第10讲 认识三角形与图形全等-2021-2022学年七年级数学下册同步讲义（北师大版）（原卷版）

第10讲认识三角形与图形全等

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知识点01三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

组成三角形的线段叫做三角形的边.

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等边三角形）.

（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高.

（4）三角形具有稳定性.

【知识拓展1]（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）

A.M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形

B.M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形

D.M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形

【即学即练1]（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）

A.任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形

B.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形

C.任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形

D.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形

【即学即练2]（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（)

知识点02三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一

条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形外一点.

【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在aABC中，AB=5,AC=3,为8c边上的中线，则

△A8O与△ACQ的周长之差为（）

A.2B.3C.4D.5

【即学即练1]（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作AABC中AC边上的高时，共画出下

列四种图形，其中正确的是（)

B

【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的

是（）

A.8c=2AOB.AB=2AFC.AD=CDD.BE=CF

知识点03三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即5△=上X底X高.

2

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

【知识拓展3】（2021秋♦正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点。、E、F分别是BC、AD.CE的中点,

且△ABC的面积为24,则aBE尸的面积是（）

BD

A.2B.4C.6D.8

【即学即练1］（2021秋•同安区期末）如图，SMBD=SMCD,已知A8=8cm,AC=5cm,那么△48。和4

ACO的周长差是cm.

【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△A8C中，A。，AE分别是边8c上的高和中线，AD=2cm,

△ACE的面积是3cm2,则BC=cm.

知识点04三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

③重心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）

【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在RtzMBC中，NC=90°,点G是△A8C的重心，GELAC,

垂足为E,若GE=3,则线段C8的长度为（）

A.10B.9C.6D.9

2

【即学即练1］（2021秋•莱州市期末）如图，点。是△ABC的重心，连接AO并延长交8c于点O.若BC

=6,则CD=

A

【即学即练2]（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于

一点，这一点叫此三角形的心.

知识点05三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的

线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容

易忽略.

【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP,BP,AB满足AP+8PA4B,则关于P点的位置，下列说

法正确的是（）

A.P点一定在直线AB上B.P点一定在直线AB外

C.P点一定在线段AB上D.尸点一定在线段A8外

【即学即练1]（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.4,5,9

【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9,则它的第三边长可能是（）

A.4B.5C.6D.7

知识点06三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，是BC边上的高，AE,BF分别是NBAC,

/A8C的平分线./BAC=50°,ZABC=60°.则/D4E+NACD等于（）

【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，8。平分NABC,平分NACQ,若NA=80°,则/。的度

数为（）

【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD,CE分别是AABC的角平分线，BD与

CE交于点O,如果设乙4=〃°（0<〃<180）,那么NC。。的度数是（）

A.45°+n°B.90°C.90°-二。D.180°-n

22

知识点07全等图形

（1）全等形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

（2）全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符号

“全等”用符号“出”表示.注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上.

（4）对应顶点、对应边、对应角

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.

【知识拓展1]（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）

A.两个面积相等的图形一定是全等图形

B.两个全等图形形状一定相同

C.两个周长相等的图形一定是全等图形

D.两个正三角形一定是全等图形

【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）

A.Z1>Z2B.Z1<Z2C.Zl+Z2=90°D.Nl+N2=180°

【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）

oooo☆☆

①②③

④⑤⑥

A.3组B.4组C.5组D.6组

知识点08直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一

个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

【知识拓展8］（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°,则另一个锐角的度数是

)

A.26°B.34°C.36°D.44°

【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在aABC中，点P在边BC上（不与点2,点C重合），（）

A.若N8AC=90°,ZBAP=ZB,则AC=PC

B.若NBAC=90°,NBAP=NC,贝

C.若AP_LBC,PB=PC,则NBAC=90°

D.若PB=PC,ZBAP^ZCAP,则NBAC=90°

【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，NA=90°,Zfi=40°,则NC=度.

Q能力拓展

【考点1］：认识三角形

例题1.（2021•石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm和5cm,第三边长的数值是

奇数，则这个三角形的周长是（）

A.9cmB.12cmC.10cmD.14cm

【变式1］（2021•山东烟台市•七年级期末）用直角三角板作的高，下列作法正确的是（）

【变式2］（2021•浙江温州市•七年级期末）如图，三角形ABC中，AC±BC,于点。，则下

列线段关系成立的是（

A.AD+BC<ABB.BD+AC<AB

C.BC+AC>2CDD.AC+BC<AB

例题2.（2020•辽宁锦州市•七年级期末）己知三角形A8C,且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离

为x厘米，那么x的取值范围是.

【变式1］（2021•广西南宁市•七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段剪开，留

下三角形AS%第二次取的中点乙，再沿着Ag剪开，留下三角形ABg；第三次取的中点A，

再沿着剪开，留下三角形A8A；…，如此进行下去，在第〃次后，被剪去图形的面积之和是.

【变式2］（2020•浙江杭州市•七年级期末）已知直线加〃〃，将一块含有45°角的直角三角板ABC按如图

方式放置，其中斜边5c与直线〃相交于点O.若Nl=24°，则N2的度数为.

Am

例3.（2021•兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，己

知N3=ND4C=x,ZC=ZBAD=2x.

（1）求NC的度数;

（2）如图，如果=试比较NAEC和的大小.

【变式1］（2021•浙江台州市•七年级期末）如图，在平面内有三个点A、B、C

B•

（1）根据下列语句画图：

①连接AB；

②作直线BC；

③作射线AC,在AC的延长线上取一点。使得CD=C8,连接8。：

(2)比较AB+BD,AB+BC+CD,A。的大小关系.

【变式2］（2021•四川绵阳市•东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30。、60°

的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转

（1）试说明NDPC=90。；

（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分NAPD,PE

平分NCPD,求NEPF：

（3）如图③.在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5。/秒，同时三角板PBD绕点

P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、

PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间.

【考点2】：图形的全等

例题1.（2001.浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现

在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

40。

①②的

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②去

【变式1］（2020•四川成都市•七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+N2+N3=（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【变式2］（2020•山东泰安市•七年级期末）下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.两个等边三角形是全等三角形

D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形

例题2.（2021.湖北黄石市.七年级期末）如图，是一个3*3的正方形网格，贝iJ/l+/2+/3+N4=

【变式1］（2020•重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有.（填番号）

①②③④⑤

【变式2］（2020•山西临汾市•七年级期末）如图，_ABC三二ADE,如果AB=5cm,BC=7cm,AC=6cm,

那么OE的长是_____.

E、A

例题3.（2020•江苏苏州市•七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形

（三种方法得到的图形相互间不全等）.

方法1方法2方法3

【变式1］（2018•全国七年级期末）如图,在△48C和△DBC中，/4C8=4>8C=90。，E是8c的中点,

DE±AB,垂足为点尸，且AB=OE.

(1)求证：BD=BC；

(2)若BO=6cm,求AC的长.

【变式2］（2019•山东青岛市•七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.

（1）用实线把图①分割成六个全等图形;

（2）用实线把图②分割成四个全等图形.

分层提分

题组A基础过关练

选择题（共6小题）

1.（2021秋•思明区校级期末）如图,CM是△ABC的中线，AM=4cm,则8M的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6C??7

2.（2021秋•东城区校级期末）如图,A。是△ABC中NB4c的角平分线，DE_LAC于点E,DE=4,AC=

6,那么△ACD的面积是（）

A.10B.12C.16D.24

3.（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（)

A.3,4,8B.5,6,11C.5,5,10D.3,7,9

4.（2021秋•全椒县期末）如图,△ABC中,A。是8。边上的高,AE是NR4C的平分线，NB4C=50°，

ZABC=60°，则ND4E=()

B.4C.8°D.6°

5.（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则Nl+N2=（）

A.60°B.90°C.100°D.120°

6.（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°,则另一个锐角的度数是（）

A.25°B.55°C.65°D.75°

二.填空题（共8小题）

7.（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个.

8.（2021秋•天河区期末）在△4BC中，AO是BC边上的中线，△ADC的周长比△48。的周长多3<?"，已

知AB=4cm,则AC的长为cm.

9.（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，力是8c边上的一点（不与8,C重合），点E,尸是线段

AO的三等分点，记△BD尸的面积为Si,ZXACE的面积为S2,若SI+S2=3,则△ABC的面积为.

10.（2021秋•港南区期中）如图，B£>、CE是△ABC的高，若AB=4,AC=6,CE=5,则8。的长度是

II.（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一

点叫此三角形的心.

12.（2021秋•巢湖市期末）△A8C的两边长分别是2和5,且第三边为奇数，则第三边长为.

13.（2021秋•包河区期末）如图，在△4BC中，乙4c8=90°,点。在AB上，将△BOC沿CD折叠，点

B落在AC边上的点夕处，若NAQ8'=20°,则NA的度数是

c

14.（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角度数是

三.解答题（共3小题）

15.（2021秋•启东市期末）如图，在△A8C中，NC4E=18°,ZC=42°,NCBO=27°.

（1）求NAF'B的度数；

（2）若NBA尸=2/ABF,求/BAF的度数.

16.（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，C£＞平分NAC8,AE±CD,垂足为尸，交.BC于点、E,

若/8AE=33°,NB=37°,求NE4C的度数.

17.（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺SMPN,NMPN=90°）放置在△A8C上（点P在AABC

内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C我们来探究：NABP与NACP是否存

在某种数量关系.

（1）特例探索：

若/A=50。,则NPBC+NPCB=度；ZABP+ZACP=度；

（2）类比探索:

NABP、NACP、NA的关系是；

（3）变式探索：

如图2所示，改变三角尺的位置，使点尸在△A8C外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C,

则/ABP、NACP、/A的关系是.

题组B能力提升练

选择题（共7小题）

1.（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,NB=70°,点D、E分别在4B、AC上，将

△AOE沿OE折叠，使点A落在点F处.则（）

2.（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，/A=60°,NB=70°,CD是NACB的平分线，CHLAB

于点H,则4DC"的度数是（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

3.（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，。在BC的延长线上，过。作。凡LAB于尸，交AC于E.己

知/A=35°，ZECD=85°,则NC=()

A

A.30°B.40°C.45°D.50°

4.（2021秋•忠县期末）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZA=30°，点。是AC上一点，将△A3。

沿线段8。翻折，使得点A落在A，处，若/A5C=30°,则NC2£>=（）

5.（2021秋•密山市期末）如图，AO是△43C的中线，CE是△ACD的中线，。F是△CDE的中线，若

DEF=4,贝!ISAABC等于（）

6.（2021秋•潮安区期末）如图，AO是△ABC的中线，点E是AO的中点，连接BE、CE,若△ABC的面

积是8,则阴影部分的面积为（）

A

A.4B.2C.6D.8

7.（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形A8C。与四边形ABCD'中，AB=AH,NB=NB',BC=B'C.下

列条件中：®ZA=ZA',AD=A'D'；®ZA=ZA',CD=CD'-,③NA=N4,ZD=ZD'；®AD=A'D',

CD=CD'.添加上述条件中的其中一个，可使四边形A8CQ四四边形AbCD.上述条件中符合要求的有

;A二A'

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二.填空题（共8小题）

8.（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AO_LBC于点。，若NBAC=76°,ZC=64°,

则/D4E的度数是.

A

BEDC

9.（2021秋•平罗县期末）如图,△ABC中，。在8c的延长线上，过。作DF_LAB于凡交AC于E.己

知NA=35°,NECD=85°则.

r

cD

10.（2021秋•博白县期末）如图,将AABC纸片沿OE折叠，使点A落在点A处，且平分NABC,A'C

平分NAC8,若/84C=120°,则NI+N2的度数为______.

B

jA

EC

11.（2020秋♦十堰期末）如图，在2X2的方格纸中，/1+/2等于

12.（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形A8C。如图所示,

连接BE并延长交4。于点尸，若AG=2BG,则22=_______.

BE一

13.（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方

形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长

为3kcm,宽为2kcm,则：

（1）裁去的每个小长方形面积为cm2.（用4的代数式表示）

（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数A的值为.

14.（2021秋•湖州期末）如图，在AASC中，AE是aABC的角平分线，。是AE延长线上一点，DH±BC

于点儿若N8=30°,ZC=50°,则

15.（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为''倍

角三角形”，其中a称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°,那么倍角a的度数

是

三.解答题（共4小题）

16.（2021秋•建昌县期末）如图，AQ是NBAC的平分线，CE是△ADC边A。上的高，若NBAC=70°,

Z£CD=20°.求/AC8的度数.

17.（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△A8C中,ZB=40°,ZC=80°,ADLBC于。，且AE

平分NB4C,求NEAO的度数.

18.（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，NB=2NC,4O_LBC于点£>,AE平分NBAC交BC于点E.

（1）若NC=40°,求ND4E的度数；

（2）若交AC于点尸，请补全图形，并在第（1）间的条件下，求NFEC的度数.

BDEC

19.（2021秋•祁江区期末）点。为直线AB上一点，过点O作射线OC,使NAOC=120°,一直角三角板

的直角顶点放在点。处.

（1）如图1,将三角板。OE的一边0。与射线重合时，则/COO=/COE；

（2）如图2,将图1中的三角板。0E绕点。逆时针旋转一定角度，当0C恰好是NBOE的角平分线时,

求NCOO的度数；

（3）将图I中的三角尺。0E绕点。逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为a度，在旋转的过程中，能

否使NAOE=3/COD?若能，求出a的度数；若不能，说明理由.

题组C培优拔尖练

一.选择题（共3小题）

1.（2021秋•拱墅区校级月考）如图，。是△ABC的重心，过。的一条直线分别与AB、AC相交于G、”（均

S四边形B：的

不与△A8C的顶点重合），S四边形8CHG,%AGH分别表示四边形8CHG和△AG”的面积，则

SAAGH

的最大值是（

G

O

B”-------D--------C

A.$B.IC.3D.2

423

2.（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长。至点尸，使得4尸=C4,延长A8至点。，

使得BD=2AB,延长BC至点E,使得CE=3CB,连接EF、FD、DE,若SgEF=36,则S^ABC为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，N8AC=90°,AO是高，BE是中线，CF是角平分线，CF

交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是（）

①△4BE的面积=Z\8CE的面积；②N4FG=NAGF；®ZMG=2ZACF；④BH=CH.

二.填空题（共3小题）

4.（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，ZACB=2a,CD平分/ACB,/CA£）=30°-a,ZBAD

=30°,则N8QC=.（用含a的式子表示）

5.（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB,BC,

C4至点Ai,Bi,Ci,使得4B=2AB,BiC=2BC,CiA=2CA,顺次连接Ai,B\,C\,得到△A181C1,

记其面积为Si；第二次操作，分别延长AIBI,Bid,CiAi至点42,BI,CI,使得42BI=248I,BIC\

=28ICI,C2AI=2CIAI,顺次连接A2,&,C2,得到282c2,记其面积为S2：…；按此规律继续下去,

可得到△△484c4,则其面积S4=.

6.（2021春•宝应县月考）如图，A,B,C分别是线段48、B\C,C1A的中点，若△AiBiCi的面积是28,

那么△ABC的面积是

三.解答题(共5小题)

7.(2021秋•青田县期末)如图，直线/〃线段8C,点