专题03 二次函数与一元二次方程-原卷版

专题03二次函数与一元二次方程★知识点1：抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2023·四川·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．A，B两点之间的距离为5 D．当时，y的值随x值的增大而增大【例2】（2023·山东德州·统考二模）将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位后与x轴交点的横坐标之差为3，则m的值等于（

）A．2 B． C．1 D．【即学即练】1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（

）

A．抛物线开口向上 B．方程的解为，C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为★知识点2：抛物线与y轴的交点情况图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）关于抛物线下列说法中错误的是（

）A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标D．与y轴交点坐标【例2】（2022秋·浙江丽水·九年级期末）抛物线与y轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．即学即练1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）二次函数的图象与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）抛物线的图象与y轴的交点坐标是（）A． B． C． D．★知识点3：已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值典例分析【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（）A． B． C．或 D．或即学即练1．（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12★知识点4:根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值：…1……88…根据表格可知，下列说法中错误的是（

）该二次函数图象的对称轴是直线B．关于的方程的解是，C．的最大值是8D．的值是【例2】（2023·江西抚州·校联考三模）如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（

）

A．图象的对称轴是直线B．当时，y随x的增大而减小C．若图象上两点为，则D．一元二次方程的两个根是和3即学即练1．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2.（2023·广东湛江·校考一模）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★知识点5图像法确定一元二次方程的近似根典例分析【例1】（2022春·江苏·九年级专题练习）某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）：xy根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（）A． B．C． D．【例2】（2023秋·九年级单元测试）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．即学即练1.（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（）x…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…A． B． C． D．2．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）小亮在利用二次函数的图像求方程（，，，为常数）的一个解的范围时，为精确到，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（

）A． B．C． D．★知识点6:求x轴与抛物线的截线长典例分析【例1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（

）A． B． C． D．【例2】（2023·山东·九年级专题练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7即学即练1．（2021春·九年级课时练习）二次函数的值永远为负值的条件是（

）A．，B．，C．， D．，2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）.A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大1．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图是二次函数（，a，b，c为常数）的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则方程的解是（

）A．，B．，C．，D．，2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数的部分与的值如下表：…124……0…根据表格可知，一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022秋·九年级单元测试）已知抛物线，下列说法中不正确的是（）A．该抛物线与轴的交点坐标为B．点一定在该抛物线上C．该抛物线的顶点坐标为D．该抛物线与轴两个交点之间的距离是4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．开口向下 B．与x轴的交点坐标为和C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为5．（2022春·九年级课时练习）探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（

）x-101234ax2+bx+c-7-5-151323A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<56．（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（）A． B． C． D．7．（2023·辽宁营口·校联考一模）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（

）

A．，B．， C．， D．，9．（2022春·九年级课时练习）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022春·九年级课时练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）画出函数的图象，利用图象回答：(1)方程的解是什么？(2)取什么值时，函数值大于0；(3)取什么值时，函数值小于0．12．（2023春·湖南常德·九年级校考阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，m为何值时，二次函数有最小值？(1)求出此时m的值及二次函数的解析式；(2)求出此函数与x轴的交点坐标．13．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；(2)若点，在该抛物线上，试比较的大小；(3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围