分析力学课件

Chapter5分析力学

分析力学用新的观点、新的方法处理力学问题，具有更高的概括性，是力学理论发展的更高阶段，而这一发展是与充分利用了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。分析力学注重的物理量不是力和加速度，而是功和能。从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。Chapter5分析力学分析力1Chapter5分析力学内容§5.1约束和广义坐标§5.2虚功原理

§5.3

拉格朗日方程§5.4小振动

§5.5哈密顿正则方程§5.6哈密顿原理§5.7泊松括号和泊松定理Chapter5分析力学内容§5.1约束和广义2本章基本要求：本章重点：

深刻理解约束、虚位移和广义坐标的概念；掌握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；掌握能量积分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题；对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号和泊松定理。虚功原理和拉格朗日方程及其应用。本章基本要求：本章重点：深刻理解约束、虚位移3§5.1约束和广义坐标

彼此相互影响的若干质点的一个集合，称为力学体系，也叫质点组。一个力学体系中，存在着限制质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称为约束方程。

一、约束的概念和分类1）约束§5.1约束和广义坐标彼此相互影响的若干质点的一42）约束的分类例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚性杆的上端固定不动，取此点为坐标原点，则约束方程：——稳定约束

稳定约束——如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，即：a)稳定约束和不稳定约束

不稳定约束——如果约束是时间t的函数，则约束方程显含时间t，即：2）约束的分类例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚5如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动，并取该直线上某定点为坐标原点，则约束方程为：——不稳定约束

b)可解约束和不可解约束

不可解约束——质点始终不能脱离某曲面（或曲线）的那种约束。

可解约束——如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动，并取该直线6

如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点所受的约束是不可解约束，约束方程为：

当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作任意运动时，所受的约束是可解约束，约束方程为：

如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点所受的约束是7

几何约束——它只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数。

c)几何约束和运动约束

运动约束——除了限制质点的坐标外，还要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。几何约束——它只限制质点在空间的位置，因而表现为质8

完整约束不完整约束

凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。d)完整约束和不完整约束完整约束不完整约束凡只受有完整约束的力学体系叫完整9二、广义坐标

在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义坐标），通常用q表示。

例如，一个力学体系由n个质点所形成，受k个几何约束，自由度：s=3n-k，把3n个不独立的坐标用s个独立参数及t表出，即：二、广义坐标在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐10

广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、磁化强度等。或写成矢量式：

广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例11§5.2虚功原理

一、实位移与虚位移

实位移：质点由于运动实际上所发生的位移（由于时间t发生变化所致）以dr表之。

虚位移：是想象中可能发生的位移，它只决定于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束，时间t

没有改变（δt=0），以δr表之。§5.2虚功原理一、实位移与虚位移实位移：质点由12

在稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一个，但对不稳定约束，实位移与虚位移并不一致。

一般说来，在任意时刻

t，在约束所许可的情况下，质点的虚位移不止一个。实位移则不同，它除受到约束的限制外，还要受到运动规律的限制，当时间改变dt后，实位移一般只能有一个。在稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一个，但对不13二、理想约束

虚功——作用在质点上的力（包括约束反力）在任意虚位移中所做的功。

理想约束——如果作用在一力学体系上的诸约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。这种约束叫做理想约束。

光滑曲线、光滑曲面、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。二、理想约束虚功——作用在质点上的力（包括约束反14三、虚功原理

设某力学体系受有k个几何约束，处于平衡状态，取体系中任一质点Pi，并设作用在此质点上主动力的合力为Fi，约束反力的合力为Ri，因为此体系中每一质点都必须处于平衡状态，故必须有：

质点自它的平衡位置发生一虚位移δri

三、虚功原理设某力学体系受有k个几何约束，处于平衡15对所有质点求和：

对理想约束：因此力学体系处于平衡状态时，其平衡条件是：或：对所有质点求和：对理想约束：因此力学体系处于平衡状态时，16

优点——利用虚功原理解理想约束的力学体系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，故可很简单地用它去求主动力在平衡时所应满足的条件，即所谓平衡条件。

受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是：力学体系所受到的的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和等于零。叫做虚功原理，也叫虚位移原理。优点——利用虚功原理解理想约束的力学体系的平衡问题17广义坐标下力学体系的平衡条件：由虚功原理有：

所以：广义坐标下力学体系的平衡条件：由虚功原理有：所以：18

这就是受有理想约束的力学体系在广义坐标系下的平衡方程。它和力学体系自由度的数目相等，叫广义力，它和Fi一样，也不包含约束反力。广义力的定义式：这就是受有理想约束的力学体系在广义坐标系下的平衡方19例1：

均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重P2，长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加以水平力F，求平衡时此二杆与水平线所成的角度及，如图所示。解：自由度s

=2，选和为两个广义坐标。由虚功原理得：（1）

例1：均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直20分析力学课件21代入（1）式得：

（1）

代入（1）式得：（1）22因为：是互相独立的，故得：所以：作业：5—15—3因为：是互相独立的，故得：所以：作业：5—123预备知识1）求和号“”的运算a)求和指标的改变，不影响计算结果。b)指标不同的求和号，前后秩序可交换。

c)与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。预备知识1）求和号“”的运算a)求和指标的24由以上规则，有以下关系：

d）与求和指标无关的微商（或微分）符号，可以放到求和号里面，也可以放到求和号外面。c)与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。由以上规则，有以下关系：d）与求和指标无关的微商（252）求力学量的全微商和偏微商

求全微商：求偏微商：

首先弄清自变量：

2）求力学量的全微商和偏微商求全微商：求偏微商：首先弄26只把当作变量，将

都当常量，所以有：只把当作变量，将27求对t的微商：

首先弄清自变量：求对t的微商：首先弄清自变量：28§5.3

拉格朗日方程

（Lagrange′sequation）一、基本形式的拉格朗日方程

由n个质点所组成的力学体系——达朗伯原理

或：

（1）§5.3拉格朗日方程（Lagrange′sequ29——达朗伯—拉格朗日方程

（2）

用虚位移点乘(1)式，并对i求和，在理想约束的条件下，得：

物理意义：表示主动力Fi、约束反力Ri和因质点有加速度而产生的有效力（惯性力）的平衡，通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处理——动静法。（1）——达朗伯—拉格朗日方程（2）用虚位移点乘(130推导基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：将——广义力即：（3）

推导基本形式的拉格朗日方程：代入（2）得：将——广义力31（4）

则（3）式变为：

令：（3）

现在计算：（4）则（3）式变为：令：（3）现在计算：32分析力学课件33由于是互相独立的，，所以（4）式变为：T——力学体系的动能由于是互相独立的，34——基本形式的拉格朗日方程（5）

基本形式的拉格朗日方程中物理量的意义：——叫广义速度，可为线速度、角速度或其它；——叫广义动量，可为线动量也可为角动量；

——叫拉格朗日力；——基本形式的拉格朗日方程（5）基本形式的拉格朗日方程中35——叫广义力（不包含约束反力），其量纲由表达式决定。长度力面积表面张力

电荷电压等等。

体积应力

严格地讲，谈到广义力时，应同时指出与它相应的广义坐标。广义坐标广义力——叫广义力（不包含约束反力），其量纲由表达式36二、保守系的拉格朗日方程

对于保守系，必存在势能V，它是坐标的函数V（xi,yi,

zi），且：

将所有坐标用广义坐标表示：二、保守系的拉格朗日方程对于保守系，必存在37广义力：

这样基本形式的拉氏方程可改写为：广义力：这样基本形式的拉氏方程可改写为：38令：L=T-V，代表体系的动能与势能之和。则：这样(6)式变为：（6）

（7）

——保守系的拉格朗日方程L=T-V，叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。令：L=T-V，代表体系的动能与势能之和。则：这样(6)式变39

例2（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，管中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。

解：如图所示，取管轴为动坐标系的x轴，自由度s=1，选q=x，质点的相对速度为：牵连速度为：例2（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直40质点的势能：

（以通过O点的水平线为零势线）质点的动能：拉氏函数为：质点的势能：（以通过O点的水平线为零势线）质点的动能：41即：

代入拉氏方程：齐次方程的通解：非齐次方程的特解为：即：代入拉氏方程：齐次方程的通解：非齐次方程的特解为：42代入初始条件：得：

故质点沿管的运动规律为：方程的通解：作业：5—55—65—7代入初始条件：得：故质点沿管的运动规律为：方程的通解：43三、循环积分

一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一广义坐标，则:由拉氏方程得：即：常数（广义动量）。

——称为循环坐标或可遗坐标。三、循环积分一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一44对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分。

例如：质量为m的质点，在平方反比引力场中运动时，用极坐标表示它的动能为：而平方反比引力的势能为：所以拉氏函数为：对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分。45

有心力问题有两个自由度，在极坐标系中：

现在所求出的拉氏函数L中却没有，在这里就是一个循环坐标，对应这一循环坐标的循环积分为：=常数有心力问题有两个自由度，在极坐标系中：现在所46

即质点相对于力心的动量矩守恒。=常数拉氏函数L中不含某一广义坐标，并不意味着也不含对应这一广义坐标的广义速度。拉氏函数L中不含某一广义坐标时，对应这一广义坐标的广义动量为常数，但广义速度一般并不为常数。注意即质点相对于力心的动量矩守恒。=常数拉氏函数L47四、能量积分

假设有一个完整的、保守的力学体系，体系有s个自由度，先求出用广义坐标及广义速度所表示的动能：四、能量积分假设有一个完整的、保守的力学体系48分析力学课件49

式中T2、T1、T0分别是广义速度的二次、一次和零次函数，系数一般都是广义坐标及时间t的函数。

如果力学体系是稳定的，ri中不显含时间t，因而即：，a=0，

于是动能T将仅是广义速度的二次齐次函数，即：T=T2。如果T=T2，而且也不显含时间t，那么：式中T2、T1、T0分别是广义速度50各项乘以，然后对求和得：第一项：各项乘以，然后对求和得：第一项：51代入上式得：（1）欧拉齐次函数定理：齐次函数的偏导数各乘以相应的变量，相加起来，就等于这函数乘上它的次数。

动能T是广义速度的二次齐次函数，根据欧拉齐次函数定理知：

（2）代入上式得：（1）欧拉齐次函数定理：齐次函数52

若拉氏函数中不显含时间t，T和V都不是时间t的显函数，所以：（3）若拉氏函数中不显含时间t，T和V都不是时间t的显函53将（2）（3）代入（1）式：

（2）（3）（1）将（2）（3）代入（1）式：（2）（3）（1）54即：积分得到：T+V=E

——这就是力学体系的能量积分。

得到能量积分的条件：一个完整的、保守的力学体系，（1）拉氏函数L中不显含时间t，（2）且约束是稳定的。即：积分得到：T+V=E55

如果拉氏函数L中不显含时间t，但约束是非稳定的，即动能是广义速度的二次非齐次函数：

T=T2+T1+T0那末：

上式代入（1）式：

得:（1）如果拉氏函数L中不显含时间t，但约束是非稳定的，即动能是56积分得：

由此可见，即使主动力都是保守力，拉格朗日方程也不一定给出能量积分，除非约束是稳定的，因为在不稳定约束的情况下，约束反力可以作功，而在拉格朗日方程中并不含有约束反力，这就产生了如上的差异。并不代表动能，h虽是常数，但并不代表总能量，与E不同，所以就物理意义来说，不是能量积分，因为它和能量积分类似，所以它被称为广义能量积分。积分得：由此可见，即使主动力都是保守力，拉格朗日方57

例3质量为m1的滑块，可以沿水平轴x自由滑动（不受摩擦），质量为m2的小球，用长为l

的轻杆与滑块相连，轻杆可以在铅直平面内摆动，试求该系统的运动微分方程和首次积分。小球的坐标为：

解：该系统的自由度为2，建立固定坐标系o—xy，选滑块的水平位置x1和轻杆对铅垂线的摆角为两个广义坐标，如图所示。例3质量为m1的滑块，可以沿水平轴x自由滑58小球的速度分量为：体系的动能为：小球的速度分量为：体系的动能为：59

作用在体系上的主动力是保守力m1g和m2g，选过x轴的水平面为零势面，其势能为：体系的拉格朗日函数为：作用在体系上的主动力是保守力m1g和m2g，选60分析力学课件61代入拉氏方程：

得体系的运动微分方程为：代入拉氏方程：得体系的运动微分方程为：62

因为L中不显含时间t，且约束是稳定的，所以可得一能量积分，即体系的机械能守恒：

因为拉格朗日函数L中不显含x1，x1是循环坐标，故可得一循环积分，即对应循环坐标x1的广义动量守恒：作业：5—95—11因为L中不显含时间t，且约束是稳定的，所以63五、拉格朗日方程的应用由拉格朗日方程解力学问题的步骤（以保守力系为例）

1)确定力学体系的自由度；2)适当选取描写体系运动的广义坐标；3)写出力学体系的动能T及势能V，写出拉氏函数L；4)代入拉氏方程，得出力学体系的运动微分方程；5)解方程并讨论结果。

拉氏函数L等于力学体系的动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态、相互作用等性质。用拉氏方程解题时，正确写出系统的拉氏函数是关键.五、拉格朗日方程的应用由拉格朗日方程解力学问64拉氏函数写法如下：

1）选取适当的坐标系，将系统中所有质点（或刚体）看作自由质点（或刚体），写出系统的动能和势能的表达式。自由质点在各种坐标系下的动能表达式：球坐标系柱坐标系平面极坐标系直角坐标系拉氏函数写法如下：1）选取适当的坐标系，将65

2）利用约束关系或坐标变换关系，找出各坐标变量与广义坐标的关系，将动能和势能用广义坐标和广义速度表示，即得拉氏函数。

对非稳定约束情况，有时用动坐标系来写出拉氏函数较方便，在这种情况下，速度要用相对静止坐标系的绝对速度，势能也应以静系中的固定点为参考点计算。注意对于刚体，由柯尼希定理写出它的动能表达式：2）利用约束关系或坐标变换关系，找出各坐标变量66

3)对保守力系：

2)

利用虚功：

1)利用广义力的定义式：

计算广义力有三种方法：3)对保守力系：2)利用虚功：1)利用广义力的定67

例1：一质点在主动力F

的作用下，作平面运动，求它对应于平面极坐标的广义力。解法1,利用虚功的表达式：虚功：在平面极坐标系中：例1：一质点在主动力F的作用下，作平面运动，68所以对应广义坐标的广义力：又解：利用广义力的定义式：所以对应广义坐标的广义力：又解：利用广69所以对应广义坐标的广义力：所以对应广义坐标的广义力：70

例2（5.12）均质杆AB，质量为m，长为2a，其A端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，如除重力作用外，B端还受有一水平的力F的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何？解：系统自由度为2，如图所示,选取为广义坐标由科尼希定理知棒的动能为：

k为棒绕质心c转动的回转半径。

例2（5.12）均质杆AB，质量为m，长为2a71棒质心坐标：

棒质心坐标：72虚功：

虚功：73代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：所以广义力为：代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：所以广义力为：74则运动微分方程为：若很小，这里：则运动微分方程为：若很小，75

例3一滑轮可绕通过轮心的水平轴转动，在此滑轮上绕一不可伸长的轻绳，绳的一端悬一重物，其质量为m，另一端固结在一铅直弹簧上，弹簧下端接地，如图所示，设弹簧弹力与其伸长量成正比，比例系数为k。已知滑轮的质量为M，并分布在轮缘上，假定绳与滑轮之间无滑动，试求重物的振动周期。解：建立以重物的平衡位置o为原点的坐标系ox，本题有一个自由度，选x为广义坐标

因绳与滑轮之间无滑动

重物平衡时:

式中为弹簧的静伸长

于是系统的动能、势能（选重物的平衡位置o为零势能点）、拉格朗日函数为：例3一滑轮可绕通过轮心的水平轴转动，在此滑轮上绕一76分析力学课件77故重物的振动周期为：得运动微分方程为：代入拉氏方程：

故重物的振动周期为：得运动微分方程为：代入拉氏方程：78

例4已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，如图所示，弹簧原长为l0，劲度系数为k,求此弹簧摆的振动方程。解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为2，选r，为广义坐标,

系统的动能为

系统的势能为弹簧摆

拉氏函数为例4已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定79拉氏函数为代入拉氏方程：

拉氏函数为代入拉氏方程：80得到系统的运动微分方程为

这是非线性方程组，需在计算机上作数值计算，在一定的初始条件下，摆锤的轨迹如右图所示。如果系统做小振动，可进行近似计算，将非线性方程化为线性方程。弹簧摆的轨迹得到系统的运动微分方程为这是非线性方程组，需在计算机81

例5(5.16)半径为r的均质重球，可在一具有水平轴、半径为R的固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置作微振动的运动微分方程及其周期。解：系统自由度S=1，选广义坐标：球只滚不滑：

球的动能：

例5(5.16)半径为r的均质重球，可在一具有水82（以通过0点的水平线为零势线）

球的势能：

拉氏函数：代入拉氏方程：

（以通过0点的水平线为零势线）球的势能：拉氏函数：代入拉83得运动微分方程为：

对于微振动：

∴振动周期为：

得运动微分方程为：对于微振动：∴振动周期为：84

例6半径为r的均匀圆球，自半径为R的固定圆球的顶端无初速地滚下，试用拉格朗日方程求动球球心下降的切向加速度。则：由科尼希定理，动球的动能为：解：系统自由度为1，选为广义坐标约束方程为：

例6半径为r的均匀圆球，自半径为R的固定圆球的顶端85（以通过0点的水平线为零势线）动球的势能：

拉氏函数为：代入拉氏方程：

得：

（以通过0点的水平线为零势线）动球的势能：拉氏函数为：代入86故动球球心下降的切向加速度为：故动球球心下降的切向加速度为：87例7（5.10）试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)。

质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速度；(b)质点水平方向的加速度。解法1:此力学体系自由度为2，选广义坐标：

如图所示

m1的绝对速度：

系统的动能：

例7（5.10）试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)88(以m1初始状态为势能零点)系统的势能：

拉氏函数：

(以m1初始状态为势能零点)系统的势能：拉氏函数：89代入拉氏方程：

即：

代入拉氏方程：即：90两式联立得：

劈的加速度为：

质点水平方向的加速度：

两式联立得：劈的加速度为：质点水平方向的加速度：91解法2：

选固定坐标系,如图所示。系统自由度为2，选广义坐标：

（质点m1相对静系的水平位置）

(直角劈m2相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故C点的运动可代表直角劈的运动)直角劈m2的动能为：

解法2：选固定坐标系,如图所示。系统自由度为92约束方程为：

质点m1的动能和势能为：

系统拉氏函数为：

约束方程为：质点m1的动能和势能为：系统拉氏函数为：93分析力学课件94代入拉氏方程：

整理得：

⑴+⑵得：

（3）代入拉氏方程：整理得：⑴+⑵得：（3）95

由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。⑴⑶两式联立得：

作业：5—135—16由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问96§5.4小振动

一、保守系在广义坐标系中的平衡方程在广义坐标系中的平衡方程是所有广义力在任意虚位移中所作元功之和为零，即：

因为诸是相互独立的，因而得出广义坐标系中的平衡方程是所有的广义力等于零，即：如果作用在力学体系上的力都是保守力，则：故保守力系平衡时的条件是势能具有稳定值，即：§5.4小振动一、保守系在广义坐标系中的平衡方程97二、多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动

本节介绍多自由度系统线性振动问题的处理方法，在这类振动系统中，各自由度的振动相互耦合，比较复杂，但由于方程是线性的，最终能找到解耦的方法。在物理中，耦合线性振荡电路的振荡、原子在晶格点阵上的振动、原子在分子内的振动等问题都可归结为这类问题。下面，我们通过一个实例，学习这类问题的解法及一些重要概念和结论。设质量均为m的两个质点，被三个轻弹簧连接，两侧弹簧的一端均被固定，中间弹簧的劲度系数为k1，两边弹簧的劲度系数为k2，两质点静止时各弹簧无伸长。试求两质点在平衡位置附近的小振动。为简化，设质点只沿水平方向运动。

二、多自由度系统在稳定平衡位置附近的小振动98

如图1所示，选取x1和x2为系统的广义坐标，它们分别表示两质点相对自身平衡位置的位移，系统的动能为图1两质点的耦合振动

系统的势能为

(2)(1)系统的拉格朗日函数为

(3)如图1所示，选取x1和x2为系统的广义坐标，它99(4)将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动微分方程

这是二阶线性微分方程组，x1的变化与x2的变化相互耦合，设方程组解的形式为(5)（5）式代入（4）式，得

(6)(4)将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动微分方程100要使A1，A2有非零解，方程组（6）的系数行列式必须为零(7)此方程称为特征方程，展开得

(6)要使A1，A2有非零解，方程组（6）的系数行列式必101

这是关于的二次方程，说明振动频率不能取任意值，他们只能取以下数值：

从这两个结果看到，两个频率均由系统中质点的质量和弹簧的劲度系数决定，因而是系统固有的，称为系统的简正频率（normalfrequency）。下面我们将看到，对应一种简正频率，系统存在一种简单的、基本的振动方式。对应不同的简正频率，系统有不同的振动方式，这种与简正频率相对应的基本振动方式称为简正模式（normalmode）。这是关于的二次方程，说明振动频率不102(8)将代入方程（6），并将A1，A2写成A11，A21，以表示这组振幅与相应，于是有(6)

这两个方程是不独立的，故不能完全确定A11，A21的量值，只能确定它们的比值，从上两式可得(8)将103所以与对应的振动方程为(9)它的简正模式如图2所示。其中是与相对应的振动的初相。由于二质点振动位相相同，所以它们的运动步调完全一致，这种模式称为对称模式。图2简正模式

对称模式所以与对应的振动方程为(9)它104将代入方程（6），相应的振幅用

A12，A22表示，得解得（A12，A22）组成与对应的振动方程为(10)将105（9）式和（10）式都是方程组（4）的特解，其通解是他们的线性组合，即可见二质点的振动位相相反，振幅相同，称为反对称模式，他的简正模式如图3

所示。图3简正模式

反对称模式(10)（9）式和（10）式都是方程组（4）的特解，其通解106设t=0时，，可求得式中的4个待定常数A11，A12，由初始条件确定。(11)将上式代入（11）式，得到方程的解为设t=0时，107将上式代入（11）式，得到方程的解为(12)上式表明两质点的位移x1，x2

分别是两个简谐振动的叠加，叠加结果出现了低频振动对高频振动振幅的调制，类似拍的现象，如图3所示。将上式代入（11）式，得到方程的解为(12)108

图3振动叠加图从图上可看出，两个振动的振幅是此消彼长，说明系统的能量在两者间不断交换，周期性地变化。图3振动叠加图从图上可看出，两个振动的振幅是此109

本问题除了选择x1，x2为广义坐标外，还可选择其它变量，它可以使方程的解成为仅包含一个简振频率的简谐振动，这样的广义坐标称为简正坐标（normalcoordinate）。如何寻找简正坐标呢？我们从解（12）式中得到启发，实际上就是两个简正坐标随时间的变化，故可设(13)本问题除了选择x1，x2为广义坐标外，还可选择110将（13）式代入（12）式，得：

这是一种坐标变换关系，通过反解就可求得简正坐标为(15)(14)将（14）式代入（1）（2）式，得将（13）式代入（12）式，得：这是一种坐标变换关系，通过111可见采用简正坐标后，动能、势能的表达式分别成为广义速度和广义坐标的平方和形式。系统的拉格朗日函数为代入拉格朗日方程，得运动方程为(16)可见每个方程只包含一个变量，方程组已解耦，其解分别为简谐振动可见采用简正坐标后，动能、势能的表达式分别成112(17)其中，，他们就是系统的简正频率，在上述初始条件下，可求出积分常数，B1，B2，（从略），代入（17）式可得(17)其中，113§5.5哈密顿正则方程一、勒让德变换

在拉氏方程：中，如果令：(1)作为独立变量，则由拉氏方程可得：

(2)由（1）式又可解出

(3)§5.5哈密顿正则方程一、勒让德变换在拉氏方程：114将（3）式代入拉氏函数L中，以表之，即：

勒让德变换：

由一组独立变量变为另一组独立变量的变换，在数学上叫做勒让德变换。考虑两个变量的勒让德变换，设：f=f(x,y)，则：

将（3）式代入拉氏函数L中，以表之，即：勒让德变换：115

这是以x，y

作为独立变量的，如果我们把u，y

当作自变量，则：

这时函数f改用u,y表出，记为：，即：

取偏导数：

这是以x，y作为独立变量的，如果我们把u，y当作116上式又可写为：

上式又可写为：117勒让德变换的基本法则

新的函数（g）等于不要的变量（x）乘以原来的函数对该变量的偏导数（），再减去原来的函数（f）。勒让德变换的基本法则新的函数（g）等于不118

通过勒让德变换，使拉氏函数L中的独立变量由变为，则引入新函数H：

二、正则方程其中：通过勒让德变换，使拉氏函数L中的独立变量由则119取微分：对拉氏函数取微分将dL的表达式代入dH

中得：

取微分：对拉氏函数120(4)取微分：(5)（4）=(5)(6)（6）式叫做哈密顿正则方程，简称正则方程，函数H叫做哈密顿函数。叫做正则变量，也叫宗量。

因为：(4)取微分：(5)（4）=(5)(6)（6）式叫做哈密顿正121三、能量积分与循环积分

循环积分因此，H中不含某个广义坐标时，对应这一广义坐标的广义动量为常数（广义动量守恒），故比用拉氏方程更简便，更富有物理意义。由哈密顿正则方程可以看出，哈密顿函数H中不含某个广义坐标时，则可立即得出一个首次积分，这积分叫循环积分。这个广义坐标叫循环坐标。三、能量积分与循环积分循环积分因此，H中不含某个122

如果H中不显含时间t，则因，故，因而正则方程有一积分：

H=h，此处h为一积分常数。

将正则方程代入：取微商：哈密顿函数

能量积分

如果H中不显含时间t，则因123

如果约束是稳定的，可将动能T表示为广义速度的二次齐次函数T=T2，由欧勒齐次函数定理得：上式代入哈密顿函数H中得：

=–(T–V)+2T=T+V=E（总能量）如果约束是稳定的，可将动能T表示为广义速124

这就是力学体系的能量积分，即在H中不显含时间t，且约束稳定时，得到能量积分，此时哈密顿函数H等于力学体系的总能量E。如果体系所受的约束是不稳定约束，即动能T不是广义速度的二次齐次函数T=T2+T1+T0

，则：上式代入哈密顿函数：这就是力学体系的能量积分，即在H中不125

=–(T2+T1+T0–V)+2T2+T1

H=T2–T0+V=h

此式代表广义能量积分。因此，哈密顿函数也是力学体系的特性函数。=–(T2+T1+T0–V)+2T2+T1126

例1质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，写出它的哈密顿函数。解：质点在万有引力场中运动，其拉氏函数为：广义动量：

广义能量：

例1质点在万有引力场中运动，对应平面极127

我们看到：h就是总机械能，但它不是哈密顿函数，因为其中含有广义速度，而不是广义动量。由广义动量：我们看到：h就是总机械能，但它不是哈密顿函数128反解出广义速度：将上式代入得哈密顿函数为：反解出广义速度：将上式代入得哈密顿函数为：129例2写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正则方程及其首次积分。解：由例1知体系的哈密顿函数为：将H代入哈密顿正则方程：

得其正则方程为：

例2写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正130

因H中不显含，所以有循环积分：=常数，即质点的角动量守恒。因H中不显含，所以有循环积分：131

又因H中不显含时间t，有广义能量积分：

H=h（常数），即：

故质点在万有引力场中运动时，机械能守恒。

（E总机械能）又因H中不显含时间t，有广义能量积分：

H=h（132§5.6哈密顿原理

凡是力学原理用到变分运算的，叫做力学变分原理，力学变分原理有微分形式，也有积分形式。虚功原理是力学变分原理的微分形式，而本节的哈密顿原理，则是力学变分原理的积分形式。力学变分原理

§5.6哈密顿原理凡是力学原理用到变分133假设有两个变量A和B，它们一般是q、p、t

的函数，则：一、变分运算的几个法则

下面介绍变分的概念目的是找出变分和微分运算不同的地方，以及同时进行微分、微商和变分运算时的对易规则。假设有两个变量A和B，它们一般是q、p、t的函数，134假定c是s维空间的一条曲线，且为质点遵循运动定律运行时的轨道，及动力轨道或真实轨道，为邻近c的一条曲线，但不是质点的动力轨道，唯有c及的两端点P1和P2相同，如图所示。设质点m沿c运动，而想象另一质点沿运动，它们同时自P1出发，并同时到达P2。假定c是s维空间的一条曲线，且为质点遵循运动135我们把相差甚微的轨道曲线c与之间的差异称为变分。并用变分符号表示，以区别于表示在同一曲线上由于自变量微小变化而引起的差异的微分符号d，则在P1及P2点上有：我们把相差甚微的轨道曲线c与之间的差136如果P点的坐标为：点的坐标为：

Q点的坐标为：至于在上和Q点对应的点，则可从两方面来考虑：

如果P及是c及上两对应点，即m和同时自P1出发，分别沿着c和运动，当m到达P时，到达，Q点是P点附近的一点，并且和P在同一轨道c上。如果P点的坐标为：点的坐标为：Q点的坐标为：至于在上137可见：与d

的先后次序可以对易。即：因此有：

2)质点自P至，然后至。1)质点自P至Q，然后到；至于在上和Q点对应的点，则可从两方面来考虑：可见：与d的先后次序可以对易。即：因此有：2)138一般来讲，与的先后次序不能对易

若：，则：一般来讲，与的先后次序不能对易若：139

至于与的先后次序不能对易的那种变分，叫做不等时变分或全变分。用来代表不等时变分，所以

可见在的假设下，与的先后次序是可以对易的，这种变分叫做等时变分。若：，则：至于与的先后次序不能对易的那种变分，叫做不等140二、哈密顿原理

设n个质点所形成的力学体系受有k个几何约束，则这力学体系的自由度是：s=3n-k，因此，我们如果能够做到把s个广义坐标作为时间t的函数加以确定，我们也就确定了这力学体系的运动。

为了寻求力学体系的运动规律，哈密顿提出可以从具有相同端点，并为约束所许可的许多条可能的运动轨道，即s维空间曲线中，挑出一条真实轨道。为此，可以采用变分的方法来挑选这一条真实轨道，既然可以从约束所许可的许多轨道中，挑出真实轨道，当然也就确定了力学体系沿着这条真实轨道运动时的运动规律。二、哈密顿原理设n个质点所形成的力学体系受有k个几141

上式乘，再对求和，然后沿着一条可能的运动轨道积分（1）拉氏方程：下面用拉氏方程来推导在保守力系作用下的哈密顿原理

即s维空间的一条曲线自共同端点P1（t=t1）至P2（t=t2）对时间t积分得：（2）上式乘，再对求和，然后沿着一142第一项：

对等时变分：

代入(2)式得：（3）（2）第一项：对等时变分：代入(2)式得：（3）（2）143则（3）式简化为：

两个端点：（3）则（3）式简化为：两个端点：（3）144（4）就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式。

又因：，则：哈密顿称：为作用函数，当它表示为端点时间和位置的函数时，也叫主函数，并以S表之，即：

（4）（4）就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式。又因：145哈密顿原理的文字表述如下：

完整的、保守的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零。（4）哈密顿原理的文字表述如下：完整的、保守的力146分析力学课件147分析力学课件148§5.7泊松括号一、泊松括号

假设函数

上式对t取微商为：

将正则方程代入上式得：

§5.7泊松括号一、泊松括号假设函数上式对t取微商149

叫做泊松括号，它的定义是：使用泊松括号时，要注意所有的都是相互独立的，任意一个对另外一个的偏微商都等于零，例如：叫做泊松括号，它的定义是：使用泊松括号时150这样正则方程也可用泊松括号表出，即：二、泊松括号的性质1）如果c为常数

2）

这样正则方程也可用泊松括号表出，即：二、泊松括号的性质1）1513)如果,则：

4）

5）

6）

7）

3)如果,则：4）5）6152Chapter5分析力学

分析力学用新的观点、新的方法处理力学问题，具有更高的概括性，是力学理论发展的更高阶段，而这一发展是与充分利用了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。分析力学注重的物理量不是力和加速度，而是功和能。从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。Chapter5分析力学分析力153Chapter5分析力学内容§5.1约束和广义坐标§5.2虚功原理

§5.3

拉格朗日方程§5.4小振动

§5.5哈密顿正则方程§5.6哈密顿原理§5.7泊松括号和泊松定理Chapter5分析力学内容§5.1约束和广义154本章基本要求：本章重点：

深刻理解约束、虚位移和广义坐标的概念；掌握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；掌握能量积分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题；对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号和泊松定理。虚功原理和拉格朗日方程及其应用。本章基本要求：本章重点：深刻理解约束、虚位移155§5.1约束和广义坐标

彼此相互影响的若干质点的一个集合，称为力学体系，也叫质点组。一个力学体系中，存在着限制质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称为约束方程。

一、约束的概念和分类1）约束§5.1约束和广义坐标彼此相互影响的若干质点的一1562）约束的分类例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚性杆的上端固定不动，取此点为坐标原点，则约束方程：——稳定约束

稳定约束——如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，即：a)稳定约束和不稳定约束

不稳定约束——如果约束是时间t的函数，则约束方程显含时间t，即：2）约束的分类例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚157如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动，并取该直线上某定点为坐标原点，则约束方程为：——不稳定约束

b)可解约束和不可解约束

不可解约束——质点始终不能脱离某曲面（或曲线）的那种约束。

可解约束——如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动，并取该直线158

如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点所受的约束是不可解约束，约束方程为：

当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作任意运动时，所受的约束是可解约束，约束方程为：

如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点所受的约束是159

几何约束——它只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数。

c)几何约束和运动约束

运动约束——除了限制质点的坐标外，还要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。几何约束——它只限制质点在空间的位置，因而表现为质160

完整约束不完整约束

凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。d)完整约束和不完整约束完整约束不完整约束凡只受有完整约束的力学体系叫完整161二、广义坐标

在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义坐标），通常用q表示。

例如，一个力学体系由n个质点所形成，受k个几何约束，自由度：s=3n-k，把3n个不独立的坐标用s个独立参数及t表出，即：二、广义坐标在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐162

广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、磁化强度等。或写成矢量式：

广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例163§5.2虚功原理

一、实位移与虚位移

实位移：质点由于运动实际上所发生的位移（由于时间t发生变化所致）以dr表之。

虚位移：是想象中可能发生的位移，它只决定于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束，时间t

没有改变（δt=0），以δr表之。§5.2虚功原理一、实位移与虚位移实位移：质点由164

在稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一个，但对不稳定约束，实位移与虚位移并不一致。

一般说来，在任意时刻

t，在约束所许可的情况下，质点的虚位移不止一个。实位移则不同，它除受到约束的限制外，还要受到运动规律的限制，当时间改变dt后，实位移一般只能有一个。在稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一个，但对不165二、理想约束

虚功——作用在质点上的力（包括约束反力）在任意虚位移中所做的功。

理想约束——如果作用在一力学体系上的诸约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。这种约束叫做理想约束。

光滑曲线、光滑曲面、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。二、理想约束虚功——作用在质点上的力（包括约束反166三、虚功原理

设某力学体系受有k个几何约束，处于平衡状态，取体系中任一质点Pi，并设作用在此质点上主动力的合力为Fi，约束反力的合力为Ri，因为此体系中每一质点都必须处于平衡状态，故必须有：

质点自它的平衡位置发生一虚位移δri

三、虚功原理设某力学体系受有k个几何约束，处于平衡167对所有质点求和：

对理想约束：因此力学体系处于平衡状态时，其平衡条件是：或：对所有质点求和：对理想约束：因此力学体系处于平衡状态时，168

优点——利用虚功原理解理想约束的力学体系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，故可很简单地用它去求主动力在平衡时所应满足的条件，即所谓平衡条件。

受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是：力学体系所受到的的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和等于零。叫做虚功原理，也叫虚位移原理。优点——利用虚功原理解理想约束的力学体系的平衡问题169广义坐标下力学体系的平衡条件：由虚功原理有：

所以：广义坐标下力学体系的平衡条件：由虚功原理有：所以：170

这就是受有理想约束的力学体系在广义坐标系下的平衡方程。它和力学体系自由度的数目相等，叫广义力，它和Fi一样，也不包含约束反力。广义力的定义式：这就是受有理想约束的力学体系在广义坐标系下的平衡方171例1：

均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重P2，长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加以水平力F，求平衡时此二杆与水平线所成的角度及，如图所示。解：自由度s

=2，选和为两个广义坐标。由虚功原理得：（1）

例1：均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直172分析力学课件173代入（1）式得：

（1）

代入（1）式得：（1）174因为：是互相独立的，故得：所以：作业：5—15—3因为：是互相独立的，故得：所以：作业：5—1175预备知识1）求和号“”的运算a)求和指标的改变，不影响计算结果。b)指标不同的求和号，前后秩序可交换。

c)与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。预备知识1）求和号“”的运算a)求和指标的176由以上规则，有以下关系：

d）与求和指标无关的微商（或微分）符号，可以放到求和号里面，也可以放到求和号外面。c)与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。由以上规则，有以下关系：d）与求和指标无关的微商（1772）求力学量的全微商和偏微商

求全微商：求偏微商：

首先弄清自变量：

2）求力学量的全微商和偏微商求全微商：求偏微商：首先弄178只把当作变量，将

都当常量，所以有：只把当作变量，将179求对t的微商：

首先弄清自变量：求对t的微商：首先弄清自变量：180§5.3

拉格朗日方程

（Lagrange′sequation）一、基本形式的拉格朗日方程

由n个质点所组成的力学体系——达朗伯原理

或：

（1）§5.3拉格朗日方程（Lagrange′sequ181——达朗伯—拉格朗日方程

（2）

用虚位移点乘(1)式，并对i求和，在理想约束的条件下，得：

物理意义：表示主动力Fi、约束反力Ri和因质点有加速度而产生的有效力（惯性力）的平衡，通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处理——动静法。（1）——达朗伯—拉格朗日方程（2）用虚位移点乘(1182推导基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：将——广义力即：（3）

推导基本形式的拉格朗日方程：代入（2）得：将——广义力183（4）

则（3）式变为：

令：（3）

现在计算：（4）则（3）式变为：令：（3）现在计算：184分析力学课件185由于是互相独立的，，所以（4）式变为：T——力学体系的动能由于是互相独立的，186——基本形式的拉格朗日方程（5）

基本形式的拉格朗日方程中物理量的意义：——叫广义速度，可为线速度、角速度或其它；——叫广义动量，可为线动量也可为角动量；

——叫拉格朗日力；——基本形式的拉格朗日方程（5）基本形式的拉格朗日方程中187——叫广义力（不包含约束反力），其量纲由表达式决定。长度力面积表面张力

电荷电压等等。

体积应力

严格地讲，谈到广义力时，应同时指出与它相应的广义坐标。广义坐标广义力——叫广义力（不包含约束反力），其量纲由表达式188二、保守系的拉格朗日方程

对于保守系，必存在势能V，它是坐标的函数V（xi,yi,

zi），且：

将所有坐标用广义坐标表示：二、保守系的拉格朗日方程对于保守系，必存在189广义力：

这样基本形式的拉氏方程可改写为：广义力：这样基本形式的拉氏方程可改写为：190令：L=T-V，代表体系的动能与势能之和。则：这样(6)式变为：（6）

（7）

——保守系的拉格朗日方程L=T-V，叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。令：L=T-V，代表体系的动能与势能之和。则：这样(6)式变191

例2（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，管中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。

解：如图所示，取管轴为动坐标系的x轴，自由度s=1，选q=x，质点的相对速度为：牵连速度为：例2（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直192质点的势能：

（以通过O点的水平线为零势线）质点的动能：拉氏函数为：质点的势能：（以通过O点的水平线为零势线）质点的动能：193即：

代入拉氏方程：齐次方程的通解：非齐次方程的特解为：即：代入拉氏方程：齐次方程的通解：非齐次方程的特解为：194代入初始条件：得：

故质点沿管的运动规律为：方程的通解：作业：5—55—65—7代入初始条件：得：故质点沿管的运动规律为：方程的通解：195三、循环积分

一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一广义坐标，则:由拉氏方程得：即：常数（广义动量）。

——称为循环坐标或可遗坐标。三、循环积分一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一196对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分。

例如：质量为m的质点，在平方反比引力场中运动时，用极坐标表示它的动能为：而平方反比引力的势能为：所以拉氏函数为：对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分。197

有心力问题有两个自由度，在极坐标系中：

现在所求出的拉氏函数L中却没有，在这里就是一个循环坐标，对应这一循环坐标的循环积分为：=常数有心力问题有两个自由度，在极坐标系中：现在所198

即质点相对于力心的动量矩守恒。=常数拉氏函数L中不含某一广义坐标，并不意味着也不含对应这一广义坐标的广义速度。拉氏函数L中不含某一广义坐标时，对应这一广义坐标的广义动量为常数，但广义速度一般并不为常数。注意即质点相对于力心的动量矩守恒。=常数拉氏函数L199四、能量积分

假设有一个完整的、保守的力学体系，体系有s个自由度，先求出用广义坐标及广义速度所表示的动能：四、能量积分假设有一个完整的、保守的力学体系200分析力学课件201

式中T2、T1、T0分别是广义速度的二次、一次和零次函数，系数一般都是广义坐标及时间t的函数。

如果力学体系是稳定的，ri中不显含时间t，因而即：，a=0，

于是动能T将仅是广义速度的二次齐次函数，即：T=T2。如果T=T2，而且也不显含时间t，那么：式中T2、T1、T0分别是广义速度202各项乘以，然后对求和得：第一项：各项乘以，然后对求和得：第一项：203代入上式得：（1）欧拉齐次函数定理：齐次函数的偏导数各乘以相应的变量，相加起来，就等于这函数乘上它的次数。

动能T是广义速度的二次齐次函数，根据欧拉齐次函数定理知：

（2）代入上式得：（1）欧拉齐次函数定理：齐次函数204

若拉氏函数中不显含时间t，T和V都不是时间t的显函数，所以：（3）若拉氏函数中不显含时间t，T和V都不是时间t的显函205将（2）（3）代入（1）式：

（2）（3）（1）将（2）（3）代入（1）式：（2）（3）（1）206即：积分得到：T+V=E