专题28 角平分线和高线的夹角模型问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题28角平分线和高线的夹角模型问题【规律总结】【典例分析】例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则______．【答案】110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC＋∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC＋∠ACB，从而求出∠A，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：∵∴∠GBC＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵的角平分线交于点G，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC＋∠ACB=2∠GBC＋2∠GCB=2（∠GBC＋∠GCB）=110°∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）=70°∵边上的高相交于点F，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20°∴∠FDC＋∠ACE=110°故答案为：110°．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键．例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数．【答案】，【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC=∠BAC=30°，由AD是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=×（180°-70°）=55°．【详解】解：∠BAC=60°，∠C=70°∴∠ABC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°-70°=50°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠EAC−∠CAD=30°−20°=10°；∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC，∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=(180°−∠C)=12×(180°−70°)=55°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例3．（2020·山东淄博市·七年级期中）中，是的角平分线，是的高．（1）如图1，若，请说明的度数；（2）如图2（），试说明的数量关系；（3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，最后根据角的和差解答即可；（2）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差表示出来即可；（3）先根据角平分线的定义得到，再结合三角形外角的性质得到，然后根据题意得到，最后算出∠G即可．【详解】解：（1）是的高，是的角平分线，，．（2）是的高，是的角平分线，，即；（3）和的角平分线交于点，，即，是的高，，．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．【好题演练】一、填空题1．（2020·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．【答案】5【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．【详解】解：在△ABC中，

∵∠B=50°，∠C=60°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，

∵AE是的角平分线，

∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°

∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，

∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．故答案为：5.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

【答案】66°【分析】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．【详解】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，∵DH=DF，DG=DF，∴DH=DG，∵DG⊥AC，DH⊥BA，AD平分∠HAC，∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．故答案为：66．【点睛】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．二、解答题3．（2020·山西晋城市·七年级期末）（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）【答案】（1）2∠P＝∠A；理由见解析；（2）①∠P＝（α+β）﹣90°；②∠P＝90°﹣．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，运用等量代换即可得解；（2）①添加辅助线，延长BA交CD的延长线于F，利用（1）中结论解决问题即可；②添加辅助线，延长AB交DC的延长线于F，同①的思路求解即可．【详解】（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）①延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．（2018·山西晋城市·七年级期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠AB