2022-2023学年山西省太原市英才学校高中部高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1山西省太原市英才学校高中部2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题（12小题，36分）1.观察正方形数1，4，9，（），25，36，…的规律，则括号内的数应为（）A.16 B.25 C.36 D.49〖答案〗A〖解析〗设，明显地，，，所以，①，②，由①和②式，可得到才满足题意，所以，.故选A.2.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，则，由已知可得，解得，因此.故选：C.3.等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由等差数列前项和公式得，，因为，，所以，函数的图象开口向上，排除C，D.令，得或，排除B，故选A.故选：A.4.已知等差数列满足，，则的前项的和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，，，，解得：，，解得：，的前项的和为.故选：C.5.把100个面包分给五个人，使每个人所得的面包个数成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是多少？这是世界上最古老的的数学著作之一《莱因德纸草书》中一道题，则在该问题中的公差为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设构成等差数列的五个数为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可得，解得.故选：D.6.若a，b，c，d成等比数列，那么，，是（）A.等差数列 B.等比数列C.既是等差又是等比数列 D.不一定〖答案〗D〖解析〗设a，b，c，d的公比为q，则，，，当时，，，，此时，，是成等差数列，也是等比数列，当时，，，此时，，是等差数列，当且时，，，所以此时，，成等比数列．故选：D.7.数1与4的等差中项，等比中项分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗B〖解析〗若等差中项为m，则，可得；若等比中项为n，则，可得；故选：B.8.等比数列中，，，则与的等比中项是A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，．与的等比中项．故选：．9.已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗设数列{an}的公差为d，∵a1＝－26，a8＋a13＝5，∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3，∴，∵为正整数，∴{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝9．故选：B．10.有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；④1，1，1，…不能构成一个数列．其中说法正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗A〖解析〗①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由数列的定义，可知1，1，1，…能构成一个常数列．故选：A．11.设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）A.2 B. C.2或 D.2或〖答案〗A〖解析〗由，有，即．由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．故选：A.12.有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗B〖解析〗对①，数列其通项公式，也可以是，故①错误；对②，数列的项与具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确.故选B.二、填空题（4小题，16分）13.在数列中，，，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，，；故〖答案〗为：.14.已知等差数列的前n项和为，若，，则______.〖答案〗350〖解析〗方法一：设等差数列的公差为d，则解得所以.方法二：设，则解得所以.故〖答案〗为：350．15.数列和的通项公式分别为，，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为____________．〖答案〗〖解析〗由，知：数列，均为等差数列，且公差分别为4，6，因此数列也为等差数列，且公差为12，由，故，所以．故〖答案〗为：.16.在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为______.〖答案〗〖解析〗设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项.故〖答案〗为：.三、解答题（6小题，48分）17.在12与60之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的3个数．解：在12与60之间插入3个数，则，则公差，所以插入的3个数是24，36，48．18.求集合的元素的个数，并求所有元素的和．解：由可得，解得，因为，故，2，共14个元素，这些元素分别为7，14，，98，其和．19.在等比数列中，（1）已知，，求；（2）已知，，求．解：（1）设等比数列公比为q，则，故，.（2）设等比数列公比为q，则，故或，∴或．20.已知数列，其前n项和为．（1）求，．（2）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．解：（1）当时，，当时，，解得．故，．（2）当时，．又满足，所以．因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列．21.在等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若，求.解：（1）设等比数列的公比为，由得：，即，解得：或，或.（2）当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述：或.22.公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列的前项和，求使成立的的最大值.解：（1）因为，所以，设等差数列的公差为，由，则，解得，所以.（2）由可得，由得又，所以的最大值为13.山西省太原市英才学校高中部2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题（12小题，36分）1.观察正方形数1，4，9，（），25，36，…的规律，则括号内的数应为（）A.16 B.25 C.36 D.49〖答案〗A〖解析〗设，明显地，，，所以，①，②，由①和②式，可得到才满足题意，所以，.故选A.2.已知等比数列满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，则，由已知可得，解得，因此.故选：C.3.等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由等差数列前项和公式得，，因为，，所以，函数的图象开口向上，排除C，D.令，得或，排除B，故选A.故选：A.4.已知等差数列满足，，则的前项的和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，，，，解得：，，解得：，的前项的和为.故选：C.5.把100个面包分给五个人，使每个人所得的面包个数成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是多少？这是世界上最古老的的数学著作之一《莱因德纸草书》中一道题，则在该问题中的公差为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设构成等差数列的五个数为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可得，解得.故选：D.6.若a，b，c，d成等比数列，那么，，是（）A.等差数列 B.等比数列C.既是等差又是等比数列 D.不一定〖答案〗D〖解析〗设a，b，c，d的公比为q，则，，，当时，，，，此时，，是成等差数列，也是等比数列，当时，，，此时，，是等差数列，当且时，，，所以此时，，成等比数列．故选：D.7.数1与4的等差中项，等比中项分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗B〖解析〗若等差中项为m，则，可得；若等比中项为n，则，可得；故选：B.8.等比数列中，，，则与的等比中项是A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，．与的等比中项．故选：．9.已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗设数列{an}的公差为d，∵a1＝－26，a8＋a13＝5，∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3，∴，∵为正整数，∴{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝9．故选：B．10.有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；④1，1，1，…不能构成一个数列．其中说法正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗A〖解析〗①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由数列的定义，可知1，1，1，…能构成一个常数列．故选：A．11.设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）A.2 B. C.2或 D.2或〖答案〗A〖解析〗由，有，即．由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．故选：A.12.有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗B〖解析〗对①，数列其通项公式，也可以是，故①错误；对②，数列的项与具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确.故选B.二、填空题（4小题，16分）13.在数列中，，，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，，；故〖答案〗为：.14.已知等差数列的前n项和为，若，，则______.〖答案〗350〖解析〗方法一：设等差数列的公差为d，则解得所以.方法二：设，则解得所以.故〖答案〗为：350．15.数列和的通项公式分别为，，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为____________．〖答案〗〖解析〗由，知：数列，均为等差数列，且公差分别为4，6，因此数列也为等差数列，且公差为12，由，故，所以．故〖答案〗为：.16.在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为______.〖答案〗〖解析〗设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项.故〖答案〗为：.三、解答题（6小题，48分）17.在12与60之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的3个数．解：在12与60之间插入3个数，则，则公差，所以插入的3个数是24，36，48．18.求集合的元素的个数，并求所有元素的和．解：由可得，解得，因为，故，2，共14个元素，这些元素分别为7，14，，98，其和．19.在等比数列中，（1）已知，，求；（2）已知，，求．解：（1）设等比数列公比为q，则，故，.（2）设等比数列公比为q，则，故或，∴或．20.已知数列，其前n项和为．（1）求，．（2）求数列的通项公式，并证明数