湖北中职技能高考-数学知识总汇(2023年)

湖北技能高考数学基础知识总汇

预备知识:

1.完全平方和(差)公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b^^^ab+b2

2.平方差公式：於〃=(a+b)(a-b)

3.立方和(差)公式：b3-(a+^(a2-ab+b2)a3-b3-(a-5)(^+ab+b2)

Pr—b+、l£)2—4ac

4.韦达定理：/+皿=-7；Xi-%2=-；求根公式：冗=-^----.

AA乙CL

第一章集合与充要条件

—•集合

1、集合的有关概念和运算

(1)集合的特性：确定性、互异性和无序性；

(2)元素a和集合A之间的关系：as/,或ae/;

(3)常用数集及其符号：自然数集N、整数集Z、正整数集N*、有理数集Q、实数集R。

(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

2、子集定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：A=B,

注意：A屋B时，A有以下三种可能：A=。、A=B、A的元素比B少且A的元素都属于B。

3、真子集定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A;记作：/曝&

注意：A曝B时，A有以下两种可能：A=。、A的元素比B少且A的元素都属于B。

4、补集定义：CuA={x|x6U,且xgA)..

5、交集与并集：交集：AnB={x|xeA且xwB}；并集：AU8={x|xeA或xw8}

6、集合中元素的个数的计算：若集合A中有〃个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2"个，所

有真子集的个数是2"-1个,所有非空真子集的个数是2"-2个。

二、充要条件

若p=q,则夕叫q的充分条件；

若,则夕叫9的必要条件；

若poq,则夕叫q的充要条件；

第一早不等式

一、不等式的基本性质：

(1)传递性：a>b且b>c,则a>c。

(2)加法性质：a>b贝[]a±c>b土c,且无论c的正负。

(3)乘法性质：①a>瓦c>0,则ac>A、；>?；②a>瓦c<0,则ac<be、

(4)作差法比较两数(或两式)的大小或证明不等式成立：作差一变形(通分、配方、分解因式等一

判断符号。也可以求比来比较大小。

二、区间的概念：由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两个点叫做区间端点。

1、开区间，用"（）"，表示不包含端点。如：2<x<5,用区间表示为（2,5）;

2、闭区间，用"【】"，表示包含端点。如：24x45,用区间表示为【2,5】；

3、左半开区间，如：2<xW5,用区间表示为（2,5];

4、右半开区间，如：2<x<5,用区间表示为[2,5）;

5、无限区间，注意：负无穷大-8与正无穷大+8的旁边都用小括号。

■、绝对值不等式:

x,x>0

(1)|x|=o,X=O

—x,x<0

(2)①|办+目-cWor+bWc小于取中间

(2)>c(c>O)<z>ar+/?>CHj&av+Z?<-c大于取两边

③d<|or+Z?|<c(c>0,6?>0)<=>|or+Z?|<cS.\ax+l^>d

|or+/?|>d

四、一元二次不等式的图解法：

注意：①带等于号的情况；②先化为a>0的形式；③若ax?+bx+c>0的解集为R,则a>0且△<

Oo若ax?+bx+cV0的解集为R,则aVO且△<0。

五、分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;

(1)>0=f(x)>0且g(x)>Q或f(x)<SS且g(x)<Si即f(x)g(x)>Q；

g(“)

(2)偿<0<=>/(x)>0且g(x)<0或f(x)<0且gO)>。即/3)g(x)<0o且g(x)*0o

“第三章函数

1、定义：设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B

中都有唯一确定的数〃x)和它对应，就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f{x).

(x对y,是一对一,或者多对一)

2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；两个函数相同，则定义域、对应法则要相同，最终值域

也相同。

3、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。

4、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母工0；③0次黑：底数工0；

④偶次根式：被开方式20,例：y=j25-1;⑤对数：真数>0，例：y=log“(l一L)

X

⑥指数函数、对数函数：底数(a>0且arl);

5、函数的单调性：

(1)定义：区间D上任意两个值尤”/，若不</时有/(%,)<f(x2)，称/(x)为D上增函数；若

王<4时有/(%,)>)，称/(幻为D上减函数。(一致为增，不同为减)

(2)证明函数单调性的方法：在定义域上取玉</，作差法("匕)-fg)比较大小。

(3)一次函数A0时是增函数，反之是减函数；二次函数a>0时在对称轴左边是减函数，右边是增

函数，a<0时则反之。

6、奇偶性：定义域一定关于原点对称，比较血与名力的关系;要会用奇偶性比较大小。

f(x)-f(-x)=0of(x)=f(-x)o超为偶函数，其图象关于y轴对称；

f(x)+f(-x)=Dof(x)=-f(-x)。向为奇函数，其图象关于原点对称。

7、二次函数：

(1)二次函数的三种解析式

①一般式二/(%),=+b%+c(awOL

在顶点式：1(%)=a(%—kA+南伯，0),其中(k,h)为顶点;

③两根式：=a(%-%i)(x-x2)(awO),其中几此是询=0的两根

(2)图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

开口：a>00开口向上a<0=开口向下

b,b4ac-b2^

对称轴：％=一丁顶点坐标：(—―,-------)

2av2a4a7

’A〉0t有两交点

A与x轴的交点：(A=0-有一交点(△=b2-4ac)

、△<0—无交点

.b

Xy+%7=---

④根与系数的关系：(韦达定理)ca

X1^2=-

⑤f(%)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件为b=0

⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0,用于解二次不等式)

/(x)>0=；=图象位于x轴上方；/0)<0o｛々::Q图象位于x轴下方。

第四章指数函数与对数函数

1.根式与实物旨数幕：

(l)n次根式：如果xn=a(n>l,且nWN*)，则称x是a的n次方根。

①0的n次实数方根等于0,即9=0。

②若n是奇数，则a的n次实数方根记作：曾。

③若n是偶数，且a>0,则a的n次实数方根为土曾,其中曾叫做a的n次算术根。

⑵根式的性质：

(l)(Va)n=a。②Ramp=V^,(a20)。

③当〃为奇数时，怖=a；当〃为偶数时，底7o

-a(a<0)

(3)分数指数黑：①正分数指数累：a"=必；负分数指数鬲：

a；

②a0=l,(aH0)③a-11=9(aH0且aeN*)

⑷实数指数鬲运算法则：

111mn111mn11nn

①aman=am+n.②a"+a=a-；③(a")=a;④(ab)=ab；⑤(针=盖

2.对数及其运算法则：

(1)定义：如果/=N(a>0,"1),贝Wog”=仇以1。为底叫常用对数，记为切V,以

e=2.7182828…为底叫自然对数，记为InN

(2)性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：log“1=0,③底的对数等于1：logua=1,

④积的对数：loga(W)=log“M+log„N,

商的对数：log”^=log„M-logoN,

募的对数：log"M"=〃log“M,方根的对数：log“屈=」og“M，

n

lO9aXbXb

恒等式：a=X(a>0,awl),logax=log0(a>0,awl)。

,N

N

(3)换底公式：logb=4,(a,b,N>0,a,br»。

log。

3.黑函数的图象和性质:

1

y=x2y=x3y=x~2

y=Xy=%2y—

J///\\IT\

J1/..忡

图像J

,,.

j

Ar-：.5T

定义域RRR0+8)/0(0,+8)

值域R[0,+oo)R[0,+8)月0(0,+8)

单调性增先减后增增增减先增后减

奇偶性奇偶奇无奇偶

过定点(0,0)和(1,1)(1,1)

象限1,3121,311,31.2

4.指数函数和对数函数的图象性质：

函数指数函数对数函数

定义y=ax\(a>0且aw1)y=log。x(a>0且aw1)

a>l0<a<la>l0<a<l

图象\yakL

y'y=y’y=logxy'

kta

)\

二7X

001------

/1

y=logx

0-0ra

定义域(-oo,+OO)(0,+OO)

性值域(0,+OO)(-oo,4-00)

单调性增函数减函数增函数减函数

质函数值>l,x>0<l,x>0>0,x>1<0,x>1

变化a'-=l,x=0ax-=l,x=0log°x=0,x=1log”不=0,x=1

<l,x<0>l,x<0<0,0<x<1>0,0<x<1

定点•••a°=L•.过定点(0,1)•.•1(%1=0,二.过定点(1,0)

图特征,/a'>0,A图象在x轴上方•.•%＞。,.・.图象在丫轴右边

图象y=ax的图象与y=log”x的图象关于直线y=x对称

象关系y=产的图象与y=qT的图象关于V轴对称，例y=3攵与y=（1）xo

5.鬲函数（y=%。）和指数函数（y=标）的特征都可归纳为："因变量、自变量的系数都为1,只有一

项"。即等式左右两边都只有一项且系数都为1。

第五章三角函数

1、角的定义：①概念：角、始边、终边、顶点、正角、负角、零角、象限角、界限角。②终边相同的

角：与。终边相同的角的集合为{夕IA=a+h360°,ZeZ},一般—360。WaW360%处理方法是

去整留零。

2、弧度制：(D定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

1on

⑵度数与弧度数的换算：180。=万弧度，1。=看rad,1弧度=(—)

180兀

(3)弧长公式:l=\a\r(a是角的弧度数)

扇形面积：S=!"==:|a|/

3、任意角的三角函数：(如图)

s•ma=-ycosa=-xt,ana=-y

4、同角三角函数基本关系式

(1)平方关系,(2)商数关系,(3)倒数关系：

sin2a+cos2a=1sina=±V1-cos2acosa=±V1—sin2a

2

(sina±cosa)=1+2sinacosa

tane=殉£tana-cosa=sina用于弦化切、切化弦。

cos«

5、诱导公式(理解记忆方法：把a"看成锐角"，则-a、180°+a、180°-a分别是第四、第三、第二

象限角，再确定其符号。三角函数的形式不变。)

公式一：sin(«+k-360°)=sinacos^z+k-360°)=cos<7tan(<z+k-360°)=tan<z

公式二：公式三：公式四：(奇偶性)

sin(l80°-cr)=sincrsin(180°+a)=-sincrsin(-a)=一sina

COS(180o-C?)=-C0S6ZcosQ80°+(z)=-coscrcos(-a)=cosa

tan(180°-cr)=-tan6rtan(180°+a)=tanatan(-a)=-tanor

6、三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

7、三角函数的图象性质：(左eZ)

周期奇偶

函数定义域值域递增区间递减区间

性性

[-+2U,—+2^1

T=2万奇函TC—,TC—,

y=sinx----1~2k兀,—F2k?r

xeR[-1，1]

数22J\_22J

T=2兀

y-cosx偶函[(2k-l)〃,2hr]伙心(2*1)万］

xeR[-1，1]

数

{x\x^^+k^}T=71奇函(TV."7、

y=tanx------1-k冗，----FK7V

(-oo^+oo)122)

数

TT

y=sinx图象的五个点：(0,0),(y,1),(万，0),(—,-1),(24，0)；

yr37r

y=cosx图象的五个点:(0,1),(y，0),(^,-1),(y,0),(2»,1);

8、灵活运用三角函数的图象比较大小：例如：cos三和sin三,sin43。和sin133。。

9、牢记0〜360。内特殊角的三角函数值、x=kn±：时tanx不存在、勾股定理：3、4、5和5、12、

13的关系。

第六章数列

--数列：

前项和：。

(1)nSn=%+2++…+an;

1

(2)前n项和与通项的关系：an=心V；

-3nT(n>L)

(3)a54-a6+a7+a8=S8—S4；

(4)常数列的等差数列，非零常数列是等比数列。

(5)观察法求通项公式：根据前几项的规律分析项和项数n的关系。如果是摇摆数列，奇负偶正乘以

nn+1

(-1);奇正偶负乘以(一1)。

二.等差数列：

1.定义：«„+|-an=d1,

2.通项公式:%=%+(〃-1)6/(关于n的一次函数)，

3.前n项和：(1).同="”册)(2).S„=nai+^^-d

4.等差中项：若q,4，生成等差数列，则24=4+a3

5.等差数列的主要性质：

(1期差数列｛%｝若〃+/〃=〃+g则an+am=ap+aqo特别地若m+n=2p则an+am=2apo

也就是：«i+an=a2+an_x=a3+an_2=...o

(2)an=am+(n-m)d

(3)在等差数列｛%｝中，S“是其前n项和：S„,S2n-Sn,Sj,,-%,三项成等差数列，ZeN*

三,等比数列：

1.定义：—=q(q*0).

an

2.通项公式：凡=qq"T(其中：首项是G,公比是q)。

nat,(g=l)

3.前n项和］:S“=q-%4_6(1-力,八(推导方法：乘公比，错位相减)。

，(

-\;-q--l;-q4*1)

4.等比中项：若%,生，生成等比数列，贝(=4•%，。2=±J4q

5.等比数列的主要性质：

2

(1)等比数列｛%｝，若〃+m=〃+丫，贝•%,=auy.。特别地：若m+n=2p则-an=ap

即等比中项。

也就是：•4=«2-an-\=a3-an-2.....。

⑵4=%.尸

⑶在等比数列｛%｝中，s“是其前n项和：Sn,S2l-Sn,83“-%,三项成等比数列，ZeM

四.灵活运用一些解题技巧：①1-q2n=(l+qn)・(l-qn)用于等比数列前n项和公式化简；②等比数列

中ai7+ai8+ai9+a20=(ai+a2+a3+a4)qi6=S20-Si6；③等差数歹1」中a9+au)=a3+a4+12d。

@a2+a4+•一+an-2+an=ai+a3+…+an-3+an-i+(n/2)cl0⑤等差数列常用求差、等比数列常用求比解决

问题

第七章平面向量

1.向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、负向量、共线向量、相等向量、相

反向量。

2.向量的运算：(1)、向量的力口减法：a+0=0+a=a;a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)。

(2)数乘运算：

①定义：实数;I与向量［的积是一个向量，记作：O

②它的长度：|龙

③它的方向：当％>0,九。与。平行且同向；当4<0,4。与a平行且反向；当2=0时，4a=6。

④向量的数乘运算法则：0-a=0；la=a;2-0=0;(Ap)a=A(pa)=p(Aa);(A+p)a=Aa+pa；

Na+b)=入a+入〃。总之：实数运算中的去括号、移项、合并同类项、因式分解(提取公因式)等

可直接应用于向量运算。

3.向量的线性运算(加法、减法、数乘运算)：/=/la+/^称/可以用a、b线性表示。

4.平面向量的坐标运算：

(1)坐标运算：设a=(X,y),*=(%2,必)，则a±%=(占±电，必土必)

设A、B两点的坐标分别为(xi,力)，(X2,y2),则第3=(々-为，力-%)。

(2)实数与向量的积的运算律：设a=(x,y),则入a=y)=(Zx,Ay)0

(3)平面向量的内积(数量积)：

①定义：ab=p|-|j|cos^a^Q,b^0,0°<6<180°

Q-a=0.

②内积坐标运算:设a=(xi,yl),b=(x2,y2)，则a-b=x]x2+y]y2；

222

向量a=(x,y)的模|a|：模|a|=卜+"(\a\=a-ax+y;

③设。是向量W=&,y)/的夹角，则cos"瞿=

\a[\b\J/』J+">「"“'?2+%-,

5、重要结论:

(i)两个向量平行的充要条件：

设非零向量4=(王,乂),，=(工2，%)，当力中0时，有a//0=a=20o芭％_工2y=0

显然，两个向量平行，其横、纵坐标成比例，如a=(1,2)、b=(3,6),c=(-5,-10)两两平行。

(2)两个向量垂直的充要条件：

设Q=（内，M）,〃=（%2，乃），则“，力=0。=0=%％2+乂％=°

（3）两点A（M,y）,B（X2,为）的距离：IAB|=，（七一々尸+（必一出（

（4）若a=b,b=c，贝！Ja=c一定成立。若aHb,bHc，则a〃c不一定成立（。=0）„向量

问题一定要关注特殊的0,直线问题一定要关注特殊的K不存在情况。

（5）两非零向量“、b不共线，欲ka+b与a+k8共线，用。、人的系数为0,来确定k的值。

第八章直线和圆的方程

一、直线

1.直线的倾斜角和斜率

TT

⑴直线的倾斜角aw[0,n）、两条直线的夹角ae[0,1]、两个向量的夹角aw[0,2n]0

（2）直线的斜率，即4=tana（aw90°）

⑶斜率公式：经过两点Pi（xi,y。、P2（x2,y2）的直线的斜率为攵二上口^修-无产0）

x2-x}

2.直线的方程（一次函数）

（1）点斜式：y-yo=k（x-xo）

⑵斜截式：y=kx+b

⑶一般式：Ax+By+C=O（A、B不同时为0）（斜率为纵截距为-/横截距为

-日，也可以令x