山东省菏泽2024届数学高一第二学期期末统考试题含解析

山东省菏泽2024届数学高一第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等2．已知圆x2+y2+2x-6y+5a=0关于直线y=x+b成轴对称图形，则A．(0,8) B．(-∞,8) C．(-∞,16)3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A． B． C． D．4．已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④5．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（）A． B． C． D．6．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-17．集合，，则=()A． B． C． D．8．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．9．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．10．在正三棱锥中，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的前项和为，则其通项公式__________．12．如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为___________.13．在中，，，则角_____.14．已知是等比数列，且，，那么________________．15．在数列中，按此规律，是该数列的第______项16．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知锐角三个内角、、的对边分别是，且．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．18．在中，分别是所对的边，若的面积是，，．求的长．19．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？20．△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.21．的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【题目详解】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.2、D【解题分析】

根据圆关于直线成轴对称图形得b=4，根据二元二次方程表示圆得a<2，再根据指数函数的单调性得4a【题目详解】解：∵圆x2+y∴圆心(-1,3)在直线∴3=-1+b，解得b=4又圆的半径r=4+36-20a2>0b故选：D．【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．3、A【解题分析】

根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.【题目详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为，又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为，所以该几何体的左视图的面积为，故选A.【题目点拨】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4、C【解题分析】

①，为“保比差数列函数”；②，为“保比差数列函数”；③不是定值，不是“保比差数列函数”；④，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列5、B【解题分析】

成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【题目详解】解：成等比数列，，又，，则故选B．【题目点拨】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、B【解题分析】

根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【题目详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.7、C【解题分析】

根据交集定义直接求解可得结果.【题目详解】根据交集定义知：故选：【题目点拨】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.8、B【解题分析】

试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．9、A【解题分析】

由余弦定理可直接求出边的长.【题目详解】由余弦定理可得，，所以.故选A.【题目点拨】本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.10、B【解题分析】

利用正三棱锥的性质，作出侧棱与底面所成角，利用直角三角形进行计算.【题目详解】连接P与底面正△ABC的中心O，因为是正三棱锥，所以面，所以为侧棱与底面所成角，因为，所以，所以，故选B.【题目点拨】本题考查线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】分析：先根据和项与通项关系得当时，，再检验，时，不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解：∵已知数列的前项和，∴当时，，当时，，经检验，时，不满足上述式子，故数列的通项公式．点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12、【解题分析】

根据题意可知，可得，依次计算，，不难发现：边长依次为，，，，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，不难发现：边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【题目详解】根据题意可知，可得，依次计算，，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．故答案为：【题目点拨】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．13、或【解题分析】

本题首先可以通过解三角形面积公式得出的值，再根据三角形内角的取值范围得出角的值。【题目详解】由解三角形面积公式可得：即因为，所以或【题目点拨】在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。14、【解题分析】

先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果.【题目详解】∵是等比数列，且，，∴，即，则．【题目点拨】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力.15、【解题分析】

分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．【题目详解】，，，依此类推可得，，，即.，解得.故答案为：7.【题目点拨】本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16、．【解题分析】试题分析：从中任取3个不同的数，有，，，，，，，，，共10种，其中只有为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．考点：用列举法求随机事件的概率．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理把边化为对角的正弦求解；（2）根据余弦定理和已知求出，再根据面积公式求解.【题目详解】解：（1）由正弦定理得∵，∴，又∵∴（2）由余弦定理得所以即∴∴的面积为【题目点拨】本题考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；注意增根的排除.18、8【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系式求得，利用三角形的面积公式列方程求得，结合求得，根据余弦定理求得的长.【题目详解】由（）得．因为的面积是，则，所以由解得．由余弦定理得，即的长是．【题目点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形.19、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【题目详解】（1）连结BD交AC于O，连结EO,因为O，E分别为BD.PD的中点,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，当时，PB⊥AC．【题目点拨】本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据，由正弦定理化角为边，得，再根据余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，又，结合基本不等式可求得．由中点公式的向量式得，再利用数量积的运算，即可求出的最大值．【题目详解】（1）依题意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因为，所以.（2）∵，，∴，即．∵为中点，所以，∴当且仅当时，等号成立.所以的最大值为．【题目点拨】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．21、(1)(2)【解题分析】

（1）利用正弦定理边角互化的思想以及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理以及诱导公式求出的值，结合角的范围求出角的值；（2）由三角形的面积公式得，由正弦定理结合内角和定理