在与平面A8C平行的线段，故A正确；

对于B,若满足BM=GN,则线段MN必过正方形BCG4的中心。，而。O_L平面5CG4,所以，

平面•平面BCC\B\故B正确

对于c,当M,N分别在BB],CG上运动时，的面积不变，N到平面\DM的距离不变，所以，

棱锥N-AOM的体积不变，即三棱锥A-DMN的体积为定值，C正确；

对于D,如图，当M,N分别在B4，CG1二运动时，D项，若△DMN为直角三角形,则必是以NMDN为

直角的直角三角形，但MN的最大值为BG，而此时Z）M，ON的长大于84，所以，△£>〃代不可能为

直角三角形，故D错误；

12.（多选）如图所示，在四棱锥E-ABCD中，△CDE是边长为2的正三角形，点N为正方形A5CD

的中心，M为线段0E的中点，3CLOE则下列结论正确的是（）

A.直线与硒是异面直线

B.线段与EN的长度不相等

C.直线平面4cM

D.直线£4与平面ABC。所成角的正弦值为旦

4

【答案】BD

【详解】

解：对于A选项，连接3。，易知8Mu平面BOE，EN平面BDE，所以宜线和EN共面，A项错

误;

对于B选项，设CO的中点为尸，连接族、FN，则EE_LCO,

■:BCLCD.BC1DE,CDCDE=D,

BC_L平面CZ5E,

•.•BCu平面A8CO,

平面ABCD_L平面CQE,

•••平面ABCDQ平面CDE=CD.所u平面CDE,

.•.£F_L平面ABC。，

•r/Wu平面488,EF1FN,

•.•尸、N分别为CO、BO的中点，则F7V=L8c=1,

2

又EF=dCE'-CF2=#),故EN7EF°+FN°=2,BM=^BC1+CM2=V7>BM力EN，

故B项正确；

对于C选项，由于3C，平面CDE，故ADJJHhiCDE,故AD_L£>E，所以DEL4W不满足，所以

直线OE_L平面ACM不成立，故C选项错误;

对于D选项，设E4与平面A5CD所成的角为。，则6=NE4产，则cos6=££="，故D选项正确.

EA4

E

二、拓展提升

13.如图，正方形A8CO所在平面与以AB为直径的半圆。所在平面A3砂互相垂直，尸为半圆周上异于

A，B两点的任一点，求证：平面平面APC

【答案】证明见解析

【详解】

证明：是半圆直径，APLBP，

:四边形ABCD是正方形，；.CB±AB

平面ABCD±平面ABEF,且平面ABCDQ平面ABEF=AB，

CBu平面ABCD,•••CB_L平面ABEF,

；APu平面R4C，.•.平面P4C，平面P8C.

14.在四棱锥尸一A5CD中，底面ABCD为矩形，AP_L平面PCD,E,尸分别为PC,A8的中点.求

证:

（1）EE//平面QAO；

（2）平面平面ABC。.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）连接AC,BD交于点。，连接OEQF,如图所示:

：A8CD为矩形，点为AC中点，

:E为PC中点、，：.OE〃PA,

••.OEZ平面尸AO，PAu平面尸AD，

OEH平面PAD，

同理可得：OF〃平面？AD，

OEr\OF=O,

，平面OEF〃平面尸AD，

•••斯（=平面。石尸，

二EFH平面PAD

（2）:AP_L平面尸CD,COu平面PC。,

APA.CD,

,:ABCD为矩形，ADLCD,

又••,APcAD=A，APu平面240，ADu平面A4O,

C£）_L平面Q4O，

•••CDu平面ABC£）,

二平面R4DJ_平面ABC。.

15.如图，在四棱锥P—ABC。中，△P4D为正三角，平面平面