大学物理第十五章狭义相对论基础课后习题答案及复习内容

第十五章狭义相对论基础

一、基本要求

1.理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。

2.了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相

对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进行计算。

3.了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。

4.理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，

并能分析计算一些简单问题。

二、基本内容

1.牛顿时空观

牛顿力学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进行，但时间的流逝

和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。按牛顿的说法是“绝对空间，就

其本性而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。”，“绝对的，真

正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地与任何外界对象无关地

流逝着。”以上就构成了牛顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系无关。

2.力学相对性原理

所有惯性系中力学规律都相同，这就是力学相对性原理（也称伽利略相对性

原理）。力学相对性原理也可表述为：在一惯性系中不可能通过力学实验来确定

该惯性系相对于其他惯性系的运动。

3.狭义相对论的两条基本原理

（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任

何一个特殊的（例如“绝对静止”的）惯性系。

爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或力学相对性原理）的推广，它

使相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于所有物理现象。

（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。

光速不变原理是当时的重大发现，它直接否定了伽利略变换。按伽利略变换,

光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。这一原理是非常重要的。没有光

速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成立了。

这两条基本原理表示了狭义相对论的时空观。

4.洛仑兹变换

（K系->K'系）

①当£-0,y=l得尤'=x-加，y'=y,z，=z,f'=f,洛仑兹变换就变成伽利略

变换。

②“>c,1-尸2<0,洛仑兹变换失去意义。故相对论指出，物体运动速度不

能超过真空中光速。

③在狭义相对论中洛仑兹变换是两条基本假设的直接结果。

5.狭义相对论的时空观

狭义相对论的时空观认为，时间和空间有密切的联系，时间、空间与物质运

动是不可分割的，根本不存在脱离了物质运动的绝对时间和绝对空间。其中包括

同时的相对性，长度的收缩，时间的延迟等都反映了狭义相对论的时空观。

(1)同时性的相对性

在某惯性系中同时发生的两个事件，在另一相对它运动的惯性系中并不一定

同时发生。如两事件在K系中同时异地的发生，在系中的观察者观测这两事

件必定不是同时发生的。由洛仑兹变换式可得

一£）--—%））

C

显然，L=4，X产/，则。一尸0,两事件在K，系中不同时发生。

所以同时性是相对的。

(2)时间膨胀

一个事件所经历的时间的量度也与参照系有关。若一事件在K系中X=5处

发生，起始于L时刻、终止于〃时刻、经历时间为加=々-0。定义在相对于事

件发生的地点为静止的参照系（如K系）中测得的时间间隔为固有时（或原时）,

用飞=，2-°

则在相对K系匀速运动的K，系中测得此时间间隔为△「=,称△广为运

动时，用7表示，则由洛仑兹变换式得运动的钟变慢的公式

显然7〉品，称为运动的时钟变慢或时间膨胀效应。时间膨胀是一种相对论

效应，不是钟的内部结构有了什么变化。若在K系中测得时间为7°,则在K系

中测得时间间隔为T,仍有7="^,这与第一条基本假设一致。在。<<6■时,

r=r0,与牛顿绝对时空观相符。

（3）长度收缩

设一固定在K系中的物体，它沿x轴的长度，在K系测得为/=》2-七（K系

相对于物体沿x方向无相对运动），/称为该物体的固有长度。则在相对K系沿x

方向相对匀速运动的K系中，在某时刻「测得该物体长度r=xh-居（应在同时

测出则有

P=Q1—-

即r</。这个效应称为长度收缩。

注意：①长度收缩为一相对论效应，物体运动速度越大，此效应越显著。当

o«c时，「=/,收缩效应几乎显示不出来。②在与相对速度。垂直方向上「=/,

即与相对速度垂直的方向上无长度收缩效应。③一般说来，这个长度收缩效应用

肉眼很难看到。因为用肉眼看物体时，除有相对论效应外，还有光学效应。

6.质量与速度的关系

注意：①物体的运动质量相与物体相对观察的运动速度U相关。此处加与经

典力学中变质量问题不同。②当。<<C,机一外,回到经典力学中，可认为质

量与物体运动无关。③光子的静止质量为=0O

7.相对论力学的基本方程

上式当o«c,又回到牛顿第二定律。

8.质量和能量关系

物体的静止能量E。=〃?“2（物体相对于观察者静止时的能量）

物体的运动能量七=机。2（物体相对于观察者以。的速度运动时的能量）

相对论动能E&=加。2-恤/

22

质能关系式E=me,Eo=m0c

9.动量和能量关系

2222224

E=cp+E^=cp+m0c

式中p为动量，相对论动量〃=曾建

上式具有极重要的意义，它反映了动量和能量间的关系，也反映了动量和能

量的不可分割性和统一性，如同时间与空间的不可分割性与统一性一样。如光子,

加°=0,但光子动量为P=£,光子的质量机=与。

cC

三、习题选解

15-3一质点在惯性系V中作匀速圆运动，轨迹为小+严=。2"，=0

（1）试证明对另一惯性系S（S以速率〃沿V正向相对于V运动）中观察

者来说，这一质点的运动轨迹为一椭圆，椭圆的中心以速率“运动；

（2）若不考虑相对论效应，又将如何?

解：（1）S以速率〃沿x，正向相对于S，运动，根据洛仑兹变换

,x+ut

X=7,^y=y

2

代入％'+产=a

(x+Ut)222

得a

MI-U)22y~

-^C4=i

a-(\-J3-)+a-

故对惯性系S中的观察者，质点运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴分别为a

和ajl—力2,椭圆中心以速率〃运动。

（2）若不计相对论效应，把+W和代入产+严=标得

（x+ut）2+y2=a2

在S系中观察者看仍为圆，圆心以速率〃运动。

15-4设9系相对于S系以速率a=0.8c沿x轴正向运动，在V系中测得两个

事件的空间间隔为加餐300〃?，时间间隔为△r=i.0xi（r6s,求s系中测得两个事

件的空间间隔和时间间隔。

解：设s系中两事件的坐标为（X"|）和（々小），在卜系中两事件的坐标

为（©,t\）和（均,t'2）,根据洛仑兹变换

,

Ax=x2—Xj=y(x2+wf2)—/(x'j+w/*!)

=x，i)+

Ax*uAf

把Ar'=300也"=l.Ox10«s,"=0.8c代入上式

Ax=500m+400m=900m

X-y(f2+—x'2)-/(/]+彳)=加，+彳必

=1.666x10%+1.333x10%=3x10%

15-5在宇宙飞船上的人从飞船后面向前面的靶子发射一颗高速子弹，此人

测得飞船长60机，子弹的速率是0.8c,求当飞船对地球以0.6c的速率运动时，地

球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少？

解：以飞船为参照系SL飞船长度—=总-到=60/〃,子弹射中靶子的飞行

时间为加，=2二=也，以地面为参照系S,子弹飞行的时间为

0.8c0.8c

Af=»2f■—fX'2)—■一)

cc

=/aT'l)+/彳(x’2W)=W+7彳Ax'

cc

1U.,

=.=7Ar+,=-Ar

PF户算

=4.625x10-7§

15-6一短跑选手，在地球上以10s的时间跑完100m，在飞行速率为0.98c的

飞船中观察者看来，这选手跑了多长时间和多长距离？设飞船运动与选手奔跑同

方向。

解：以地球为参照系S,选手跑过的距离X=100〃?，所用时间为

&=，2-乙=10s,飞船速率〃=0.98c,由洛仑兹变换，以飞船为参照系S，，选手跑

了的距离为

AY=X’2Tl-/(%一〃幻—八七~Ut\)

=/(x2.X1)—yu(t2_G=7Ax-yu\t

=i1(Ax-必=-1.48x10“。％

PF

选手用的时间为Af=t'2-t\=/(r9-x2)-/(r,-x,)

c.c

=j1(Ar-=Ax)=50.25s

L(0.98c)2c

15-7设想有一艘飞船，以M=0.8C的速率在地球上空飞行。从飞船上沿飞船

速度方向抛出一物体，该物体相对于飞船的速率为0.9c,问从地面上观察该物的

速率为多少？

解：根据洛仑兹速度变换，地面上观察该物的速率为

v'x+u

把"=0.8c',%=0.9c代入上式，得=0.988Co

15-8两艘宇宙飞船相互靠近。

(1)若每艘飞船相对于地球之速率为0.6c,那么一艘飞船相对于另一艘之速

率各为多少？

(2)若每艘飞船相对于地球之速率为3xl()4〃2.sT,那么，一艘飞船相对于另

一艘的速率为多少？

解：(1)设地球为参照系S,一飞船为参照系V。相对于S以速率M=0.6c

沿S系x轴正方向运动。另一飞船对地球的速率为%=-0.6c。由洛仑兹速度变

换，两飞船之相对运动速率为叽=幺」=-0.882c

1-华

(2)若〃=3xl()4m=-3xl04m-5-1则

v\=———=-6xl04m-^-1,

i忆

17

由此可见，在M«C时，洛伦兹速度变换就过渡到伽俐略速度变换式。

15-9一束光在9系里以速率c沿y轴正向运动，而'系以速率〃相对于S

系沿X轴正向运动。

(1)求出光速在S系的X分量和y分量；

(2)证明在S系里光速仍为c；

(3)求光在S系中传播的方向

解：(1)在9系中光速沿v轴和y轴的分量为*=o,%=c。在s系中根据

洛仑兹速度变换可得，此光束在x轴和y轴的速度分量

v'+u

%=-匕,，="

(2)证明：在S系中的光速为

/22[~22~C2U2

+%寸-+c--丁

故在S系中光速的大小仍为C。

(3)设在s系中光速与x轴夹角为e

„%,cLu2P~~

tan0=—==J--1

15.10在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距是加，在6系中

观察这两个事件之间的距离是2根，求在V系中观察这两个事件的时间间隔。

解：在系中两事件之间的距离为

Ar'=x'2-x\=/(x2-ut2)-/(Xj_〃♦)=ylsx-yubt

把Ax=Im,Ax'=2八加=0代入上式得

/=2u——

2

V系中两事件的时间间隔为

加'=/«2-=々)--二为)=加-4Ax=-0.577x103

■CCC

故两事件的时间间隔在V系中为0.577X10-8秒。

15-11一米尺相对于你以"=0.6c,的速率平行于尺长方向运动，你测得米尺

长为多少？米尺通过你得花多少时间？

解：设米尺为参照系S1你为参照系S。由洛仑兹变换，6系中米尺的长度

Ax'=1m

Ax*=x'2—x\-y(x2—ut2)—-ut{)

=y(x2-X])-w«2F)

S系中的你在同一时刻测量米尺，故/2=4，你测得米尺长度为

._Ax'_,1_U_卜（0.6c）2_

AuX=W-“1=—=八（11—~=1x[1-----7—=0.8根

米尺通过你所花时间为7=^=91=0.444x10-85

u0.6c

15-12斜放的直尺以速率〃相对于惯性系S沿x方向运动，它的固有长度为

1°,在与之共动的惯性系V中它与才轴的夹角为夕。试证明：对于S系的观察者

来说，其长度/和与x轴的夹角6分别为/=/。、1-土

vC2^-u2/c2

证：S'系中尺子的长度为固有长度/。，小=，ocos夕.=/“sin夕。在S系中

UOxUoyO

测得尺长为/，与X轴夹角为。。直尺长度收缩只沿运动方向（X轴）发生，/在

X轴和）轴的分量为

lx-Icosff=—

Y

ly=/sin。=loy.=losinO'

9cos6'Jl—!)2+(/°sine')2

故

2

="cos**22

cos夕+sin2O'=ZocosO'

lsin6?'tan，'

tan/9o

I。cos''J1-3

15-13/介子是不稳定的，它在衰变之前存在的平均寿命（相对于它所在

的参考系)约为2.6x10%。

(1)如果一介子相对于实验室运动的速率为0.8c,那么，在实验室中测得它

的平均寿命是多少？

(2)衰变之前在实验室中测得它运动的距离是多少？

解：设万+介子所在参照系为SL它的本征寿命△r=2.6x10-',实验室所在

参照系测得万+介子的寿命为4,运动的距离为以

(1)一介子在V系中静止，故A/=0

,u.

Ar=ybt+/—Ax

c

-yZ'-尸=4.33x10

(2)Ax=uAt-0.8cA/^=0.8x3x108x4.33xIO-8=10.4m

15-14从地球上测得地球到最近的恒星半人马座a星的距离是4.3xl(y6〃?，

设一宇宙飞船以速率0.999c从地球飞向该星。

(1)飞船中的观察者测得地球和该星间的距离为多少？

(2)按地球上的钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的钟计算，

往返一次的时间又为多少？

解：(1)设飞船为参照系V,地球为参照系S。S系中地球与半人马座。星

16

的距离Ar=x2-%)=4.3X10OT

设在S1系中同一时刻，测量地球与该星的距离为Ax'o由长度收缩效应得

Ax=x2-%)=心/

(0.999c)2

故"=竺=一1.92x10%

c2

(2)以地球钟计算，飞船往返一次所需时间

,2Ar2x4.3x06

Af=---=-----------=2.87x1085=9.1年

U0.999c

以飞船钟计算，往返一次所需时间

2Ar'_2xl.92xlQ15

1.28X1075=0.41年

0.999c

15-15地球上的观察者发现一艘以速率0.6c向东航行的宇宙飞船将在5秒后

同一个以0.8c速率向西飞行的彗星相撞。

（1）飞船上的人看到彗星以多大速率向他们接近？

（2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线而脱险？

解：设地球为参照系5,x轴方向向东。飞船为参照系V,沿x轴以速率

“=0.6c相对于S系运动。在S系中彗星速度%=-0.8c

（1）'系中彗星向飞船的接近速度为

(2)在S系中，设初始时刻r0=0,飞船在坐标4处；在t=5s,飞船到达与

彗星的相撞点x

Ar=x-x0=0.6cx5=3c

在飞船参照系S'中，上述两事件所发生的时刻为/'0和f

&'=』'()='(/-=x)-y«o--yA：0)=/(r-/0)-y-^-(x-x0)

ccc

,",、1"c、1k0.6c〜.

A一/-----

=y(Af--Ax)=(5一一rx3c)=—(5———x3c)=4s

故按规定照飞船上的钟，还有4秒他们与彗星相撞。

15-16把一个电子从静止加速到0.1c,需对它作多少功？如果将电子从0.8c

加速到0.9c,又需对它作多少功？

m22

解：电子动能Ek=mc~-moc-=,°c-moc

把电子从速率H=0加速到％=（He时需做的功为电子动能的增量

4=3=Ek2-Eki

=4.13xl()T6/

同理把电子从速率0=0.8c力□速至U%=0.9。时需做功

pI

2

A,=A£,=/?JOC(-^^=--,)=5.14x10*j

'A/1-0.92Vl-0.82

15-17已知实验室中一个质子的速率为0.99c,求它的相对论总能量和动量

是多少？动能是多少？(质子静质量加0=1.67x10-27左g)

-27

解：质子速率v=0.99c,静质量m0=1.67X10kg

质子的总能量E1.07x1OV

质子动量P=mv=FI=3.52xl()T隈

2

质子动能Ek=me

=一°。一gc2=9.16xl(T")J

F।F

15-18一个静质量为人的质点在恒力尸=人的作用下开始运动，经过时间

t,它的速度。和位移x各是多少？在时间很短U«mnc/F)和时间很长

(f〉＞加0c/F)的两种极限情况下，。和x的值又各是多少？

解：根据相对论力学的基本方程

V

Fdt—

由初始条件r=0,o=0;f=/,。=。。等式两边积分

Fdt=

Ftc

d（旦）

m^c

由初始条件，=0,x=0；Z=f,x=x。等式两边积分

=Jvdt

oo

在时间很短的极限情况下，水〈二因

F

—r«l

在时间很长的极限情况下t>>?日

F

FtFt

----C

mcm.c

-----Q------rx—^(―c=c

Ft

rl/Ft、22

1+()m°c

moc

I।

=Q1l+(与1=应&

FmQcFmQc

15-19一立方体，沿其一棱方向以速率“相对于观察者运动，试证明体积和

其中加。、匕各为其静质量、静体积。

解：设立方体截面积为S,一棱长为/。，静体积％=S/°。沿此棱方向以速

率〃相对于观察者运动，据长度收缩效应，则观察者测得此棱的长度/会缩短。

1=尸。

2

立方体的体积为V=/S=S/0Jl-^-=V0Jl--4

立方体的质量

密度

15-20氢原子的结合能（从氢原子移去电子所需的能量）为13.6eV。当电子

和质子结合为氢原子时损失了多少质量？

解：电子和质子结合为氢原子时损失了能量

A£=13.6eV=2.176x10*1

由质能关系bE=c1Zn

损失的质量为Am=华=2.42x1Of依

C

15-21试证：带电粒子在匀强磁场月中与月垂直的平面上作圆运动时的轨道

半径为R=QE°E廿EQ?

qBc

其中4、既、4分别为粒子的静止能量、动能、电量。

证明：（1）带电粒子在磁场中作圆周运动，向心力为洛仑兹力

V2

qvB=m——

R

带电粒子的运动质量m故

”,2

假设带电粒子的轨道半径为

(2EE+E2)2

[\一Qkk

qBc

2222

由E。=mQcEk=me-moc=z/zoc(7-1)

=叱犷