2021-2022学年湖北省孝感市云梦县黄香高级中学高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年湖北省孝感市云梦县黄香高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|3x﹣7＜8﹣2x}，则A∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＞3}2．（5分）命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（）A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q3．（5分）函数y＝loga（x+2）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角α的终边上，则cosα的值为（）A． B． C． D．4．（5分）设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（）A．12 B．16 C．18 D．245．（5分）已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（5分）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（）A．y＝|sinx| B．y＝1﹣cos2x C．y＝﹣3sin2x D．y＝1+2tanx7．（5分）已知函数f（x）＝的图象与直线y＝k有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．（﹣4，﹣3） B．[﹣4，﹣3） C．[﹣4，﹣3] D．（﹣4，﹣3]8．（5分）若正数a，b满足2a（b﹣1）＝b+3，则2a+b的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．15二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab D．若a＜b＜0，则（多选）10．（5分）下列函数中，不能用二分法求其零点的是（）A．f（x）＝﹣x2+2x﹣1 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝1+cosx D．f（x）＝ex﹣2（多选）11．（5分）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）已知函数，函数，则下列选项中正确的有（）A．函数y＝f（x）是奇函数 B．函数y＝g（x）的最小值为1 C．[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1 D．[g（x）]2+[f（x）]2＝f（2x）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝．14．（5分）函数的定义域为．15．（5分）已知，且，则＝；＝．16．（5分）酒后驾车是严重危害交通安全的违法行为．为保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员认定为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某一位驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过小时才能驾驶．（注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg7＝0.845．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣m）2＜1}，函数f（x）＝lg定义域为B．（1）求集合A，B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）求下列各式的值．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．19．（12分）已知．（1）化简f（α）；（2）已知f（α）＝﹣2，求的值．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递减区间．21．（12分）已知函数．（1）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？22．（12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P（x）（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量Q（x）（个）与时间x（天）部分数据如表所示：x（天）10202530Q（x）（个）110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．（1）求k的值；（2）给出以下二种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②Q（x）＝a|x﹣25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N+）（元）的最小值．（函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，性质直接应用．）

2021-2022学年湖北省孝感市云梦县黄香高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|3x﹣7＜8﹣2x}，则A∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＞3}【分析】利用集合的交集运算即可得解．【解答】解：因为B＝{x|3x﹣7＜8﹣2x}＝{x|x＜3}，又A＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（）A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n∈Z，n∉Q，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝loga（x+2）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角α的终边上，则cosα的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用对数函数的性质求得A（﹣1，2），再利用三角函数的定义即可得解．【解答】解：令x+2＝1，则x＝﹣1时，y＝loga1+2＝2，故y＝loga（x+2）+2过定点A（﹣1，2），由三角函数定义可得，．故选：B．【点评】本题考查了对数函数的性质，涉及到三角函数的定义，属于基础题．4．（5分）设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（）A．12 B．16 C．18 D．24【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则弧长为l＝3r，因为扇形的周长为20，所以2r+3r＝20，解得r＝4，则l＝12，故扇形的面积为．故选：D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】根据对数的换底公式得出：，然后根据对数函数的单调性和不等式的性质即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，∵log60.2＜log60.3＜log60.4＜log61＝0，∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（）A．y＝|sinx| B．y＝1﹣cos2x C．y＝﹣3sin2x D．y＝1+2tanx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和周期性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A：y＝|sinx|的最小正周期为π，且|sin（﹣x）|＝|﹣sinx|＝|sinx|，即y＝|sinx|为偶函数，故A错误；对于B：y＝cos2x的最小正周期为π，且1﹣cos2（﹣x）＝1﹣cos2x，即y＝1﹣cos2x为偶函数，故B错误；对于C：y＝﹣3sin2x的最小正周期为π，且为奇函数，故C正确；对于D：y＝1+2tanx的最小正周期为π，且1+2tan（﹣x）＝1﹣2tanx≠1+2tanx不恒成立，即y＝1+2tanx不是奇函数，故D错误．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的判断，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝的图象与直线y＝k有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．（﹣4，﹣3） B．[﹣4，﹣3） C．[﹣4，﹣3] D．（﹣4，﹣3]【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象即可求出k的取值范围．【解答】解：作函数和y＝k的图象，如图所示，可知k的取值范围是﹣4＜k≤﹣3．故选：D．【点评】本题考查了分段函数图象的应用，属于基础题．8．（5分）若正数a，b满足2a（b﹣1）＝b+3，则2a+b的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．15【分析】由正数a，b满足2a（b﹣1）＝b+3得2a＝＞0得b﹣1＞0，则2a+b＝+b＝+b﹣1+2，然后用基本不等式可解决此题．【解答】解：由正数a，b满足2a（b﹣1）＝b+3得2a＝＞0得b﹣1＞0，则2a+b＝+b＝+b﹣1+2≥2+2＝6，当且仅当＝b﹣1即b＝3时等号成立．故选：B．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的性质，结合作差法即可得解．【解答】解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，因为a＞b＞0，则a+b＞0，a﹣b＞0，所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，即a2＞b2，故B正确；对于C，取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，但a2＝4＞2＝ab，故C错误；对于D，因为a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，所以，即，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．（多选）10．（5分）下列函数中，不能用二分法求其零点的是（）A．f（x）＝﹣x2+2x﹣1 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝1+cosx D．f（x）＝ex﹣2【分析】根据题意，利用二分法的定义，结合零点存在定理分析，即可得到本题的答案．【解答】解：对于A，f（x）＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2≤0，可知A中的函数不能用二分法求零点，故A正确；对于B，，且f（0）•f（1）＜0，可知B中的函数能用二分法求零点，故B错误；对于C，因为﹣1≤cosx≤1，所以f（x）＝1+cosx≥0，可知C中的函数不能用二分法求零点，故C正确；对于D，f（ln2）＝0，且f（0）•f（1）＜0，可知D中的函数能用二分法求零点，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查二分法的定义、函数的零点存在性定理等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．（多选）11．（5分）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（）A． B． C． D．【分析】构造关于sinα的方程求得sinα的值判断选项A；利用同角三角函数关系求得tanα的值判断选项B；分别求得sinα+cosα，sinαcosα的值判断选项CD．【解答】解：由，可得，则，解之得，或又0≤α≤π，则，故选项A判断正确；则，，故选项B判断正确；，故选项C判断错误；，故选项D判断正确．故选：ABD．【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，是基础题．（多选）12．（5分）已知函数，函数，则下列选项中正确的有（）A．函数y＝f（x）是奇函数 B．函数y＝g（x）的最小值为1 C．[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1 D．[g（x）]2+[f（x）]2＝f（2x）【分析】根据题意，利用奇函数定义判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；利用指数运算计算判断CD，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）的定义域为R，，函数f（x）是奇函数，A正确；对于B，函数g（x）的定义域为R，ex＞0，e﹣x＞0，，当且仅当x＝0时取等号，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝．【分析】利用幂函数的定义即可求出．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2a，解得a＝，∴f（x）＝，∴f（4）＝＝，故答案为：．【点评】熟练掌握幂函数的定义是解题的关键14．（5分）函数的定义域为．【分析】利用正切函数的性质即可得解．【解答】解：因为，所以，则，所以函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．15．（5分）已知，且，则＝；＝．【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式即可得解．【解答】解：因为，所以，因为，所以，所以，．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．16．（5分）酒后驾车是严重危害交通安全的违法行为．为保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员认定为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某一位驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过5小时才能驾驶．（注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg7＝0.845．【分析】利用题中的条件，列出不等式，即可解出．【解答】解：由题意可得100×（1﹣30%）t＜20，∴t＞≈4.51，故答案为：5．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣m）2＜1}，函数f（x）＝lg定义域为B．（1）求集合A，B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）求解一元二次不等式化简A，由对数函数的真数大于0求解x的范围可得B；（2）问题转化为A⫋B，进一步可得关于m的不等式组求解．【解答】解：（1）由（x﹣m）2＜1，得﹣1＜x﹣m＜1，即m﹣1＜x＜m+1．∴A＝{x|（x﹣m）2＜1}＝（m﹣1，m+1），由＞0，得＜0，即﹣2＜x＜1．∴B＝（﹣2，1）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B．即，解得﹣1≤m≤0．∴实数m的取值范围是[﹣1，0]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查充分必要条件的应用，考查化归与转化思想，是基础题．18．（12分）求下列各式的值．（1）；（2）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】（1）利用三角函数诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解；（2）利用对数的换底公式即可得解．【解答】解：（1）＝＝．（2）（log43+log83）（log32+log92）＝＝＝＝＝．【点评】本题考查诱导公式以及对数的运算法则，属于中档题．19．（12分）已知．（1）化简f（α）；（2）已知f（α）＝﹣2，求的值．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；（2）根据同角关系式结合条件即得．【解答】解：（1）＝＝．（2）因为f（α）＝﹣2，所以tanα＝2，所以＝．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递减区间．【分析】（1）根据正弦函数的性质结合条件即得；（2）利用正弦函数的单调性结合条件即得．【解答】解：（1）因为，所以，，令，得，所以x＝时，函数f（x）取得最大值；令，得，所以x＝时，函数f（x）取得最小值﹣1；综上，f（x）在区间上的最大值为，最小值为﹣1．（2）因为（k∈Z）时，f（x）单调递减，所以时，f（x）单调递减，当k＝0时，；当k＝1时，；所以f（x）的单调递减区间是，．【点评】本题考查了正弦函数的单调性应用问题，是基础题．21．（12分）已知函数．（1）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（2）利用函数奇偶性的性质即可得解．【解答】解：（1）根据题意，函数的定义域为R，而y＝2x为增函数，则为减函数，故是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则＝，因为x1＜x2，所以，则，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上为增函数．（2）假设存在实数a，使f（x）为奇函数，则f（0）＝0，所以，解得a＝1，当a＝1时，，其定义域为R，所以，则f（x）为奇函数，故存在实数a＝1，满足题意．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数奇偶性的应用，属于基础题．22．（12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P（x）（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量Q（x）（个）与时间x（天）部分数据如表所示：x（天）10202530Q（x）（个）110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．（1）求k的值；（2）给出以下二种