角平分线的性质定理及逆定理1

4.角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理北师大版八年级下册1、什么叫角平分线？2、如何用尺规作角的平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线。已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.DE3、角平分线上的点有什么性质?

获取新知探究1：角平分线定理

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，

OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.提示:这个结论经常用来证明两条线段相等的根据之一.探究2：角平分线的判定定理

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．∴点P在∠AOB的角平分线上.

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.提示:这个结论经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.随堂演练1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）2.如图，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，AB=2AC.求证：CE=DE.证明：连结AE，由于∠C=90°，

AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.3.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D.求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.4.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？回味无穷1.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,

(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).2.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).3.用尺规作角的平分线.