专题07 几何证明 解答题之压轴题训练（1）（沪教版）（解析版）-2021-2022学年第一学期八年级压轴题训练（沪教版）

专题07几何证明解答题之压轴题训练（1）1.（徐汇龙华2019期中27）在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF,联结AE、AF.（1）求证：∠E=∠C;（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB.【答案与解析】解：（1）∵D为AB的中点，∴BD=AD，在△AED与△BFD中，，∴△AED≌△BFD（SAS），∴∠E=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；（2）∵DF平分∠AFB，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴∠AFD=∠AED，∵ED=DF，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．2.（2019曹杨中学10月27）如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作Rt△ADE，且AD=AE.解答下列问题：（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图a，联结线段CE，那么CE、BD之间的位置关系为，数量关系为；（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图b，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如果点D在线段BC上运动，如图c，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作∠EAD=45°，交边BC于点E，请问线段BD、DE、EC所围成的三角形的形状，并说明理由.【答案】（1）垂直，相等；（2）成立；（3）直角三角形；【解析】解：（1）联结CE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故得CE⊥BD，BD=CE；（2）结论仍然成立.联结CE，同（1）理可证明得△ABD≌△ACE，∴BD=CE，CE⊥BD；（3）直角三角形；如图，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，则B、D的对应点分别是C、F，联结EF，由△ABD≌△ACF，得BD=CF，∠B＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，在Rt△ECF中，，又可知：AD=AF，AE=AE，∠DAE=∠FAE=45°，∴△ADE≌△AFE，∴DE=EF，∴，故线段BD、DE、EC所围成的三角形.3.（2019复附10月27）已知△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β.（1）如图a，若AP平分∠BAC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分线，BD⊥AP，用含α的代数式表示∠BPC的度数，用含β的代数式表示∠PBD的度数，并说明理由.（2）如图b，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.∠BPC=；∠PBD=.【答案】（1）90°-；90°-；（2）∠BPC=90°+，∠PBD=；【解析】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠BAC=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α；又∵∠ABC+∠CBM=180°，∠ACB+∠BCN=180°，∴∠CBM+∠BCN=360°-(180°-α)=180°+α,∴(∠CBM+∠BCN)=90°+，∵在△PBC中，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（90°+）=90°-；∵∠BAC+∠ACB=∠MBC，∠BAC=α，∠ACB=β，∴∠MBC=α+β，又BP平分∠MBC，∴∠MBP=（α+β），同理∠BAP=，∴∠MBP=∠BAP+∠BPA，∴∠BPA=（α+β）-=，∴∠PBD=90°-∠BPD=90°-；（2）如图所示：∠BPC=90°+，∠PBD=.4.(2019浦东一署10月29)已知:如图，点A、B、C在同一直线上，AB=2，BC=1，分别以AB、BC为边，在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，分别联结AE、CD.（1）找出图中的全等三角形（不添加辅助线），并证明你的结论；（2）线段AE与线段CD的关系是：AECD（填＞、＝、＜）；AE与CD的夹角是：；（3）△ABD固定不动，使△BCE绕着点B旋转，①这时（2）得出的结论还成立吗（不要求证明）？②在旋转过程中，线段DC的长是变化的，它的变化范围是;③在下面的备用图中，画出在△BCE旋转过程中，BC与AB垂直时的图形.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△DBC；证明：∵等边△ABD，∴AB=DB，∠ABD=60（等边三角形性质），∵等边△BCE，∴BE=BC，∠EBC=60，∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，即∠ABE=∠DBC（等式性质），在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC(S.A.S)；（2）由（1）可知，线段AE与线段CD的关系是：AE=CD；AE与CD的夹角是60；（3）①（2）得出的结论仍成立；②在旋转过程中，线段DC的长是变化的，当E点落在线段AB上时，CD=2-1=1，当点E落在AB延长线上时，CD=2+1=3，故它的变化范围是；③在△BCE旋转过程中，BC与AB垂直时的图形如下.5.（2019位育10月25）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM.（1）如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；（3）如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案与解析】解：（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∵∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD为等腰直角三角形；（2）成立；如图，延长DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴ED//BC，∴∠DEM=∠NCM，∵M为EC中点，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN,∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD为等腰直角三角形.（3）成立；如图3，作CN//BD交DM延长线于N，连接BN，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(S.A.S)，∴∠DBA=∠NBC,BD=BN;∴∠DBN=∠ABC=90,∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，即△BMD为等腰直角三角形.6.（2019上宝25）如图在长方形ABCD中AB=3AD=点P为对角线BD上异于B、D的一个动点，联结A，将△ABP沿AP所在直线翻折，使得点B落在E处；（1）当∠D=4°时，求点E到直线AB的距离（2）联结AE,交线段BD于点，当△EP为直角三角形时，求线段BP的长度；（3）当∠DE=30°时，请直接写出△ABP的面积.【答案】（1）；（2）或；（3）；【解析】解：（1）如图1，作EH⊥AB于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90，∵AD=，AB=3，∴BD=2，∴AD=BD，∠ABD=30，∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB，∴∠PAB=∠PAE=15，∴∠EAH=30，在Rt△AEH中，AE=AB=3，∴EH=AE=；（2）如图2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一点N，使得AN=PN.∵∠E=∠ABD=30，∴当∠EPF=90时，∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，∴∠ADF=60，∠EAB=30，∴∠PAB=∠PAE=15，∵AN=PN，∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM=30，设PM=m，则PN=PB=2m，MN=BM=m，∴2m+2m=3，∴m=，∴PB=；如图2-2，当∠EFP=90时，∴∠DAF=30，∠EAB=60，∴∠PAB=∠PAE=30，∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60，∴PA=PB，PA=PD，∴PB=PD=；综上述，满足条件的PB的值为或；（3）如图3，作PM⊥AB于M，当∠DE=30°时，易知点F与点D重合，此时，∠PAE=∠PAB=45，设AM=PM=m，则BM=m，∴m+m=3,∴m=,∴=.7.（青浦实验2019期中25）如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，（1）试说明：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）当为多少度时，是等腰三角形【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3)110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.【解析】解：(1)∵∠ACD=∠BCO，∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°，又∵CO=CD，∴△COD是等边三角形；(2)∵△COD是等边三角形，∴CO=CD，又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；(3)∵△COD是等边三角形∴∠CDO=∠COD=60°∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.8.（徐教院附2019期中29）已知在△ABC中，AB＝AC在射线AC上取一点D，以D为顶点、DB为一条边作∠BDF＝∠A，点E在AC的延长线上，∠ECF＝∠ACB(1)如图(1)，当点D在边AC上时，求证:①∠FDC＝∠ABD;②DB＝DF；(2)如图(2)，当点D在AC的延长线上时，请判断DB与DF是否相等，并说明理由.【答案与解析】解：（1）证明：①∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=∠BDF+∠FDC，且∠A=∠BDF，∴∠FDC=∠ABD；②过点D分别作DM垂直BC于M,DN垂直CF交FC的延长线于N，∴∠DMB=∠DMC=90°，∠DNC=∠DNF=90°，∴∠DMC=∠DNC=90°，∵∠ECF=∠ACB，∠ECF=∠ACN(对顶角相等），∴∠ACB=∠ACN，又∵CD=CD，∴△DMC≌△DNC(AAS)，∴DM=DN，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ECF，∵∠ECF=∠FDC+∠DFN，∠ABC=∠ABD+∠DBM，且由①知，∠FDC=∠ABD，∴∠DBM=∠DFN，又∵∠DMB=∠DNF=90°，∴△DBM≌△DFN(AAS)，∴DB=DF；（2）解：DB=DF，理由如下：过点D分别作DP垂直CF于P,DQ垂直BC交BC的延长线于Q，∴∠DPC=∠DPF=90°，∠DQC=∠DQB=90°，∴∠DPC=∠DQC=90°，∠DPF=∠DQB=90°，∵∠ACB=∠DCQ(对顶角相等），∠ACB=∠ECF，∴∠ECF=∠DCQ，∵CD=CD，∴△DPC≌△DQC(AAS)，∴DP=DQ，∵∠BDE=∠ABD+∠A，∠BDE=∠BDF+∠EDF，且∠BDF=∠A，∴∠ABD=∠EDF，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ECF，∵∠ABD=∠ABC+∠DBQ，∠EDF=∠ECF+∠DFP，∴∠DBQ=∠DFP，∴△DPF≌△DQB(AAS)，∴DB=DF.9.（川中南2019期中26）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1所示位置时，求证：DE=AD-BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图２、图３所示位置时，补全图形，并探索线段DE、AD、BE之间的数量关系（直接写出答案）．【答案与解析】解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS),∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；（2）如图2所示：DE=BE-AD；如图3所示：DE=BE+AD.10.（浦东南联合2019期中26）已知：点O是△ABC内一点，射线AO、BO交BC、AC于点D、E.（1）若射线AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC;①如图（1），设∠ACB=x°．试用含x的代数式表示∠AOB的大小;②如图（2），若AC=BC,∠ACB=36°，射线BE与射线AM交于点M，且∠BAC=∠OAM=∠AOM．求证：AM=CM;（2）联结CO，若AO=BO=CO,且△AOB中有一个内角是50°，请直接写出∠ACB的度数．【答案】（1）①90+x；②略；（2）25或40；【解析】解：(1)①在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180，∴∠BAC+∠ABC=180-∠C，∵射线AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=∠BAC，∠ABE=∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=90-∠C，∴∠AOB=180-（∠BAD+∠ABE）=90+∠C=90+x；②证明：∵∠BAC=∠AOM，且∠AOM=∠BAO+∠ABO，∴∠OAE=∠ABO，又OA平分∠BAE，∴∠BAO=∠OAE=∠AEM即∠BAM=3∠BAO,∵∠BEC=∠BAE+∠ABO=3∠ABO,∴∠BAM=∠BEC,又BE平分∠ABC，且∠ACB=36，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180，∴∠ABO=36，∠BAE=72，又∵∠AEB=∠EBC+∠ACB，∴∠AOE=∠BAE，∴BA=BE，∴△ABM≌△EBC，∴BM=BC，∴∠BCM=∠BMC=72，∴∠ACM=36，∴∠CAM=∠ACM，∴AM=CM；（3）25或40.11.（浦东四署2019期中26）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，连接AC、BD交于点M.（1）如图1，若∠AOB=∠COD=40°.①AC与BD的数量关系为；②∠AMB的度数为；（2）如图2，若∠AOB=∠COD=90°.①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求∠AMB的度数.【答案】（1）AC=BD，∠AMB=40；（2）①AC=BD；②90；【解析】解：（1）∵∠AOB=∠COD，∴∠DOB=∠COA，又∵OA=OB，OC=OD，∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=70,∴∠AMB=180-(∠MAB+∠ABD)=180-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180-(∠OAB+∠OBA)=180-140=40,故AC=BD，∠AMB=40；（2）①AC=BD；∵∠AOB=∠COD=90，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，在△BOD与△AOC中，，∴△BOD≌△AOC(SAS),∴BD=AC.②∵△BOD≌△AOC,∴∠OBD=∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA=90，∠ABO=∠ABM+∠OBD，∠MAB=∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA=90，又在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM=180，∴∠AMB=180-（∠ABM+∠BAM）=180-90=90.12.（浦东四署2020期末26）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形.（2）探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.【答案与解析】解：（1）①是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；②是；因为，故是奇异三角形.（2）当c为斜边时，则，由于，故不是奇异三角形；当b为斜边时，，则有，所以是奇异三角形.答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形.13.（川中南2020期末25）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为;（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－60°=60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．14.（西南模2019期中28）如图，等边，点D为射线AE上一点，延长BE至点C，使得EC=AD，联结CD并延长交射线AB于点F.（1）当点D在边AE上时，如图1，若ED=AD，则；（2）当点D在边AE上时，如图2，若，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出与的数量关系并证明；（3）当点D在边AE的延长线上时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出与的数量关系并证明.【答案】（1）60；（2）∠CFA-∠CBD=60；(3)不成立，∠CFA+∠DBC=60；【解析】解：(1)∵△ABE是等边三角形，ED=AD，∴BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30，AB=AE；∵EC=AD，∠BEA=60，∴∠ECF=30，∴∠CFA=∠ABC+∠ECD=90，∴∠CFA-∠DBC=60；（2）如图2，过点C作CH//AB交AE的延长线于H，∵CH//AB,∴∠H=∠EAB=60,∠HCE=∠EBA=60,∴△CEH是等边三角形，∴CH=CE=HE，∵EC=AD，∴HE=CH=AD，∴HE+DE=AD+DE即HD=AE=AB，∵H